2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合運(yùn)用

2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊：第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和

的綜合運(yùn)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(小)值

1.在數(shù)列｛an｝中,ai=19,an+i=an-3(n￡N*),當(dāng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和最大

時(shí),n的值為()

A.6B.7C.8D.9

2.已知點(diǎn)(n,an)在函數(shù)y=9-2x的圖象上,則數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn的最

大值為()

A.-14B.-16C.14D.16

3.設(shè)等差數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為Sn,且Si5〉0,Si6<0,則江江…，巫中最大

口1口2a15

的是()

A.也B.^C.-D.包

Qg。8

4.已知等差數(shù)列｛a"中,ai=29So=S2o,當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí),n

的值為.深度解析

5.在等差數(shù)列｛a"中,ai=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn

取得最大值，則d的取值范圍是.

6.設(shè)等差數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=l,S5=10求

(l)｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)｛an｝的前n項(xiàng)和Sn及Sn的最大值.

第1頁共17頁

題組二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際運(yùn)用

7.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120。,公差為5。,

那么這個(gè)凸多邊形的邊數(shù)n等于（）

A.12B.16C.9D.16或9

8.“嫦娥”奔月，舉國歡慶.據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“嫦娥”飛船的“長征三

號甲”火箭點(diǎn)火1min內(nèi)通過的路程為2km,以后每分鐘通過的路程

增加2km,在到達(dá)離地面240km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過

程需要的時(shí)間大約是（）

A.10minB.13minC.15minD.20min

9.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為（）

A.765B.665C.763D.663

10.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管數(shù)

最少，那么剩余鋼管的根數(shù)為.

11.某人用分期付款的方式購買一件家電,價(jià)格為1150元，購買當(dāng)天先

付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為

1%.若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款

的第10個(gè)月該交付多少錢?付清全部貸款后，買這件家電實(shí)際花費(fèi)多

少錢？

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題組三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合運(yùn)用

12.(2019湖南師大附中高二期末)已知公差不為零的等差數(shù)列｛a"

中,a3=7,c^=a2a9.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=」一,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

anan+l

13.(2020河北衡水中學(xué)高三上期末)在數(shù)列｛a"中，有

2

ai+a2+a3+…+an=n+2n(nQN*).

⑴證明:數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)記bn=」一,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

anan+l

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能力提升練

題組一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（?。┲?/p>

1.（#7）若｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)ai>0,a23+a24>0,a23,a24<0,則使前n項(xiàng)和

Sn〉O成立的最大正整數(shù)n是（）

A.46B.47C.48D.49

2.（2020浙江嘉興高三上期末,"）在等差數(shù)列｛a"中，已知ai>0,4a3=7ai0.

記anan+ian+2=bn,當(dāng)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí),n等于（）

A.17B.18C.19D.20

3.（多選）（*）已知首項(xiàng)為由,公差為d的等差數(shù)列｛a"是遞增數(shù)列，且滿

足a7=3a5,前n項(xiàng)和為S?則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.d>0B.ai<0

C.當(dāng)n=5時(shí),Sn最小D.當(dāng)Sn>0時(shí),n的最小值為8

4.（多選）（2020山東荷澤高二期末,"）已知首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為。的等

差數(shù)列｛a。｝,其前n項(xiàng)和為S￡nQN*）,現(xiàn)有下列四個(gè)命題淇中正確的有

（）

A.若Sio-Ojl]S2+S8=0

B.若S4=S⑵則使Sn>0的n的最大值為15

C.若S15>O,S16<O,貝！J｛Sn｝中S8最大

D.若S7<S8JljS8<S9

題組二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際運(yùn)用

5.（2020山東濰坊高二上期末,#7）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中

說：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)

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來言.務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)

送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第1個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到

第8個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，

不要引得外人說閑話在這個(gè)問題中，第8個(gè)孩子分到的棉花為

()

A.184斤B.176斤C.65斤D.60斤

6.(*)某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給

企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種

維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要

增加10萬元.

