數(shù)學(xué)建模與數(shù)值分析考核試卷

數(shù)學(xué)建模與數(shù)值分析考核試卷考生姓名：答題日期：得分：判卷人：

一、單項(xiàng)選擇題（本題共20小題，每小題1分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.數(shù)值分析中，求解線性方程組常用的方法是（）

A.高斯消元法

B.拉格朗日插值法

C.數(shù)值微積分

D.最小二乘法

2.在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，下列哪個(gè)不是模型假設(shè)的目的？（）

A.簡(jiǎn)化問(wèn)題

B.提高精度

C.突出主要因素

D.排除次要因素

3.求解非線性方程的牛頓法屬于以下哪種方法？（）

A.線性迭代法

B.非線性迭代法

C.直接法

D.優(yōu)化法

4.關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性，以下說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)值穩(wěn)定性與算法的收斂性無(wú)關(guān)

B.數(shù)值穩(wěn)定性與計(jì)算過(guò)程中舍入誤差的大小有關(guān)

C.數(shù)值穩(wěn)定性總是可以避免的

D.數(shù)值穩(wěn)定性只與計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有關(guān)

5.在插值問(wèn)題中，拉格朗日插值多項(xiàng)式的特點(diǎn)是（）

A.易于計(jì)算，但穩(wěn)定性差

B.穩(wěn)定性好，但計(jì)算復(fù)雜

C.只能在節(jié)點(diǎn)處計(jì)算

D.上述都不對(duì)

6.關(guān)于數(shù)值積分，以下哪種方法屬于高斯求積公式？（）

A.梯形公式

B.辛普森公式

C.高斯-勒讓德公式

D.高斯-賽德?tīng)柟?/p>

7.在求解常微分方程初值問(wèn)題時(shí)，龍格-庫(kù)塔方法屬于（）

A.顯式方法

B.隱式方法

C.精確解法

D.近似解法

8.關(guān)于誤差，以下說(shuō)法正確的是（）

A.絕對(duì)誤差總是比相對(duì)誤差小

B.相對(duì)誤差總是比絕對(duì)誤差小

C.誤差與計(jì)算精度無(wú)關(guān)

D.誤差可以累積

9.在線性規(guī)劃問(wèn)題中，單純形方法的基本思想是（）

A.在可行解空間內(nèi)，從初始基本可行解出發(fā)，逐步找到最優(yōu)解

B.直接求解對(duì)偶問(wèn)題

C.按照目標(biāo)函數(shù)值的大小進(jìn)行排序，選擇最小（大）值作為最優(yōu)解

D.通過(guò)求解線性方程組得到最優(yōu)解

10.在非線性規(guī)劃問(wèn)題中，以下哪個(gè)算法不是求解無(wú)約束問(wèn)題的方法？（）

A.梯度下降法

B.牛頓法

C.共軛梯度法

D.單純形法

11.關(guān)于線性方程組的迭代法，以下哪個(gè)不是其基本思想？（）

A.將線性方程組轉(zhuǎn)化為迭代格式

B.通過(guò)迭代求解線性方程組

C.利用矩陣的譜半徑加快收斂速度

D.迭代過(guò)程中不需要考慮初始值

12.在數(shù)學(xué)建模中，以下哪個(gè)不是模型驗(yàn)證的方法？（）

A.殘差分析

B.參數(shù)估計(jì)

C.擬合度檢驗(yàn)

D.敏感性分析

13.關(guān)于數(shù)值分析中的迭代法，以下哪個(gè)不是其優(yōu)點(diǎn)？（）

A.計(jì)算復(fù)雜度低

B.穩(wěn)定性好

C.易于并行計(jì)算

D.可以求解大規(guī)模問(wèn)題

14.在求解線性最小二乘問(wèn)題時(shí)，以下哪個(gè)不是其應(yīng)用場(chǎng)景？（）

A.數(shù)據(jù)擬合

B.參數(shù)估計(jì)

C.線性規(guī)劃

D.方程組求解

15.關(guān)于數(shù)值微積分，以下哪個(gè)不是其基本方法？（）

A.數(shù)值積分

B.數(shù)值微分

C.插值法

D.最小二乘法

16.在非線性方程求解中，牛頓法的迭代公式為（）

A.\(x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)

B.\(x_{n+1}=x_n-f(x_n)\timesf'(x_n)\)

C.\(x_{n+1}=x_n+f(x_n)/f'(x_n)\)

D.\(x_{n+1}=x_n+f(x_n)\timesf'(x_n)\)

