2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)朱家角中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份） （含解析）

2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)朱家角中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分）1．過點(diǎn)A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直線的傾斜角為．（用反三角表示）2．已知曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．點(diǎn)A（2，3）到直線3x+4y﹣6＝0的距離是．5．若直線l1：ax+2y+3a＝0與直線l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，則實數(shù)a的值為．6．若雙曲線的一條漸近線為，且右焦點(diǎn)與拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直線l的方向向量為＝（0，1，1），則l與α所成角的大小為．8．假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬AB為2m，渠深OC為1.5m，水面EF距AB為0.5m，則截面圖中水面寬EF的長度約為m．（精確到0.01）9．已知拋物C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則P到準(zhǔn)線l的距離為．10．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB＝90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值為．11．已知P為拋物線y2＝12x上一個動點(diǎn)，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣3的距離之和的最小值是．12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圓x2+y2＝1上的兩個不同的動點(diǎn)，且x1y2＝x2y1，則2x1+x2+2y1+y2的最大值為．二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分）13．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間中有下列結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；③垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩個平面互相平行．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④14．直線繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的直線l與圓（x﹣2）2+y2＝3的位置關(guān)系是（）A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心 C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)15．已知四條雙曲線，，，，，關(guān)于下列三個結(jié)論的正確選項為（）①Γ4的開口最為開闊；②Γ1的開口比Γ3的更為開闊；③Γ2和Γ3的開口的開闊程度相同．A．只有一個正確 B．只有兩個正確 C．均正確 D．均不正確16．“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺．A．142π B．140π C．138π D．128π三、解答題（本大題滿分56分）17．已知．（1）求與夾角的大?。唬?）若，求實數(shù)k的值．18．如圖所示圓錐P﹣O中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是底面圓周上一點(diǎn)，若∠DCE＝30°，，圓錐的高為．（1）求圓錐的側(cè)面積S；（2）求異面直線AE與PC所成角的大?。?9．已知圓C：x2+y2＝8內(nèi)有一點(diǎn)P（﹣1，2），直線l過點(diǎn)P且和圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為α．（1）當(dāng)α＝135°時，求弦AB的長；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，求直線l的方程．20．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，AP∥DE．（1）求證：AB∥平面CDE；（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE與平面ABCD所成銳二面角的大?。?1．已知曲線的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是曲線E上一動點(diǎn)．（1）求△PF1F2的周長；（2）過F2的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程；（3）若存在過點(diǎn)H（0，h）（h＞1）的兩條直線l1和l2與曲線E都只有一個公共點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值．

參考答案一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分）1．過點(diǎn)A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直線的傾斜角為．（用反三角表示）【分析】直接利用兩點(diǎn)求出直線的斜率，進(jìn)一步求出直線的傾斜角．解：過點(diǎn)A（﹣1，﹣1）、B（2，3）的直線的斜率，故．故答案為：．2．已知曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（﹣2，﹣1）．【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)求解．解：∵是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，∴m+2＞0，m+1＜0，即﹣2＜m＜﹣1；故答案為：（﹣2，﹣1）．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2，3）．【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣b，c）．解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2，3）．故答案為：（1，﹣2，3）．4．點(diǎn)A（2，3）到直線3x+4y﹣6＝0的距離是．【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求出即可．解：由題意及點(diǎn)到直線的距離公式可得：d＝＝．故答案為：．5．