2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試題庫288題（含答案）

2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測試復(fù)習(xí)題288題［含

答案］

一、選擇題

1.若A.B相互獨(dú)立，則下列式子成立的為(A)。

AP(助)=P口)P(B)B.P(A5)=Oc.P(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

2.已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為

其它

求(1)c；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0,5)o

(1)匚小心=(

解：c=l/4

(2)當(dāng)x<—1時(shí)，R(x)=「=0

J—00

當(dāng)一1V1<酎，F(xiàn)(x)=「-f——J--dt--arcsin1

JRL小/1-r71

1.冗、

=—(zarcsinx+—)

712

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=「f⑴di=1

J—O0

0,x<-1

]7t

故F(x)=<—(arcsinx+—),—1<x<1

712

1,x>\

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

3.設(shè)4,42兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，當(dāng)A，A?同時(shí)發(fā)生時(shí)，必有A發(fā)生，則(A)?

AP(44)WP(A)B.P(A&)NP(A)cP(AiA2)=P(A)

P(A)P(4)=P(A)

k+\

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為10,"=0]，2,3,則"(X)=

(B)。

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

5.若A與B對立事件，則下列錯(cuò)誤的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.2(A+B)=1cP{A+B)=P(A)+P(B)D

P(AB)=O

6.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來自總體X的簡

單隨機(jī)樣本，則下列P的估計(jì)量中最有效的是（D）

A.-X]H----XnH-----XRH-----B.—X|H—XrH—XQ

616233333'3233

3411

C.-X]+-X2-----X3------X4D.-X.+—X4--X-,4--X

515253544142743444

7.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

fl,事件A發(fā)生

10,否則|2…310(')且P(A)=0.4,乂，X2,…，Xg相

100

r=￡x,.

互獨(dú)立。令*'=>,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（舊近似于（B）。

y-40y-40

中(-1—)0(

①扃)

A.(y)B.C①(1°)D.24

8.若￡（xr）=E（x）E（y）,則⑴）。

A.X和丫相互獨(dú)立B.X與y不相關(guān)c.D（XY）=D（X）D（Y）D

o（x+y）=￡>（x）+z）（y）

9.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，P（A）=P，P（B）=q,則P（AB）=（c）。

A.GPMB.1均CTD.P

fl,事件A發(fā)生

Xj=\二?i=l,2,…，100,

10.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，〔°'心則且

100

Y=^JXI.

P（A）=0.9,X|,、2,…，X儂相互獨(dú)立。令,.=|則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)F（y）近似于（B）。

A.①(y)B.①--3--))c①(y一90)D.0)(-—9—))

II.設(shè)K是一組樣本觀測值，則其標(biāo)準(zhǔn)差是(B)o

(七一元)2卜7汽(七一彳1n

-y(x,.-x)2

A.BT〃一1泊

(千一無)

〃仁

12.若E(xy)=E(x*(y),則(D)0

A.x和y相互獨(dú)立B.x與y不相關(guān)c.°(xr)=o(x)￡>(y)D

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

13.若隨機(jī)事件A，6的概率分別為尸(A)=0.6,P(B)=0.5,貝|jA與8-定(D

)。

A.相互對立B.相互獨(dú)立C.互不相容D.相容

14.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生.

X.=<.rtz=1,2,…，九，

口人且P(A)=P,XpX》'X“相互獨(dú)

Y=YXi

立。令<=),則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)"(>)近似于(B)。

①(廣叩)①(上口)

A.①(y)BJ〃p(l-p)ccp(y-np)D.叩(l-p)

'9—6、

15.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為”—66)

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3

_CMX—y,x+y)_3_]_

Px-YX+Y~J.(x-y)J0(x+y)-V27*V3-3

'XI3)3

4a~1

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1)和13

16.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

x

"“幻、一］［e~。，9x其>它0

設(shè)F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F(X)的密度函數(shù)。

解：當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

當(dāng)y>l時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

當(dāng)OWyWl時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=。(X"尸

=F(F-'(y))^y

d［1,0<y<1,

因此，fY(y)="yl0,其匕，

V=[6

17.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)差矩陣V為V69)

計(jì)算隨機(jī)向量(X+Y,X—Y)的協(xié)差矩陣(課本116頁26題)

解：DX=4,DY=9,C0V(X,Y)=6

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1

COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5

產(chǎn)—5]

故(X+Y,X-Y)的協(xié)差矩陣(一§1)

18.設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合密度為

6元，0<x<y<l;

V

f(x,y)=1°5其它.