17.在非線性規(guī)劃問(wèn)題中，以下哪個(gè)算法不是求解約束問(wèn)題的方法？（）

A.內(nèi)點(diǎn)法

B.拉格朗日乘數(shù)法

C.罰函數(shù)法

D.梯度下降法

18.關(guān)于線性規(guī)劃問(wèn)題，以下哪個(gè)不是其特點(diǎn)？（）

A.目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的

B.可行解區(qū)域是一個(gè)凸集

C.存在唯一最優(yōu)解

D.最優(yōu)解可能是退化的

19.在數(shù)值分析中，以下哪個(gè)方法不是求解線性方程組的直接方法？（）

A.高斯消元法

B.LU分解法

C.迭代法

D.范數(shù)法

20.關(guān)于數(shù)值分析中的穩(wěn)定性，以下哪個(gè)說(shuō)法正確？（）

A.穩(wěn)定性好的算法計(jì)算速度快

B.穩(wěn)定性好的算法一定能得到精確解

C.穩(wěn)定性只與算法本身有關(guān)，與問(wèn)題無(wú)關(guān)

D.穩(wěn)定性好的算法舍入誤差小

二、多選題（本題共20小題，每小題1.5分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.數(shù)值分析中常用于求解線性方程組的方法有（）

A.高斯消元法

B.迭代法

C.最小二乘法

D.LU分解法

2.以下哪些是數(shù)學(xué)建模的基本步驟？（）

A.提出問(wèn)題

B.建立模型

C.求解模型

D.驗(yàn)證模型

3.以下哪些方法可以用于非線性方程求解？（）

A.牛頓法

B.二分法

C.弦截法

D.高斯消元法

4.關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的描述，以下哪些是正確的？（）

A.穩(wěn)定性和算法有關(guān)

B.穩(wěn)定性和問(wèn)題的條件有關(guān)

C.穩(wěn)定性好的算法不會(huì)產(chǎn)生誤差

D.穩(wěn)定性好的算法舍入誤差較小

5.以下哪些方法屬于數(shù)值積分？（）

A.梯形公式

B.辛普森公式

C.高斯求積公式

D.迭代法

6.在求解常微分方程時(shí)，以下哪些是顯式方法？（）

A.歐拉法

B.龍格-庫(kù)塔法

C.隱式歐拉法

D.梯形法

7.以下哪些是數(shù)值微分的常用方法？（）

A.前向差分

B.后向差分

C.中點(diǎn)差分

D.拉格朗日插值

8.關(guān)于拉格朗日插值多項(xiàng)式，以下哪些說(shuō)法是正確的？（）

A.是一種插值方法

B.在節(jié)點(diǎn)處插值誤差為零

C.對(duì)于非節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，插值誤差可能較大

D.僅適用于等距節(jié)點(diǎn)

9.以下哪些方法可以用于求解線性最小二乘問(wèn)題？（）

A.正規(guī)方程法

B.梯度下降法

C.共軛梯度法

D.高斯消元法

10.在非線性規(guī)劃中，以下哪些方法可以用于求解有約束問(wèn)題？（）

A.拉格朗日乘數(shù)法

B.罰函數(shù)法

C.內(nèi)點(diǎn)法

D.梯度下降法

11.以下哪些是線性規(guī)劃的基本概念？（）

A.可行解

B.基本解

C.基本可行解

D.對(duì)偶問(wèn)題

12.在數(shù)值分析中，以下哪些方法可以用于求解非線性方程組？（）

A.牛頓法

B.雅可比法

C.高斯消元法

D.序列二次規(guī)劃法

13.關(guān)于數(shù)值求解線性方程組的迭代法，以下哪些是正確的？（）

A.收斂速度與矩陣的條件數(shù)有關(guān)

B.收斂速度與迭代格式有關(guān)

C.收斂性與初始值無(wú)關(guān)

D.收斂性與問(wèn)題的條件有關(guān)

14.以下哪些方法可以用于模型驗(yàn)證？（）

A.殘差分析

B.參數(shù)估計(jì)

C.敏感性分析

D.方差分析

15.在數(shù)值積分中，以下哪些是高斯求積公式的特點(diǎn)？（）

A.可以精確計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)的積分

B.積分點(diǎn)的選取與被積函數(shù)有關(guān)

C.積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定了求積公式的精度

D.高斯求積公式總是穩(wěn)定的

16.以下哪些是數(shù)值分析中求解線性方程組直接方法的優(yōu)點(diǎn)？（）

A.計(jì)算復(fù)雜度低

B.可以求解大規(guī)模問(wèn)題

C.收斂速度快

D.穩(wěn)定性好

17.在求解非線性方程組時(shí)，以下哪些是牛頓法的特點(diǎn)？（")