若直線l1：ax+2y+3a＝0與直線l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，則實數(shù)a的值為．【分析】由已知結(jié)合直線垂直的條件建立關(guān)于a的方程，可求．解：若直線l1：ax+2y+3a＝0與直線l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，則2a+2（a﹣1）＝0，即a＝．故答案為：．6．若雙曲線的一條漸近線為，且右焦點(diǎn)與拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，即有c＝5，求得漸近線方程即有＝，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線方程．解：拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)為（5，0），即有雙曲線的焦點(diǎn)為（±5，0），設(shè)雙曲線的方程為﹣＝1（a＞0，b＞0），則c＝5，由漸近線方程為y＝±x．則有＝，又a2+b2＝c2，解得a＝4，b＝3，則雙曲線的方程為．故答案為：．7．若平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直線l的方向向量為＝（0，1，1），則l與α所成角的大小為．【分析】直接利用直線與平面所成的角的向量計算公式，即可求出直線l與平面α所成的角．解：平面α的法向量＝（﹣1，0，1），直線l的方向向量為＝（0，1，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直線l與平面α所成角為：．故答案為：．8．假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬AB為2m，渠深OC為1.5m，水面EF距AB為0.5m，則截面圖中水面寬EF的長度約為1.63m．（精確到0.01）【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)B的坐標(biāo)求出拋物線方程，再根據(jù)拋物線方程可求出結(jié)果．解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py（p＞0），由題意可得B（1，1.5），代入x2＝2py，得1＝3p，解得p＝，∴拋物線方程為x2＝，設(shè)F（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則y0＝1.5﹣0.5＝1，則＝＝，∴，∴截面圖中水面寬EF的長度約為EF＝≈1.63（m）．故答案為：1.63．9．已知拋物C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則P到準(zhǔn)線l的距離為5．【分析】結(jié)合圖形，利用相似關(guān)系，以及拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解．解：由拋物線C：y2＝4x，可知F（1，0），即|OF|＝1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為N，由三角形相似可知，所以|PN|＝4|FO|＝4，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為5．故答案為：5．10．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB＝90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值為2．【分析】根據(jù)∠C1EB＝90°，利用勾股定理建立方程，則方程有解即可求解．解：設(shè)AA1＝h，AE＝x，A1E＝h﹣x，x∈[0，h]，，又因為∠C1EB＝90°，所以，即，化簡得x2﹣hx+1＝0，即關(guān)于x的方程x2﹣hx+1＝0，x∈[0，h]有解，當(dāng)x＝0時，不符合題意，當(dāng)x＞0時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時取得等號，所以側(cè)棱AA1的長的最小值為2，故答案為：2．11．已知P為拋物線y2＝12x上一個動點(diǎn)，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣3的距離之和的最小值是4．【分析】求得圓心與半徑，由拋物線的定義可知：可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣3距離之和的最小，利用勾股定理即可求得丨QF丨．解：拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)為F（3，0），圓x2+（y﹣4）2＝1的圓心為E（0，4），半徑為1，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣1距離之和的最小為：丨QF丨＝|EF|﹣r＝﹣1＝5﹣1＝4，?故答案為：4．12．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是圓x2+y2＝1上的兩個不同的動點(diǎn)，且x1y2＝x2y1，則2x1+x2+2y1+y2的最大值為．【分析】利用參數(shù)表示A，B，然后利用三角函數(shù)求解表達(dá)式的最大值即可．解：A（x1，y1）、B（x2，y2）是圓x2+y2＝1上的兩個不同的動點(diǎn)，且x1y2＝x2y1，可設(shè)A（cosα，sinα）、B（cosβ，sinβ），α、β的終邊不重合，可得sinαcosβ﹣cosαsinβ＝0，即sin（α﹣β）＝0，∴α＝2kπ+π+β，k∈Z，則2x1+x2+2y1+y2＝2（cosα+sinα）+cosβ+sinβ＝2[cos（2kπ+π+β）+sin（2kπ+π+β）]+cosβ+sinβ＝2（﹣cosβ﹣sinβ）+cosβ+sinβ＝﹣（cosβ+sinβ）＝﹣sin（β+）．當(dāng)且僅當(dāng)β＝時，取得最大值．故答案為：．二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分）13．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間中有下列結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；③垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩個平面互相平行．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】垂直于同一條直線的兩條直線有三種位置關(guān)系，說明①錯誤；由直線與平面垂直的性質(zhì)可知②③正確；由垂直于同一個平面的兩個平面有兩種位置關(guān)系說明④錯誤．解：①垂直于同一條直線的兩條直線有三種位置關(guān)系，即平行、相交或異面，故①錯誤；②垂直于同一條直線的兩個平面的法向量共線，則兩平面互相平行，故②正確；③由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，故③正確；④垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故④錯誤．∴正確的結(jié)論是②③．故選：C．14．