2024-2025學年新教材高中數(shù)學第7章復數(shù)測評鞏固練習含解析新人教A版必修第二冊

第七章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知a,b∈R,則“a=b”是“(a-b)+(a+b)i為純虛數(shù)”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析:(a-b)+(a+b)i為純虛數(shù)的充要條件是實數(shù)a,b滿意a-b=0,a+b≠0,即a=b,結合題意知充分性不成立,必要性成立,故選C.答案:C2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于()A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4答案:A3.1+2i1-2i=A.-45-35i BC.-35-45i D解析:1+2i1-2i=答案:D4.已知(x+i)(1-i)=y,則實數(shù)x,y分別為()A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=2C.x=1,y=1 D.x=1,y=2解析:∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,∴(x+1)+(1-x)i=y.∴x答案:D5.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且兩復數(shù)的乘積z1z2的實部和虛部為相等的正數(shù),則實數(shù)m的值為()A.1 B.34 C.43 D.解析:∵z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,∴z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=m+2mi+(m-1)i+2(m-1)i2=(m-2m+2)+(2m+m-1)i=(2-m)+(3m-1)i.依據(jù)題意知2-m=3m-1,得m=34答案:B6.若z=1+i(i是虛數(shù)單位),則2z+z2等于(A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i解析:∵z=1+i,∴2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故選答案:D7.已知在復平面內,向量AB,BC,AD對應的復數(shù)分別為-2+i,3-i,1+5i,則CDA.-6i B.6i C.5i D.-5i解析:∵CD=CB+∴CD對應的復數(shù)為-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i.答案:C8.復數(shù)z=-1+i1+i-1,在復平面內z所對應的點在(A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析:z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-答案:B9.若z=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位),則使z2=-1的θ值可能是()A.π6 B.π4 C.π3解析:∵z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=-1,∴sin2θ=0,cos2θ=-1,∴2θ=2k∴θ=kπ+π2(k∈Z),令k=0知選D答案:D10.已知i為虛數(shù)單位,a為實數(shù),若復數(shù)z=(1-2i)·(a+i)在復平面內對應的點為M,則“a>12”是“點M在第四象限”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以復數(shù)z在復平面內對應的點M的坐標為(a+2,1-2a).所以點M在第四象限的充要條件是a+2>0,且1-2a<0,解得a>12,故選C答案:C11.復數(shù)z=1+cosα-isinα(π<α<2π)的模為()A.2cosα2 B.-2cosα2 C.2sinα2 D.解析:(方法一)|z|=(1+cosα)2∵π<α<2π,∴π2<α2<π,∴∴2cosα2=-2cos(方法二)z=1+cosα-isinα=2cos2α2-2i·sinα2cosα2=∵π<α<2π,∴π2<α2<π,∴原式=-2cosα=-2cosα2答案:B12.設△ABC的兩個內角A,B所對的邊分別為a,b,復數(shù)z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若復數(shù)z1·z2在復平面內對應的點在虛軸上,則△ABC是()A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i,∵z1·z2在復平面內對應的點在虛軸上,∴acosA-bcosB=0,即sinAcosA-sinBcosB=0,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=π2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.已知復數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則|z|=.

解析:(方法一)∵z=(3+i)2,∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10.(方法二)∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i,∴|z|=82+6答案:1014.i為虛數(shù)單位,設復數(shù)z1,z2在復平面內對應的點關于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=.

解析:∵(2,-3)關于原點的對稱點是(-2,3),∴z2=-2+3i.答案:-2+3i*15.將復數(shù)1+i對應的向量OM繞點O按逆時針方向旋轉π4,得到的向量為OM1,那么OM1對應的復數(shù)是解析:OM1對應的復數(shù)是(1+i)cosπ4+isinπ4=22(1+i)2=答案:2i16.若關于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有實數(shù)根,則純虛數(shù)m=.

解析:設m=bi(b∈R),則x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化簡得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即x2+2x-2b答案:4i三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知復數(shù)z1滿意(z1-2)·(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,z1·z2是實數(shù),求z2.解:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i.設z2=a+2i,a∈R,則z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,∵z1z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i.18.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z是:(1)零;(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)分析:先把復數(shù)z化簡整理為a+bi(a,b∈R)的形式,再依據(jù)復數(shù)的分類及其幾何意義求解即可.解:因為m∈R,所以復數(shù)z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)當2m2-3m-2=0,(2)當m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1時,z為虛數(shù).(3)當2m2-3m-2=0,(4)當2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2時,z是復平面內其次、四象限平分線上的點對應的復數(shù).19.(本小題滿分12分)已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.解:設ω=z-3+4i,則z=ω+3-4i,∴z+1-i=ω+4-5i.又|z+1-i|=1,∴|ω+4-5i|=1.可知ω對應的點的集合是以(-4,5)為圓心,半徑為1的圓,如圖所示,∴|ω|max=41+1,|ω|min=41-1.20.(本小題滿分12分)已知z是復數(shù),z+2i,z2-i均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復數(shù)(z+ai)2在復平面內對應的點在第一象限,求實數(shù)解:設z=x+yi(x,y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i是實數(shù),∴y=-2.∵z2-i=x=15(2x+2)+15(x-4)i∴x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,依據(jù)條件,可知12+4a-a2>∴實數(shù)a的取值范圍是(2,6).21.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z滿意|z|=2,z2的虛部是2.(1)求復數(shù)z;(2)設z,z2,z-z2在復平面上的對應點分別為A,B,C,求△ABC的面積.解:(1)設z=a+bi(a,b∈R),由已知條件得,a2+b2=2,①又z2=a2-b2+2abi,∴2ab=2.②由①②解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)當z=1+i時,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,∴點A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴S△ABC=12·|AC|·1=12×2×1=當z=-1-i時,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.∴點A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),∴S△ABC=12·|AC|·1=12×2×1=故△ABC的面積為1.22.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,且z1+1z2=12+32i,解:由z1+1z2cosα+isinα+1cos∴cosα+isinα+cosβ+is