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時(shí)，fX(x)=O；

當(dāng)。81時(shí)，.尸口8一46M6x(1).

6x-6x2,0<x<1,

0其它

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=U火匕.

當(dāng)y<0或y>l時(shí)，lY(y)=O;

當(dāng)O0W1時(shí)，4("口(7"寸6a=3號力=3廣

3y2,0<^<1,

<

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=10'其匕

(2)因?yàn)閒(l/2,1/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨(dú)立。

19.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f（x）必滿足條件（C）。

A.0</（x）<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.[f（x）dx=1D.limf（x）-1

J-OC

20.設(shè)X「X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為力（幻和

人“）,分布函數(shù)分別為耳（X）和鳥（力，則（B）。

A./（x）+/2（x）必為密度函數(shù)B.耳必為分布函數(shù)

C居（》）+居（幻必為分布函數(shù)D.工（x）"2（x）必為密度函數(shù)

21.對任意兩個(gè)事件A和8,若P(AB)=°,則(D)。

AAB=(|>AB=d>「P(A)P(5)=0P(A-B)=P(A)

a.IuJ.JnL/.

22.一個(gè)機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件B?加工零件A時(shí)停機(jī)的概率

是0.3,加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是0.4o求（1）該機(jī)床停機(jī)的概率；（2）若該機(jī)床已停

機(jī)，求它是在加工零件A時(shí)發(fā)生停機(jī)的概率。

解：設(shè)G,G,表示機(jī)床在加工零件A或B,D表示機(jī)床停機(jī)。

（1）機(jī)床停機(jī)夫的概率為

P（B）=P（C"（D|G）+P（G）/（04）=§*+§*°”=55

（2）機(jī)床停機(jī)時(shí)正加工零件A的概率為

-x0.3a

P(C,).P(DIC,)3=2

P(GI0=

P(D)1111

30

23.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(?=ce閔，則。=。

(A)-2(B)0(C)2(D)I

24.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e-的概率密度f(y)0

1

［答案：當(dāng)『KyKe,時(shí)，f(y)=2y,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f(y)=o.］

［2x0<x<l

25.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為I°OtherS

求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2)P{0.3<X<2}(同步45頁三.3)

26.若隨機(jī)事件A，8的概率分別為P(A)=0.6,尸(約=0.5則A與B-定⑴

).

A.相互對立B.相互獨(dú)立C.互不相容D.相容

27.：。2未知，求U的置信度為1-a置信區(qū)間

(X(?-1)-/=)

3：求。2置信度為1-a的置信區(qū)間

An-l)S2(n-l)S2

XXif"-1)

28.正常人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者9人，測得其脈搏為(次/分)：

29.某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的條件下，這種零件的周長服從正態(tài)分布，均值為

0.13厘米?如果從某日生產(chǎn)的這種零件中任取9件測量后得亍=0.146厘米，S=0.016厘

米。問該日生產(chǎn)的零件的平均軸長是否與往日一樣？

(已知：a=0.05,r005(9)=2.262,/005(8)=2.306,%02s=1.96)

_T=~s/~

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為"。：〃=°」3選擇統(tǒng)計(jì)量/'〃當(dāng)"。成立時(shí)，T?t(8)

RIO兀5⑻}=S05取拒絕域w={IT\>2.3061

由已知

"??=^x-p=_^0.146r-0.13

71>2?306拒絕”。，即認(rèn)為該生產(chǎn)的零件的平均軸長與往日有

顯著差異。

30.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

(2x,xG(0,A)

f%=[0,其它

求(1)A；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-O.5<X<1)?)