直線繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的直線l與圓（x﹣2）2+y2＝3的位置關(guān)系是（）A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心 C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點(diǎn)【分析】由已知直線的方程可得斜率的值，進(jìn)而求出傾斜角的大小，再由題意可得直線l的方程，求出圓心到直線l的距離，可判斷直線l與圓的位置關(guān)系．解：直線的斜率為，所以其傾斜角為30°，則該直線繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后的直線的傾斜角為60°，即直線l'的方程為y＝x，即x﹣y＝0，由圓（x﹣2）2+y2＝3的方程可得圓心（2，0），半徑r＝，所以圓心到直線l的距離d＝＝＝r，所以直線l與圓相切，故選：C．15．已知四條雙曲線，，，，，關(guān)于下列三個結(jié)論的正確選項為（）①Γ4的開口最為開闊；②Γ1的開口比Γ3的更為開闊；③Γ2和Γ3的開口的開闊程度相同．A．只有一個正確 B．只有兩個正確 C．均正確 D．均不正確【分析】根據(jù)離心率的幾何意義可知，離心率越大，開口越大，所以求出四條曲線的離心率即可．解：，等軸雙曲線，故，，a2＝9，b2＝4，故，，，a2＝4，b2＝9，故，，，等軸雙曲線，故，所以，即e3＞e1＝e4＞e2，根據(jù)離心率越大，開口越大，可知①②③都不對．故選：D．16．“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺．A．142π B．140π C．138π D．128π【分析】根據(jù)題意可得這個四棱錐的外接球的直徑是：長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺的長方體的直徑，再利用長方體的對角線公式求出球的直徑，從而可得球的表面積．解：根據(jù)題意可得這個四棱錐的外接球的直徑是：長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺的長方體的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，則（2R）2＝72+52+82＝138，∴該球的表面積為4πR2＝138π，故選：C．三、解答題（本大題滿分56分）17．已知．（1）求與夾角的大?。唬?）若，求實數(shù)k的值．【分析】（1）利用空間向量的夾角公式可得答案；（2）利用向量平行的坐標(biāo)表示可得答案．解：（1）∵，∴，∴與夾角的大小為．（2）∵，∴，，∵（k）∥（），∴，解得．18．如圖所示圓錐P﹣O中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是底面圓周上一點(diǎn)，若∠DCE＝30°，，圓錐的高為．（1）求圓錐的側(cè)面積S；（2）求異面直線AE與PC所成角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)已知條件求出圓錐的底面半徑和母線長，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可；（2）連接AO，EO，可得∠EAO為異面直線AE與PC所成的角或其補(bǔ)角，在△AOE中，利用余弦定理求解即可．解：（1）設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，因為CD為直徑，AB是△PCD的中位線，所以，，所以側(cè)面積；（2）連接AO，EO，由A，O分別為PD，CD的中點(diǎn)，得AO∥PC，所以∠EAO為異面直線AE與PC所成的角或其補(bǔ)角，在△AOE中，，，取OD中點(diǎn)為F，連接AF，EF，則，，所以，在△AOE中，，所以異面直線AE與PC所成角的大小為．19．已知圓C：x2+y2＝8內(nèi)有一點(diǎn)P（﹣1，2），直線l過點(diǎn)P且和圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為α．（1）當(dāng)α＝135°時，求弦AB的長；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，求直線l的方程．【分析】（1）先求出直線l的方程，由圓心到直線的公式求出距離，進(jìn)而求出AB的長；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，OP⊥l，由此可得直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式可得直線l的方程．解：（1）當(dāng)α＝135°時，直線l的方程為：y﹣2＝﹣（x+1）即x+y﹣1＝0，圓心（0，0）到直線l的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝．（2）當(dāng)弦AB被P（﹣1，2）平分時，OP⊥l，∵kOP＝﹣2，∴kl＝，∴直線l的方程為：y﹣2＝（x+1），即x﹣2y+5＝020．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，AP∥DE．（1）求證：AB∥平面CDE；（2）若AP＝BP＝AB＝2，DE＝1，平面PAB⊥平面ABCD．求平面PCE與平面ABCD所成銳二面角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)題意可得AB∥CD，由線面平行的判定定理可得答案；（2）取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OP，OB，OF分別為z軸，x軸，y軸，利用向量法求二面角即可．解：（1）證明：因為四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，又CD?平面CDE，AB?平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）取AB中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BC的平行線OF，因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，因為△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB，PO?平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，故OP，OB，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OP，OB，OF所在直線分別為z軸，x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面PEC的法向量，所以，即，令x＝1，則，所以，由題可知平面ABCD的法向量，設(shè)平面PCE與平面ABCD所成銳二面角的平面角為θ，所以，所以平面PCE與平面ABCD所成銳二面角的平面角為．21．已知曲線的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是曲線E上一動點(diǎn)．（1）求△PF1F2的周長；（2）過F2的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的方