A.收斂速度快

B.需要計(jì)算雅可比矩陣

C.對(duì)初始值敏感

D.可以用于大規(guī)模問(wèn)題

18.關(guān)于單純形法，以下哪些說(shuō)法是正確的？（）

A.是一種求解線性規(guī)劃的方法

B.從一個(gè)基本可行解出發(fā)，逐步找到最優(yōu)解

C.只能求解標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問(wèn)題

D.可以處理有界變量

19.以下哪些是數(shù)值微分的主要問(wèn)題？（）

A.切線斜率的估計(jì)誤差

B.高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)

C.穩(wěn)定性差

D.計(jì)算復(fù)雜度高

20.在數(shù)值分析中，以下哪些方法可以用于求解優(yōu)化問(wèn)題？（）

A.梯度下降法

B.共軛梯度法

C.動(dòng)態(tài)規(guī)劃

D.單純形法

三、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分，請(qǐng)將正確答案填到題目空白處）

1.數(shù)值分析中，求解線性方程組的一種常用方法是______法。

2.在數(shù)學(xué)建模中，模型的假設(shè)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的______處理。

3.求解非線性方程的______法屬于線性迭代法。

4.數(shù)值穩(wěn)定性分析主要關(guān)注計(jì)算過(guò)程中______的累積。

5.拉格朗日插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的特點(diǎn)是______。

6.數(shù)值積分中，______公式適用于計(jì)算奇數(shù)次多項(xiàng)式的積分。

7.龍格-庫(kù)塔方法是一種求解常微分方程初值問(wèn)題的______方法。

8.在數(shù)值分析中，______誤差是指實(shí)際計(jì)算結(jié)果與精確結(jié)果之間的差異。

9.梯度下降法是一種求解優(yōu)化問(wèn)題的______方法。

10.對(duì)于一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，其可行解區(qū)域是一個(gè)______集。

四、判斷題（本題共10小題，每題1分，共10分，正確的請(qǐng)?jiān)诖痤}括號(hào)中畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×）

1.數(shù)值分析的主要目的是為了解決無(wú)法用解析方法求解的問(wèn)題。（）

2.在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，模型驗(yàn)證是為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行浴＃ǎ?/p>

3.高斯消元法在求解線性方程組時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度與方程組的階數(shù)成線性關(guān)系。（）

4.數(shù)值穩(wěn)定性好的算法一定能得到精確解。（）

5.梯形公式和辛普森公式都是數(shù)值積分中的低階求積公式。（）

6.迭代法在求解線性方程組時(shí)，其收斂性與初始值的選取無(wú)關(guān)。（）

7.非線性規(guī)劃問(wèn)題一定存在全局最優(yōu)解。（）

8.在數(shù)值微分中，中點(diǎn)差分法的精度高于前向差分和后向差分法。（）

9.拉格朗日乘數(shù)法在求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，要求約束條件必須是線性的。（）

10.單純形法在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，只能求解標(biāo)準(zhǔn)形式的問(wèn)題。（）

五、主觀題（本題共4小題，每題10分，共40分）

1.請(qǐng)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的主要步驟，并以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為例，說(shuō)明如何應(yīng)用這些步驟建立數(shù)學(xué)模型。

2.描述牛頓法求解非線性方程的基本原理，并說(shuō)明其在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)。

3.什么是數(shù)值穩(wěn)定性？在數(shù)值分析中，為什么數(shù)值穩(wěn)定性分析非常重要？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

4.請(qǐng)解釋線性規(guī)劃中的單純形方法的基本思想，并說(shuō)明如何從一個(gè)初始基本可行解出發(fā)，逐步找到最優(yōu)解。

標(biāo)準(zhǔn)答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.A

2.D

3.B

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.A

10.D

11.D

12.D

13.B

14.C

15.D

16.A

17.D

18.C

19.D

20.D

二、多選題

1.ABD

2.ABCD

3.ABC

4.AD

5.ABC

6.AB

7.ABC

8.ABC

9.ABC

10.ABC

11.ABCD

12.AB

13.BD

14.ABC

15.ABC

16.BD

17.AC

18.AB

19.ABC

20.ABCD

三、填空題

1.高斯消元法

2.簡(jiǎn)化

3.牛頓法

4.舍入誤差

5.插值誤差為零

6.辛普森公式

7.顯式

8.舍入

9.迭代

10.凸

四、判斷題

1.√

2.√

3.×

4.×

5.√

6.×

7.×

8.√

9.×

10.×

五、主觀題（參考）

1.數(shù)學(xué)建模主要步驟包括問(wèn)題提出、建立模型、求解模型和驗(yàn)證模型。例如，針對(duì)城市交通擁堵問(wèn)題，首先分析問(wèn)題，然后建立流量模型，通過(guò)數(shù)據(jù)擬合和優(yōu)化方法求解模型，最后用實(shí)際