3-2-2、3 直線的兩點(diǎn)式方程、直線的一般式方程

第頁(yè)第3章3.23.2.一、選擇題1．下列四個(gè)命題中的真命題是()A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示D．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示[答案]B[解析]排除法．A不正確，過(guò)點(diǎn)P垂直x軸的方程不能；C不正確，與坐標(biāo)軸平行的直線的方程不能；D不正確，斜率不存在的直線不能．2．直線ax＋by＝1(a，b≠0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是()A.eq\f(1,2)ab B.eq\f(1,2)|ab|C.eq\f(1,2ab) D.eq\f(1,2|ab|)[答案]D3．過(guò)點(diǎn)A(－1,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線的條數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝－3x當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1或eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1代入(－1,3)得a＝2或－4.故選C.4．已知直線Ax＋By＋C＝0的橫截距大于縱截距，則A、B、C應(yīng)滿足的條件是()A．A＞B B．A＜BC.eq\f(C,A)＋eq\f(C,B)＞0 D.eq\f(C,A)－eq\f(C,B)＜0[答案]D[解析]由條件知A·B·C≠0，在方程Ax＋By＋C＝0中，令x＝0得y＝－eq\f(C,B)，令y＝0得x＝－eq\f(C,A)，由－eq\f(C,A)>－eq\f(C,B)得eq\f(C,A)－eq\f(C,B)<0.5．如果直線ax＋2y＋2＝0與直線3x－y－2＝0平行，那么系數(shù)a等于()A．－3 B．－6C．－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)[答案]B[解析]兩直線平行，則eq\f(a,3)＝eq\f(2,－1)≠eq\f(2,－2)，得a＝－6.故選B.6．直線l1:ax－y＋b＝0，l2:bx＋y－a＝0(ab≠0)的圖像只可能是下圖中的()[答案]B[解析]l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A選項(xiàng)中，由l1的圖像知a>0，b<0，判知l2的圖像不符合．在B選項(xiàng)中，由l1的圖像知a>0，b<0，判知l2的圖像符合，在C選項(xiàng)中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D選項(xiàng)中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D.所以應(yīng)選B.7．直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，則a＝()A．－1 B．1C．±1 D．－eq\f(3,2)[答案]C[解析]∵兩直線垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.整理得(a＋1)(a－1)＝0，∴a＝±1.∴應(yīng)選C.8．直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若l過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,B＞0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,B＞0,A＞0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,AB＜0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C＝0,AB＞0))[答案]D[解析]∵l過(guò)原點(diǎn)，∴C＝0，又l過(guò)二、四象限，∴l(xiāng)的斜率－eq\f(A,B)<0，即AB>0.9．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0[答案]D[解析]設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點(diǎn)，它關(guān)于直線x＝1對(duì)稱點(diǎn)P′(2－x，y)在已知直線x－2y＋1＝0上，∴2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.10．順次連結(jié)A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所組成的圖形是()A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)[答案]B[解析]∵kAB＝eq\f(5－3,2－(－4))＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－(－4))＝－3，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴AB∥CD，AB⊥AD，AD與BC不平行，故四邊形ABCD是直角梯形．二、填空題11．若直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)[答案]－6[解析]把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a12．縱截距為－4，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為20的直線的一般式方程為_(kāi)_______．[答案]2x－5y－20＝0或2x＋5y＋20＝0[解析]設(shè)直線的方程為y＝kx－4(k≠0)，由y＝0得x＝eq\f(4,k)，∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為20，∴eq\f(1,2)×|－4|×|eq\f(4,k)|＝20，k＝±eq\f(2,5)，∴所求直線的方程為y＝±eq\f(2,5)x－4，即2x－5y－20＝0和2x＋5y＋20＝0.13．直線l過(guò)P(－6,3)，且它在x軸上的截距等于它在y軸上的截距的一半，其方程是________．[答案]2x＋y＋9＝0或y＝－eq\f(1,2)x[解析]當(dāng)l過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為y＝－eq\f(1,2)x；當(dāng)l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為：eq\f(x,\f(a,2))＋eq\f(y,a)＝1，代入(－6,3)得a＝－9，即2x＋y＋9＝0.14．直線3x－4y＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上截距之和為2，則實(shí)數(shù)k＝________.[答案]－24[解析]方程變形為：eq\f(x,\f(－k,3))＋eq\f(y,\f(k,4))＝1，因此－eq\f(k,3)＋eq\f(k,4)＝2，則k＝－24.三、解答題15．求經(jīng)過(guò)A(－3,4)，且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．[解析]當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上截距都不為零時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1.將A(－3,4)代入上式有eq\f(－3,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得：a＝－7，所求直線方程為x－y＋7＝0當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為零時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx，將A(－3,4)，代入得，k＝－eq\f(4,3)，所求直線的方程為y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.故所求直線l的方程為x－y＋7＝0或4x＋3y＝0.16．求與直線3x－4y＋7＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線l的方程．[解析]解法1：由題意知：可設(shè)l的方程為3x－4y＋m＝0，則l在x軸、y軸上的截距分別為－eq\f(m,3)，eq\f(m,4).由－eq\f(m,3)＋eq\f(m,4)＝1知，m＝－12.∴直線l的方程為：3x－4y－12＝0.解法2：設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－\f(b,a)＝\f(3,4).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－3))∴直線l的方程為：eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1.即3x－4y－12＝0.17．設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2(1)l在x軸上的截距為－3；(2)斜率為1.[解析](1)令y＝0，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3②))由①得m≠3且m≠－1由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－eq\f(5,3).綜上所述，m＝－eq\f(5,3)(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0③,\f(－(m2－2m－3),2m2＋m－1)＝1④))，由③得m≠－1且m≠eq\f(1,2)，解④得m＝－1或eq\f(4,3)∴m＝eq\f(4,3).18．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)分別求邊AC和AB所在直線的方程；(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；(3)求AC邊的中垂線所在直線的方程；(4)求AC邊上的高所在直線的方程；(5)求經(jīng)過(guò)兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線方程．[解析](1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直線AC的截距式方程為eq\f(x,－8)＋eq\f(y,4)＝1，即x－2y＋8＝0.由A(0,4)，B(－2,6)可得直線AB的兩點(diǎn)式方程為eq\f(y－4,6－4)＝eq\f(x－0,－2－0)，即x＋y－4＝0.(2)設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x＝－4，y＝2，所以直線BD的兩點(diǎn)式方程為eq\f(y－6,2－6)＝eq\f(x＋2,－4＋2)，即2x－y＋10＝0.(3)由直線AC的斜率為kAC＝eq\f(4－0,0＋8)＝eq\f(1,2