2

(1)f(x)dx=J(^2xdx=A=1

解：A=1

(2)當(dāng)x<()時(shí)，F(xiàn)(x)=j^/(/Xr=0

當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=J'f(t)dt=￡'2tdt=x2

當(dāng)x21時(shí)，F(xiàn)(x)=f'=1

0,x<0

故F(x)=lx\0<x<l

1,x>1

(3)P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

31.某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長度服從正態(tài)分布N(〃，692),現(xiàn)從一批產(chǎn)

品中抽測20個(gè)樣本，測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=1.2o問在顯著水平&=°」下，該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)

差是否有顯著差異？

222

(已知:招052a9)=30.14,Zo95(19)=10.12；Zoo5(2O)=31.41,Za95(20)=10.85)

(〃-■

u/VV-........

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"o：b=°?選擇統(tǒng)計(jì)量/在"。成立時(shí)

w-r(i9)

夕%2。,。5(19)>卬>42。95(19)}=0.90

取拒絕域W={W>30.114,W<10.117}

w=("—DS)=19xL2-=33.778

由樣本數(shù)據(jù)知覺0.9233.778>30.114

拒絕”。，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著差異。

32.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(M)=(c)o

A.(1-P)4B.pqC.qD.P

33.設(shè)隨機(jī)事件A與3互不相容，且P(A)>P(B)>0,則(口)。

AP(A)=1—P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)c.P(Au8)=ld

P(AB)=1

34.設(shè)(、1，、2，"、'")為總體"(1,22)的一個(gè)樣本，文為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是(D)。

—尸~r(〃):Z(X/—1)~~/(〃，1)—/=~L~N(O,I)

A.2/J〃.B.4i=i.QA/2/A.D.

彳之(Xj-1)2~/(〃)

4i=l；

35.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)=A+fiarctanx

求(1)A,B；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(l<X<2)o

TT

(1)limF(x)=A+-B=\

xf22

71

limF(x)=A——B=0

XT-002

解：A=1/2,B=1/兀

(2)

/⑴=F(x)=1

%(1+廣)

1「

—arctan2

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=71

36.設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1.L2串聯(lián)而成，且L1.L2的壽命分別服從參數(shù)為

a,尸°力6)的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命z的密度函數(shù)。

解：令X.Y分別為子系統(tǒng)L1.L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=min(X,Y)。

顯然，當(dāng)zWO時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=1-P(min(X,Y)>z)

1-fae^dx^B*\dy.。-(&+夕”

=l—P(X>z,Y>z)=l—P(X>z)P(Y>z)=工人=l-e0

因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為

[B（z）=<+z〉0

fzg=dz0,z<0

37.一批螺絲釘中，隨機(jī)抽取9個(gè)，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：元=16.I0cv幾s=2.1(km。設(shè)螺

7

絲釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長度方差b-的置信度為0.95的置信區(qū)間。

2

(已知:檢(一⑻=17.535,%。97；(8)=218；%02sz⑼二段像，Zo.975(9)=2.7)

解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，所以

(〃-1)S2/1、

=-p-~二(〃)P{Zo.0252(8)<W<及—(8)}=0.95

j(〃_1)S2(n-l)S2

的置信區(qū)間為：1總°25(〃T)%；975(〃T)，

’8x2.1028x2.102、

"的置信度0.95的置信區(qū)間為117-5352-180J即(2.012,16.183)

38.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

/("⑶=七渡

-8Vx<+00

%，%2，％3，'X，，是一組樣本值，求參數(shù)6的最大似然估計(jì)?

