高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理章末質(zhì)量評估 北師大版選修2-3

章末質(zhì)量評估(一)(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．某學(xué)生要邀請10位同學(xué)中的6位參加一項活動，其中甲、乙2位同學(xué)不能同時參加，則邀請的方法共有 ()．A．84種 B．98種C．140種 D．112種解析(間接法)Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,8)＝140，或(直接法)Ceq\o\al(6,8)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(5,8)＝140.答案C2．沿著正方體的棱從一個頂點到與它相對的另一個頂點，如圖A到C1，沿棱所走的路線共有()．A．6條 B．5條C．4條 D．3條解析由A到C1沿棱所走路線分兩步：第一步由A到與A相連的頂點A1，B，D，有3種走法；第二步由這三個頂點中的一個到C1有2種走法，∴共有3×2＝6種走法．答案A3．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a3＋a5＝ ()．A．1 B．－1C．121 D．106解析x＝0時，a0＝－32，x＝1時，a0＋a1＋a2＋…＋a5＝－1，x＝－1時，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243，∴a1＋a2＋…＋a5＝31 ①－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－211 ②①－②得，2(a1＋a3＋a5)＝242，∴a1＋a3＋a5＝121.答案C4．將1,2,3，…，9這9個數(shù)字填在如圖中的9個空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下都依次增大．當3和4固定在圖中位置時，填寫余下空格的方法有 ().34A.6種B．12種C．18種D．24種解析依題意，1,2,9的位置也是固定的.5,6,7,8四個數(shù)字在A，B，C，D四個位置上．A和B位置上的填法有Ceq\o\al(2,4)種，此時C和D的位置只有1種填法．因而N＝Ceq\o\al(2,4)·1＝6(種).13C24DAB9答案A5．把同一排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人．每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是 ()．A．168 B．96C．72 D．144解析4人中兩人各分1張票，兩人各分得2張票，其中兩張票具有連續(xù)編號的情況有6種，故N＝6×Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．答案D6．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n展開式中的第五項是常數(shù)項，則展開式中系數(shù)最大的項是 ()．A．第10項和第11項B．第9項C．第8項D．第8項或第9項解析是常數(shù)項，∴n＝16.從而展開式中系數(shù)最大的項即為二項式系數(shù)最大的項為第9項．答案B7．某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和外語四門課，體育老師因故不能上第一節(jié)和第二節(jié)，不同的排課方法有 ()．A．24種 B．12種C．20種 D．22種解析體育老師的排課方法為Aeq\o\al(1,2)，其余老師的排課方法為Aeq\o\al(3,3)，∴共有排課方法Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種．答案B8．在(1－x)5(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為 ()．A．－6 ·B．4C．－4 D．6解析(1－x)5(1＋x)4＝(1－x2)4(1－x)＝(1－Ceq\o\al(1,4)x2＋Ceq\o\al(2,4)x4－Ceq\o\al(3,4)x6＋Ceq\o\al(4,4)x8)(1－x)∴x3的系數(shù)為－Ceq\o\al(1,4)(－1)＝4.答案B9．2100被3除的余數(shù)為 ()．A．－1 B．1C．2 D．－2解析∵2100＝(3－1)100＝3100－Ceq\o\al(1,100)399＋Ceq\o\al(2,100)398＋…＋Ceq\o\al(r,100)3100－r(－1)r＋…＋Ceq\o\al(99,100)3·(－1)99＋Ceq\o\al(100,100)(－1)100＝[3100－Ceq\o\al(1,100)399＋Ceq\o\al(2,100)398＋…＋Ceq\o\al(99,100)3(－1)99]＋1∵3100－Ceq\o\al(1,100)399＋Ceq\o\al(2,100)398＋…＋Ceq\o\al(99,100)3·(－1)99能被3整除且大于零，∴余數(shù)為1，故選B.答案B10．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有 ()．A．504種 B．960種C．1008種 D．1108種解析法一(1)若甲、乙安排在開始兩天，則丁有4種選擇，共有安排方案Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192(種)；(2)若甲、乙安排在最后兩天，則丙有4種選擇，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192(種)；(3)若甲、乙安排在中間5天，選擇兩天有4種可能，若丙安排在10月7日，丁有4種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝192(種)；若丙安排在中間5天的其他3天，則丁有3種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝432(種)，所以共有192＋192＋192＋432＝1008(種)．