(1)求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤y(萬元)與使用年數(shù)x(x￡N*)的函數(shù)

關(guān)系；

(2)這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大?年平均利潤最大為多

少萬元？

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題組三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合運(yùn)用

7.（2020河南濮陽高二上期末,"）已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為正數(shù)，且

風(fēng)+何+…+用才+血WN*）,則數(shù)列愕｝的前n項(xiàng)和為（深度解析）

A.n2+2n+1B.2n2+2n

C.3n2+nD.2n2+n

8.（2020安徽阜陽高二上期末,"）將正偶數(shù)排成如圖所示的三角形數(shù)

陣,其中第i行（從上向下）第j個(gè)（從左向右）數(shù)表示為a#,j￡N*）,例如

a32=10.若aij=2020,則i-j=（）

2

46

81012

14161820

A.21B.22C.23D.25

9.（多選）（2020山東泰安高二上期末廿）設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,首

項(xiàng)為由,前n項(xiàng)和為Sn,若a3=12,Si2〉0,Si3<0,則下列結(jié)論正確的是（

A.數(shù)列｛a。｝是遞增數(shù)列

BS=60

24

C.--<d<-3

7

D.S1S,…,S12中最大的是S6

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10.(2020山東濟(jì)寧高二上期末,")已知一組雙曲線

En：x2-y2=4n+4(nWN*),設(shè)直線x=m(m〉2)與En在第一象限的交點(diǎn)為An,

點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為點(diǎn)Bn,Cn.記△AnBnCn的面積

為an,則數(shù)列｛aj的前20項(xiàng)的和為.

11.(2020浙江杭州學(xué)軍中學(xué)高二上期中,")已知數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和

Sn滿足2S『nan=3n(nQN*),且a2=5.

⑴證明:數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

1

(2)設(shè)bn=/————尸,Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求使Tn〉里成立的

any/an+1+an+iy/a-n10

最小正整數(shù)n的值.

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答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B由題意得,an+「an=-3,所以數(shù)列｛a"是以19為首項(xiàng)「3為公差的等

差數(shù)列，所以an=19+(n-l)x(-3)=22-3n,neN*.

所以官一<n解得六kW系又k￡N*,因此k=7,故選B.

(ZZ—5(其-r1JSU,33

2.D依題意得,an=9-2n,則ai=7,an+i-an=9-2(n+l)-(9-2n)=-2,2數(shù)列｛an｝

是首項(xiàng)為7,公差為-2的等差數(shù)列,

$如孝(ai：a#=n(7+：2n)=_n2+8n=_(n-4)2+16,

二.當(dāng)n=4時(shí),Sn有最大值，最大值為16.

故選D.

3.D等差數(shù)列｛an｝中,Si5=i5(a；a】5)=i5a8〉0,所以a8>0,又

Si6=i6(a；aq=8(a8+a9)<0,所以a/O,所以公差d<0.所以當(dāng)n=8時(shí),Sn取

得最大值.又d<0,所以數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列,所以當(dāng)Sn取得最大值且

an>0時(shí)*取得最大值，所以也最大.故選D.

4.答案15

解析解法一:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d.VSio=S2o,/.

10x29+等d=20x29+史盧d,解得d=-2,an=-2n+31,neN*.

設(shè)數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和最大，則，丁-2'?

九+1—U,

f2n+31>0,

1t-2(n+l)+31<0,

解得14.5WnW15.5.

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又YnWN'.nTS,

.?.當(dāng)n=15時(shí),Sn最大.

解法二:同解法一可知d<0,

由Sio=S2o及二次函數(shù)圖象的對稱性得,Sn=f（n）的圖象開口向下對稱軸

方程為11=冷空=15￡?4*,...當(dāng)n=15時(shí),Sn最大.

方法歸納求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最大（?。┲档某Ｓ梅椒ǎ?/p>

1.通項(xiàng)法:若ai〉0,d<0,則Sn必有最大值，可用不等式組，？-九來確定

lan+l—U

n的值；

若ai<O,d〉O,則Sn必有最小值，可用不等式組伊-2n來確定n的值.

2.二次函數(shù)法:在等差數(shù)列｛aj中，由于Sn=nai+等（1與12+@-粉,故

可用求二次函數(shù)最值的方法來求前n項(xiàng)和Sn的最值，其中，可由n￡N*

及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值.

解題時(shí)可根據(jù)題目中的已知條件，靈活選取相應(yīng)的方法來求解.

5.答案（-1,-0

解析解法一:由題意得,a8〉0且a9<0,

于是解得J

解法二:Sn=nai+W^d

與2+（7—粉，

其圖象的對稱軸方程為

當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值，

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(d<0,7

,J7,5<---<8.5，解得-1"號

I2d

?..d的取值范圍是

6.解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為ai,公差為d,則由已知可得

+3d=L

(S5=5al+=10,

解得｛)=-1?'?an-ai+(n-l)d—n+5(neN*).

(2)由(1)可M,Sn=nai+^^d=-y+|n=-j(n-1

乙乙乙乙\乙.

當(dāng)且僅當(dāng)n取與［最接近的正整數(shù)，即4或5時(shí),Sn最大，最大值為

S4=S5=10.