解：似然函數(shù)

n11

L^n（-i=ye26--------exp

（國）"

lnL=--ln（2^-）--lnJ---Sx；

2v722s，=i'

A1?o

dlnL22

_ZL+_!_Sx=-Zx

d82S282^1n/=1

39.隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差0的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知:2b,0252(8)=17.535,^(8)=2.18；%一⑼=母02,為原⑼=27)

因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以

Q?-I)S___

41)P-(8)〈卬〈％9752(8)}=。95

(?-1)52(n-l)S2

"的置信區(qū)間為：l忌。25(〃T)點(diǎn).975(”力

(8x98x9)

"的置信度0.95的置信區(qū)間為117.535‘2.180)即(4.106,33.028)

ax+b0<x<l

/（X）=<

0others

40.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

且E(X)=7/12。求：(1)a,b；(2)X的分布函數(shù)F(x)(同步49頁三.2)

41.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

vJ1,事件A發(fā)生.?,

口人尸(A)=P,X「X"'xn相互獨(dú)

y這X,

立。令<?=>,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)F(>)近似于(B)。

①)①(上叫

A①(y)B.，秋(1一P)cO)(y-np)D.秋P)

42.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

f+CO

C.If(x)dx=1D.limf(x)=1

43.隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為

/X/2\

，一〃I[/_b；poQ2

〃一V—2

UM【2b02。2)

計(jì)算隨機(jī)向量(9X+Y,X-Y)的協(xié)差矩陣(課本116頁33題)

解：E(9X+Y)=9EX+EY=9u1+u2

E(X-Y)=EX-EY=u1-u2

D(9X+Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81o12+18P。1。2+。22

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=。12—2P。1。2+。22

COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9。12—8P。1。2—。22

然后寫出它們的矩陣形式(略)

44.已知某批銅絲的抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布NO，。?）。從中隨機(jī)抽取9根，經(jīng)計(jì)算得

2

其標(biāo)準(zhǔn)差為8.069。求b的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：忌必⑼=19023,/975⑼=27/必⑻=17.535,總?cè)纰?2.180）

解：由于抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布所以，

P(,2(8)<W<2b,2(8)}=0.95

(J~Z0025975

(n-l)52(n-l)S2

)

的置信區(qū)間為:

’8x8.06928x8.0692、

人的置信度為0.95的置信區(qū)間為I05352,180)即(29.705,238.931)

45.某人外出可以乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。求該人如期到達(dá)的概率。

解：設(shè)A,4,A,4分別表示乘坐飛機(jī),火車.輪船.汽車四種交通工具，B表示如期到

達(dá)。

4

P(B)=ZP(A)P(BIA)

貝IJ-=1=0.05x1+0.15x0.7+0.3x0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到達(dá)的概率為0.785。

四（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

Ax,0<x<l

f(x)=<

0,其它

求(1)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(0.5<X<2)o

(1)jf(x)dx=￡Axdx=^X2|y=y=1

解：A=2

(2)當(dāng)x<OH寸，F(xiàn)(x)=「f3dt=0

J-co

當(dāng)0<x<M,F(x)=[=f2tdt=x2

J—：oJo

=匚加m=1；2。力=1

當(dāng)王N1時(shí),FM.

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<l

1,x>\

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

事件A發(fā)生

Xj=i=l,2,…，100,

46.設(shè)中（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，0.否貝U且

KX）

y=2x,.

P（A）=0.6,X|,X2,…，Xioo相互獨(dú)立°令,=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)尸（丁）近似于（B）,

①鏟）

A.①⑴B,取C①吐6。）

47.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,x<0

F(x)=<Ay[x,0<x<1

1,x>l

求(1)A；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(0<X<0.25)?

