2015年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-上海卷

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分．）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對4分，否則一律得零分．1．設(shè)全集．若集合，，則．2．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則．3．若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則．4．若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則．5．拋物線（）上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，則．6．若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為．7.方程的解為．8.在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）．9.已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為．10.設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為．11.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）．12.賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，，，，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的倍作為其獎金（單位：元）．若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則（元）．13.已知函數(shù)．若存在，，，滿足，且（，），則的最小值為．14.在銳角三角形中，，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和．過作于，于，則．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分．）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15．設(shè)，，則“、中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“是虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件16．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．B．C．D．17．記方程=1\*GB3①：，方程=2\*GB3②：，方程=3\*GB3③：，其中，，是正實(shí)數(shù)．當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程=3\*GB3③無實(shí)根的是（）A．方程=1\*GB3①有實(shí)根，且=2\*GB3②有實(shí)根B．方程=1\*GB3①有實(shí)根，且=2\*GB3②無實(shí)根C．方程=1\*GB3①無實(shí)根，且=2\*GB3②有實(shí)根D．方程=1\*GB3①無實(shí)根，且=2\*GB3②無實(shí)根18．設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限（）A．B．C．D．三、解答題（本大題共有5題，滿分74分．）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19.（本題滿分12分）如圖，在長方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．證明、、、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.20.（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分如圖，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過？說明理由.21.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分.已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.22.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（），求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.23.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)?設(shè)單調(diào)遞增，，.（1）驗(yàn)證是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)．證明對任意，存在，使得；（3）證明：“為方程在上得解”的充要條件是“為方程在上有解”，并證明對任意都有.

參考答案一、填空題：1.{1，4} 2. 3.16 4.4 5.26. 7.2 8.120 9. 10.411.45 12.0.2 13.8 14.二、選擇題： 15.B 16.D 17.B 18.A三、解答題：19.解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、因?yàn)?，所以，因此直線與共面，即四點(diǎn)共面設(shè)平面的法向量為，則，又，故解得取，得平面的一個(gè)法向量又，故因此直線與平面所成的角的大小為20.解：（1）記乙到時(shí)，甲所在地為，則千米在中，，所以（千米）（2）甲到達(dá)B用時(shí)1小時(shí)；乙到達(dá)C用時(shí)小時(shí)，從A到B總用時(shí)小時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)樵谏系淖畲笾凳窃谏系淖畲笾凳牵栽谏系淖畲笾凳?，不超過3.21.（1）證明：直線，點(diǎn)到的距離，所以（2）解：設(shè)，則：，設(shè)由得同理由（1），，整理得22.（1）解：由，得，所以是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為（2）證：由，得所以為常數(shù)列，，即因?yàn)椋?，即故的第?xiàng)是最大項(xiàng)（3）解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，符合上式所以因?yàn)椋寓佼?dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；②當(dāng)時(shí)，的最大值為3，最小值為-1，而；③當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由及，得綜上，的取值范圍是23.證：（1）易見的定義域?yàn)?，對任意，，所以，即是以為余弦周期的余弦周期函?shù)（2）由于的值域?yàn)?，所以對任意都是一個(gè)函數(shù)值，即有，使得若，則由單調(diào)遞增得到，與矛盾，所以。同理