7.C設(shè)該凸多邊形內(nèi)角的度數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列｛a/ai=120,d=5,則

an=120+5(n-1)=5n+115,n￡N*,易知an<180,n<13,且n￡N*,由n邊形

內(nèi)角和定理得(n-2)xl80=120n+W^x5,解得n=16或n=9,又

n<13,neN\/.n=9.

8.C由題設(shè)條件知，火箭每分鐘通過的路程數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公

差的等差數(shù)歹U,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,貝l」Sn=2n+等x2=n2+n=n(n+l)=240,

解得n=15或n=-16(舍).

9.B被7除余2的自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為｛aj,如￡、

其首項(xiàng)ai=2,公差d=7,則an=al+(n-l)d=7n-5,neN*,Xan<100,aneN,.,.

7n-5<100,.,.n<15,.,.n的最大值為14,則滿足條件的最大值為a14=93.

J這些數(shù)的和為生產(chǎn)*14=等*14=665.

10.答案10

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解析由題意可知，從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列,最上面

一層鋼管數(shù)為1,逐層增加1個(gè).設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝,其前n項(xiàng)和為Sn.

則鋼管總數(shù)Sn=l+2+3+…+芹竺羅,n@N*.

當(dāng)n=19時(shí),Si9=190;當(dāng)n=20時(shí),S2o=21O〉2OO.

當(dāng)n=19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根.

11.解析購買家電時(shí)支付150元，則欠款為1000元,每月付50元，則

需20次付清，設(shè)每次交款數(shù)額依次構(gòu)成數(shù)列｛a』

則a)=50+1000x1%=60,

a2=50+(l000-50)xl%=59.5,

aw=50+(l000-9x50)xl%=55.5,

即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元.

依次類推可知,｛a"是以60為首項(xiàng)「0.5為公差的等差數(shù)列，

所以ai+a2+-+a2°="*3x20=1105,

全部付清后實(shí)際付款1105+150=1255(元).

所以分期付款的第10個(gè)月該交付55.5元，付清全部貸款后，買這件家

電實(shí)際花費(fèi)1255元.

12.解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛a"的首項(xiàng)為由,公差為d(dWO),

由已知得伊1+3d￥=(的+d)(%+8d),

1寸1的+2d=7,

解嘴二3：'

an=3n-2,n仁N*.

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Q）由⑴得'=十=^^=（左-煮）再￡N*，

Sn=b1+b2+…+驚斗I-$后+…

3n+173n+l

2

13.解析⑴：ai+a2+a3+,?,+an=n+2n(nwN)

...當(dāng)n22時(shí),ai+az+a3+…+an-i=(n-l)2+2(n-l),

上述兩式相減并整理，得an=2n+l(n22).

又當(dāng)n=l時(shí),ai=：P+2xl=3,符合上式，

an=2n+1(nwN*).從而得至llan.]=2n-l,/.an-an-i=2,

???數(shù)列｛a"是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，且其通項(xiàng)公式為

an=2n+l(n￡N*).

(2)由(1)可知,壯=-^—=；——3——(―-----),neN*,

''''anan+1(2n+l)(2n+3)2\2n+l2n+3/

所以Tn=bi+b2+b3+---+bn

iA__1V.n

2\32n+373(2n+3)

能力提升練

1.A.數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，且ai>0,a23?a24<0,??a23>0,a24<0,

.?.d<0,當(dāng)n224時(shí),a'O.

又54尸46()1+。46)_46(口23+a24)〉0

S_47(的+%?)—4?(/24+。24)<0

???使Sn>0成立的最大正整數(shù)為46,故選A.

2.C設(shè)等差數(shù)列｛a。｝的公差為2由ai>O,4a3=7aio,M4(a)+2d)=7(ai+9d),

即ai=-yd>0>d<0.

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a?=ai+(n-1)d=-yd+(n-1)d=dn-yd,nwN*,

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所以bn=anan+ian+2

=^dn-yd)^dn-yd)^dn-yd)

=于(九號)6號)G號).

由于cPvO,所以當(dāng)lWnW17時(shí),d3(ri號).(zi號)(九號)〉0,

當(dāng)n=18時(shí),bi8=d3(18-y)(18-y)?(18-f)=^d3<0,

當(dāng)n=19時(shí),bi9=d3(19-y)(19-y)?(19-f)=-|^d3>0,

當(dāng)nN20時(shí),d3(九號)(八號).("號)<°，

由于bi8+bi9=《d3>°，所以當(dāng)"19時(shí),Sn取得最大值.故選C.

3.ABD由a7=3a5,可得a1+6d=3(ai+4d),即ai=-3d,

由等差數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)歹！J,可知d〉0,則ai<0,故A、B正確.

又Sn^ai+^^d=-n2--!!