解

(Fx=A=

.r->l

(2)

1

fx二F'x=<2\[x'

0,其他

(3)P(0<X<0.25)=1/2

48.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑4的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：/005（9）=2.262,r005（8）=2.306,“）必=L960）

U=（0

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以

R|U|<5}=0-95

（亍-“0.025丁，斤+“0.025―）元=/￡玉=14.911

所以〃的置信區(qū)間為：經(jīng)計(jì)算I

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

（14.911-l.96x平/4.911+L96X的

即(14.765,15.057)

49.設(shè)總體X服從參數(shù)為％的指數(shù)分布，%，/，/，，天是一組樣本值，求參數(shù)4的最大

似然估計(jì)。

lnL=/tlnA-/lZx

解：似然函數(shù)<'='/=11

dinL

~~dT

50.若事件4,A3兩兩獨(dú)立，則下列結(jié)論成立的是（B）。

A,4,4，4相互獨(dú)立B.4,&兩兩獨(dú)立

C.P（4A2A3）=P（4）P（4）P（4）口A|,A?,A3相互獨(dú)立

51.己知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

1----x>2

/(X)={X2

0,x<2

求（1）A；（2）密度函數(shù)f（x）；(3)P(0WXW4)。

(2)

￡

x>2

(1)bF(x)=l-A/4=03

?2f(x)=F\x)=-1

.解：AE0,x<2

(3)P(0<X<4)=3/4

52設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為：

0x<-\

0.4-1<X<1

F(x)-<

0.8l<x<3

-1x-3,則X的概率分布為().

分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量

[答案：P(X=-l)=0.4,P(X=l)=0.4,P(X=3)=02]

53.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

a4x,0<x<1

f(x)=■

0,其它

求(1)a；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(X>0.25)o

(1)J/(x心=￡ay/xdx=-1a=l

解：a=3/2

(2)當(dāng)％<0時(shí)，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=0

J-00

312

當(dāng)04x<1時(shí)?，F(xiàn)(x)=J'y63dt=X

當(dāng)x21時(shí)，F(xiàn)(x)=f'=1

J—30

0,x<0

故F(x)=Jx3/2,0<x<l

1,x>l

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

'4—5、

54.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為—I5J9?)

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y尸DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5

_c“v(x—y,x+y)__5_-5

Px-Y'x+Y-J°(x-y)Jz)(x+y)―岳*百一病

(23-5>

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為.513)和

V69

1

55.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則Y=5-2X的密度函數(shù)為(B)

望)亭)

A.--/(-B.-/■(-

22八

*年)

C.D.—Z(-

2

56.設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合密度為

'8xy,0<x<y<l;

“「0,其它.

f(x,y)=i

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時(shí)，fX(x)=O；

當(dāng)044時(shí)，fX(x)J:/ay"kf8孫dy=4ry2b以(1-爐).

4x-4x3,0<x<1,

<

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=10'其它.

當(dāng)y<0或y>l時(shí)，fY(y)=O；

當(dāng)0<yWl時(shí)，fY(y)=[^f(x,y)dx=^8xydx=4yx21^=4/.

4y3,0<y<l,

0其它

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=〔',

(2)因?yàn)閒(l/2,1/2)=2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(l/2)=3/4Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨(dú)立。

57.設(shè)①(幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

芭=｛fl。,，事否件則A發(fā)生'i2,…，l0°/P(A)=0.4X,,X2,…，Xm相

100

r=

互獨(dú)立。令,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)口(>)近似于(B)。

y-40

①①(.)

A.①(y)B,V24c①(y—40)D.24

58.將兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒中，則未向前面兩個(gè)郵筒投信的概率為（A）。

22C22!2!

A.42B.C.P；D,4!

3.已知隨機(jī)變量X的概率密度為/x（x）,令Y=-2X,則丫的概率密度人“）為

（D）。

A.Vx（-2y）8.小一小「打（/）D.”與）

4.設(shè)隨機(jī)變量X~/（x）,滿足/（X）=/（-x）,尸（外是X的分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)。

有（B）。

AF（-?）=1-￡/（X）^B）⑴公c.WMF?D.

F（-?）=2F（a）-1

5.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

X,”事學(xué)發(fā)生；』2」。。，

1°，否則；且P（A）=0.8,X],X2,…，Xioo相

100

r=￡x,.