法二不考慮丙、丁的情況，共有不同方案Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440種，在甲乙相鄰的條件下，丙排10月1日，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240種，同理丁排10月7日，也有240種，丙排10月1日，丁排10月7日有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種．所以滿足條件的不同方案為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝1008種．答案C二、填空題(每小題5分，共30分)11．在(x＋eq\r(4,3)y)20展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有________項．解析由Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)x20－r(3eq\f(1,4))ryr＝Ceq\o\al(r,20)·3eq\f(r,4)x20－ryr，0≤r≤20且r∈N知，當且僅當r＝0,4,8,12,16,20時所對應(yīng)的項系數(shù)為有理數(shù)．答案612．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種．解析(間接法)共有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34種不同的選法．答案3413．如圖，畫中的一朵花，有五片花瓣，現(xiàn)有四種不同顏色的畫筆可供選擇，規(guī)定每片花瓣都要涂色，且只涂一種顏色，若涂完的花中顏色相同的花瓣恰有三片，則不同的涂法種數(shù)為________種(用數(shù)字作答)．解析首先從4種顏色中選擇1種共有Ceq\o\al(1,4)種方法，其次從5片中選擇3片涂這一種顏色共有Ceq\o\al(3,5)種方法，再次從剩下的3種顏色中用兩種顏色給2片花瓣涂色共有Aeq\o\al(2,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,3)＝240種涂法．答案24014．如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左至右第14個與第15個數(shù)的比為2∶3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…解析設(shè)第n行，則Ceq\o\al(13,n)∶Ceq\o\al(14,n)＝2∶3，eq\f(n！,n－13！13！)∶eq\f(n！,n－14！14！)＝2∶3，eq\f(14,n－13)＝eq\f(2,3)，解得n＝34.答案3415．(m－n)10展開式中系數(shù)最小的項是第________項，系數(shù)最大項是第________項．解析(m－n)10展開式共有11項，第6項系數(shù)絕對值最大為Ceq\o\al(5,10)，∵第6項系數(shù)為負，∴第6項系數(shù)最小與第6項系數(shù)相鄰兩項的絕對值為Ceq\o\al(4,10)、Ceq\o\al(6,10)，它們相等，只比中間項絕對值小，為系數(shù)最大項．答案65、716．從3名男同學(xué)、1名女同學(xué)中選出3人，分別擔(dān)任班長、體委、宣委職務(wù)．其中女同學(xué)不能擔(dān)任體委職務(wù)，那么不同的任職方案共有________種．解析先排體委，有Ceq\o\al(1,3)種；再排其他職務(wù)，有Aeq\o\al(2,3)種，故N＝Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝18(種)．答案18三、解答題(每小題10分，共40分)17．平面內(nèi)有10個點，其中任何3個點不共線，以其中任意2個點為端點的(1)線段有多少條？(2)有向線段有多少條？解(1)所有線段的條數(shù)即為從10個元素中任取2個元素的組合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(條)．(2)所有有向線段的條數(shù)即從10個元素中取2個元素的排列數(shù)．共有Aeq\o\al(2,10)＝90(條)．18．已知：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n(n∈N＋)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式各項系數(shù)的和；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．，由題意得：eq\f(24C\o\al(4,n),22C\o\al(2,n))＝eq\f(10,1)，∴n2－5n－24＝0，解得：n＝8或n＝－3(舍)．令x＝1得，展開式各項系數(shù)的和為1.(2)展開式的第r項，第r＋1項，第r＋2項的系數(shù)絕對值分別為Ceq\o\al(r－1,8)·2r－1，Ceq\o\al(r,8)2r，Ceq\o\al(r＋1,8)·2r＋1，若第r＋1項的系數(shù)絕對值最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r－1,8)·2r－1≤C\o\al(r,8)·2r，,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1，))解得5≤r≤6.即系數(shù)絕對值最大的項為第六項或第七項．T6＝－1792eq\f(\r(x),x9)，T7＝1792eq\f(1,x11)∴系數(shù)最大的項為第7項，1792eq\f(1,x11).19．(1)將五本不同的書分給四個人有幾種分法？(2)有五本相同的書分給四個人有幾種分法？解(1)每一本書都有4種分法，共有4×4×4×4×4＝45