新高考數學一輪復習知識清單+鞏固練習專題11 等差數列與等比數列（解析版）

專題11等差數列與等比數列一、知識速覽二、考點速覽知識點1數列的有關概念1、數列的定義及表示（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項．（2）數列的表示法：數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．2、數列的分類分類標準類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項間的大小關系分類遞增數列SKIPIF1<0其中n∈N*遞減數列SKIPIF1<0常數列SKIPIF1<0按其他標準分類有界數列存在正數M，使SKIPIF1<0擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列周期數列對n∈N*，存在正整數常數k，使SKIPIF1<03、數列的通項公式：如果數列SKIPIF1<0的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．4、數列的遞推公式：如果已知數列SKIPIF1<0的首項(或前幾項)，且任一項SKIPIF1<0與它的前一項SKIPIF1<0(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式．知識點2等差數列的概念及公式1、等差數列的定義（1）文字語言：一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數；（2）符號語言：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數)．2、等差中項：若三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：SKIPIF1<0．（2）前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0．（3）等差數列與函數的關系=1\*GB3①通項公式：當公差SKIPIF1<0時，等差數列的通項公式SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的一次函數，且一次項系數為公差SKIPIF1<0.若公差SKIPIF1<0，則為遞增數列，若公差SKIPIF1<0，則為遞減數列．=2\*GB3②前n項和：當公差SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的二次函數且常數項為0.知識點3等差數列的性質已知數列SKIPIF1<0是等差數列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和．1、等差數列通項公式的性質：（1）通項公式的推廣：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0的公差為d，則SKIPIF1<0也是等差數列，公差為SKIPIF1<0．（4）若SKIPIF1<0是等差數列，則SKIPIF1<0也是等差數列．2、等差數列前SKIPIF1<0項和的性質（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）兩個等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關系為SKIPIF1<0.（4）數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…構成等差數列．3、關于等差數列奇數項和與偶數項和的性質（1）若項數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若項數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.知識點4等比數列的概念及公式1、等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0表示。數學語言表達式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零常數)．2、等比中項性質：如果三個數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項，其中SKIPIF1<0.注意：同號的兩個數才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0，則其通項公式為SKIPIF1<0；通項公式的推廣：SKIPIF1<0.（2）等比數列的前SKIPIF1<0項和公式：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.知識點5等比數列的性質已知SKIPIF1<0是等比數列，SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．1、等比數列的基本性質（1）相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比數列，公比為SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（項數相同）是等比數列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍是等比數列．（3）若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0口訣：下標和相等，項的積也相等推廣：SKIPIF1<0（4）若SKIPIF1<0是等比數列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數列。（5）若SKIPIF1<0是等比數列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0構成公比為SKIPIF1<0的等比數列。2、等比數列前SKIPIF1<0項和的性質（1）在公比SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為奇數時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……仍成等比數列，其公比為SKIPIF1<0；（2）對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；（3）若等比數列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是數列SKIPIF1<0的偶數項和與奇數項和；（4）等比數列的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數，且SKIPIF1<0）一、由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略1、常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處理.【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…則該數列的第211項為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意，該數列可表示為SKIPIF1<0，該數列的通項公式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若數列SKIPIF1<0的前四項依次是2，0，2，0，則SKIPIF1<0的通項公式不可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意知，SKIPIF1<0.對于A，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故A正確；對于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故B正確；對于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故C正確；對于D，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，不符合條件，故D錯誤.故選：D.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【解析】（1）數列SKIPIF1<0為：9，99，999，9999，…，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（2）數列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（3）數列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（4）數列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.二、數列周期性解題策略1、周期數列的常見形式（1）利用三角函數的周期性，即所給遞推關系中含有三角函數；（2）相鄰多項之間的遞推關系，如后一項是前兩項的差；（3）相鄰兩項的遞推關系，等式中一側含有分式，又較難變形構造出特殊數列．2、解決此類題目的一般方法：根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求有關項的值或者前SKIPIF1<0項的和．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正確，SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數列SKIPIF1<0是周期數列，周期為3．SKIPIF1<0，故B錯誤；SKIPIF1<0，故D正確．故選：ACD．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】4047【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此數列SKIPIF1<0是以3為周期的周期數列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4047【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列的前2009項之和為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數列SKIPIF1<0是以4為周期的數列，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、求數列最大項或最小項的方法（1）將數列視為函數SKIPIF1<0當x∈N*時所對應的一列函數值，根據SKIPIF1<0的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出SKIPIF1<0的最值，進而求出數列的最大(小)項．（2）通過通項公式SKIPIF1<0研究數列的單調性，利用SKIPIF1<0確定最大項，利用SKIPIF1<0確定最小項．（3）比較法：①若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，即數列SKIPIF1<0是遞增數列，所以數列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<0；②若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，即數列SKIPIF1<0是遞減數列，所以數列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0．【典例1】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學考試）已知數列SKIPIF1<0的前n項的積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0（）．A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】A【解析】當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為最小項，SKIPIF1<0為最大項．故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值與最小值的和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】C【解析】∵數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時也適合上式，∴SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0單調遞減，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0單調遞減，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值與最小值之和為2.故選：C.【典例3】（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）（多選）已知數列SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．數列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<0B．數列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0C．數列SKIPIF1<0的最小值為－0.8D．數列SKIPIF1<0的最大值為2.4【答案】BCD【解析】SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0，無最小項，故A錯誤，B正確；SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，各項為正且SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0所以數列SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故CD正確，故選：BCD四、等差數列的基本運算的解題策略1、等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程思想．2、數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（2023秋·江西吉安·高三校考開學考試）已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．36B．45C．54D．