互獨(dú)立。令＜=',則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（＞）近似于（B）。

①（必

A①（y）B.4'c.①（16）'+80）D①（分+80）

1.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，P（B）＞0,P（A|B）=1,則必有（A）。

AP（AuB）=P（A）B.An8c,2⑷=口約D,2磔囪=2⑷

2.某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為3/4,他連續(xù)射擊直到命中為止，則射

擊次數(shù)為3的概率是（C）。

22

（3）3（2）2xl（1）X^C；（1）

A.4B.44C.44D.4

59.6577706469726271

設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算得其標(biāo)準(zhǔn)差為4.583。試在顯著水平&=0.05

下，檢測患者的脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異？

（已知:a5⑻=2.306,軌5⑼=2262,t7oa25=1.960）

“0：〃=72

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為

~s7~

選擇統(tǒng)計(jì)量7G當(dāng)"。成立時(shí)，T~'（8）

叩乜0s（8）｝=0.05

19

■rp*r\QCx=—EXj—68.667

取拒絕域w=｛I/>2J06｝經(jīng)計(jì)算9'=>

II元-〃68.667-72

口=蘇=4.58%=2」82

|T|<2.306

接受“。，檢測者的脈搏與正常的脈搏無顯著差異。

60.設(shè)X”X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為/（x）和

力（幻，分布函數(shù)分別為6（x）和BO），則（B）o

A./（%）+力（幻必為密度函數(shù)B,耳（幻,工（X）必為分布函數(shù)

C片（x）+B（x）必為分布函數(shù)D.工0）,人（》）必為密度函數(shù)

61.若隨機(jī)向量（*，丫）服從二維正態(tài)分布，則①X，Y一定相互獨(dú)立：②若

Pxy=°,則X，Y一定相互獨(dú)立；③X和丫都服從一維正態(tài)分布；④若'，丫相互獨(dú)

立，貝ij

Cov（X,Y）=0。幾種說法中正確的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

62.設(shè)二維隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為

e~y,0<x<y;

小、°，其它?

f（x,y）='

（1）求（X,Y）分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX（x）,fY（y）；

（2）判斷X與Y是否相互獨(dú)立，并說明理由。

解：（1）當(dāng)x<0時(shí)，fX（x）=0；

當(dāng)x>0時(shí)，.=口山"=『G…

e~\x>0,

V

因此，（X,Y）關(guān)于X的邊緣概率密度fX（x）=10'其它.

當(dāng)yWO時(shí)，fY（y）=O；

[f(x,y)dx=['e~ydx=ye~y.

當(dāng)y>0時(shí)，fY(y)=J-8，Jo

ye~y,y>0,

<

o其它

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)="，火5

(2)因?yàn)閒(l,2)=e-2,而fX(l)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3#f(l,2),

所以，X與Y不獨(dú)立。

63.（*，丫）是二維隨機(jī)向量，與CoMX,y）=°不等價(jià)的是（口）

AE（xy）=E（x）E（y）r）（x+/）=￡>（%）+D（r）「

A.DR.L.D（X-Y）=D（X）+D（Y）

D.x和y相互獨(dú)立

64.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生

X,=4二，i=l,2,…，100,

.0,?□1則且P（A）=0.2,X],X》…,Xioo相互

10（）

Y這X：

獨(dú)立。令國，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（舊近似于（B）。

①口

A.①（y）B.4，c.①（16丁一20）D.①（4y-20）

65.設(shè)二元隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度是

1--（x+y）

v、八------e50x>0,y>0

/（%,》）=（25007

0others

求：（1）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)fX（x）；（2）P{X250,Y250}

（同步52頁三4）

[Ax0<x<2

f(x)-<

66.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為1°°thrs

求：(1)常數(shù)入；(2)EX；(3)P{1<X<3};(4)X的分布函數(shù)F(x)(同步47頁三.2)

0+802

f(x)dx=Axdx=1

解：⑴由J-8Jo得到入=1/2

EX-Jxf{x}dx=(gxdx-^

3:213