222

d177\2491.

=5[(%5)：卜〉八0,

所以當(dāng)n=3或n=4時(shí),Sn有最小值，故C錯(cuò)誤.

令Snq^—n〉。,可得n<0或n>7,

又nWN*,所以當(dāng)Sn>0時(shí),n的最小值為8,故D正確.故選ABD.

4.BC設(shè)等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為ai(ai>0),公差為d(dWO),根據(jù)題意，依

次分析四個(gè)命題：

對于A,若Sio=O,則510=10x(。；+?！?。)=0,則ai+aio=O,即2ai+9d=0,則

S2+S8=(2ai+d)+(8ai+28d)=10ai+29d=5x(-9d)+29d=-16dW0,A錯(cuò)誤；

對于B,若S4=S⑵則Si2-S4=0,

即as+a6H---Faii+ai2=4(ag+a9)=0,

由于ai〉0,所以a8>0,a9<0,

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15(ai+qi5)

貝ij有Si5=2=15a8>0,

c_16(a1+a16)_16(a8+a9)

Sl6-2--2一

故使Sn>0的n的最大值為15,B正確；

對于C,若S15>O,S16<O,

貝Ijs-(ai產(chǎn))=[5a8〉0,

c_16(a1+a16)_16(a8+a9)?

S16------------------------<U,

22

則有a8>0,a9<0,

則｛Sn｝中S8最大,C正確;

對于D,若S7<S8,則a8=S8-S7〉0,而S9-S8=a外不能確定其符號,D錯(cuò)誤.故

選BC.

5.A依題意得,八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差

數(shù)列為｛a/公差為d,前n項(xiàng)和為I,第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為由,則

由題意得,d=17,S8=8ai+等xl7=996,解得ai=65,；.a8=ai+(8-l)d=184.故

選A.

6.解析⑴由題意知,x年總收入為100x萬元,x年總維護(hù)費(fèi)用為

10(1+2+3+,-,+x)=5x(x+1)萬元,

Z.y=100x-5x(x+1)-180=-5x2+95x-180,xeN*.

(2)由⑴知，年平均利潤為(萬元，衿5(x+m)+95.丁x￡N*,

x+些221-些=12,當(dāng)且僅當(dāng)x=當(dāng)即x=6時(shí)等號成立，

X7XX

當(dāng)x=6時(shí),有最大值=35.

x"，max

???這套設(shè)備使用6年,可使年平均利潤最大，最大年平均利潤為35萬

兀.

第14頁共17頁

2

7.By[a[+y[a^.+???+yfa^=n+n,(i)

當(dāng)n=l時(shí),E7=2,

當(dāng)n22時(shí)，V^7+V^7+…+J斯-1=(n-1)2+(n-1),②

①-②得,J￡=2n(n22),經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=l時(shí)也適用，

2

...■y^=2n,nGN：即an=4n,n￡N'.

??.,=4n,.?.第-,=4(n+l)-4n=4,又?=4,.二｛?。鞘醉?xiàng)為4,公差為4的

等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為若㈣=2/+211.故選B.

易錯(cuò)警示本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列

的前n項(xiàng)和公式.在由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式時(shí)，要注意

ai=Si,an=Sn-Sn-i,n22,n￡N*,求出an后必須檢驗(yàn)ai是否適合.

8.D由題意知,這個(gè)數(shù)陣的第一行有1個(gè)偶數(shù)，第二行有2個(gè)偶

數(shù),……，第n行有n個(gè)偶數(shù)，所以前n行的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為也羅，

又由題圖可知，數(shù)陣中的數(shù)依次構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,

所以前n行的最后一個(gè)偶數(shù)為2+產(chǎn)羅-1卜2=n(n+l),

當(dāng)n=44時(shí),44x45=1980,當(dāng)n=45時(shí),45x46=2070,所以aij=2020在第

45行,

又aij=2020=1980+2x20,

所以2020是第45行的第20個(gè)偶數(shù)，

即2020這個(gè)數(shù)位于第45行第20列，

所以i-j=45-20=25,故選D.

9.BCDa3=ai+2d=12,ai=12-2d.

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12X11

S—12al+d=42d+144>0,

122

13X12

S13=13al+d=52d+156<0,

2

解得手<d<-3,即d<0,.,.數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列,???A不正確,C正確.

?.§=^^2=523=5x12=60,，B正確.

$12=6(。1+。12)=6(。6+

由k13fn解得a6〉0,a7<0.故S1S,…,S12中

Pi3=萬(的+a13)=13a7<0,

最大的是S6,AD正確.故選BCD.

10.答案230

解析由題意，設(shè)An(m,y),則m2