63【答案】B【解析】設公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習）（多選）設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最大【答案】AB【解析】設等差數列的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯誤；故選：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數m的值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意SKIPIF1<0，設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0五、等差數列的判定與證明的方法：1、定義法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數列；2、定義變形法：驗證是否滿足SKIPIF1<0；3、等差中項法：SKIPIF1<0為等差數列；4、通項公式法：通項公式形如SKIPIF1<0為常數SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數列；5、前n項和公式法：SKIPIF1<0為常數SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數列．注意：（1）若判斷一個數列不是等差數列，只需找出三項SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即可；（2）如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法．【典例1】（2023·福建·校聯考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的首項不為零，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】2023【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩式相加得SKIPIF1<0.故數列SKIPIF1<0的奇數項成等差數列，公差為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是1與SKIPIF1<0的等差中項，求證：數列SKIPIF1<0是等差數列.【答案】證明見解析【解析】證明：因為SKIPIF1<0是1與SKIPIF1<0的等差中項，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，是常數，故數列SKIPIF1<0是等差數列.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）記SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．已知SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0是等差數列；【答案】證明見解析【解析】證明：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數列．【典例4】（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）已知公比大于1的等比數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）記數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是等差數列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）方法1：設公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是等比數列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0；方法2：設公比為SKIPIF1<0，由等比數列性質得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以數列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數列．六、等差數列性質的應用1、在等差數列{an}中，當m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列．3、等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）設SKIPIF1<0是等差數列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．15B．30C．45D．60【答案】C【解析】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2022秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習）設等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B七、等差數列的前n項和常用的性質應用1、等差數列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列．2、數列{an}是等差數列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數)?數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列．3、若S奇表示奇數項的和，S偶表示偶數項的和，公差為d，①當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（2023秋·天津河東·高三?？茧A段練習）在等差數列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0為等差數列，所以SKIPIF1<0成等差數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0是等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，數列SKIPIF1<0為等差數列，且其公差為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2022秋·陜西榆林·高三?？茧A段練習）若等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由等差數列前SKIPIF1<0項和的性質得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例4】（2022·浙江·高三專題練習）在項數為2n＋1的等差數列中，所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，則n等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】分別設該數列奇數項和與偶數項和分別為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴n＝10，故選:B.八、等差數列前n項和最值求法1、二次函數法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉化為求二次函數的最值問題，但要注意n∈N*，結合二次函數圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項變號法：當a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關中學校考階段練習）設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0取得最大值時，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0是等差數列，所以由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此該數列是遞減數列，顯然當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·四川南充·模擬預測）等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．60B．50C．SKIPIF1<0D．30【答案】D【解析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為等差數列，且SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：D【典例3】（2023秋·江蘇·高三校聯考階段練習）（多選）設等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0最大C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則A正確.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小，故B錯誤.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則C錯誤.因為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：AD【典例4】（2023·全國·高三專題練習）設等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0及數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0的最小值及對應的n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，n＝8或n＝9【解析】（1）由等差數列的前n項和公式可知SKIPIF1<0，所以k＝0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當n＝1時也符合上式，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是關于n的二次函數，又SKIPIF1<0，所以當n＝8或n＝9時，SKIPIF1<0取得最小值，故SKIPIF1<0．九、已知{an}為等差數列，求數列{|an|}的前n項和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(或均為負數)，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數列{an}只有前面有限項為正數(或負數)，可分段求和再相加．【典例1】（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）已知等差數列SKIPIF1<0前三項的和為SKIPIF1<0，前三項的積為8.（1）求等差數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，求數列SKIPIF1<0的前10項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）105【解析】（1）設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，不成等比數列；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0成等比數列，滿足條件.故SKIPIF1<0，記數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故數列SKIPIF1<0的前10項和為SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）記SKIPIF1<0為等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設等差數列的公差為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數列SKIPIF1<0的通項；（2）求數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0.十、求解等比數列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比數列的通項公式、前n項和公式中聯系著五個量：SKIPIF1<0，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據已知條件建立關于a1與q的方程或者方程組，是解題的關鍵．2、分類討論思想：在應用等比數列前n項和公式時，必須分類求和，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；在判斷等比數列單調性時，也必須對SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分類討論．【典例1】（2023秋·湖南岳陽·高三校考開學考試）設等比數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】設等比數列的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023秋·江西·高三校聯考階段練習）設SKIPIF1<0為等比數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】設公比為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023秋·山東濟南·高三統(tǒng)考開學考試）記SKIPIF1<0為等比數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．85D．120【答案】C【解析】根據題意，設等比數列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，變形可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.十一、等比數列的性質及應用1、等比數列性質應用問題的解題突破口等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據題目條件，認真分析，發(fā)現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應用等比數列性質解題時的2個注意點（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在等比數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．3B．6C．9D．18【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：B【典例2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）記等比數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設等比數列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.【典例3】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？计谥校┰谡椀缺葦盗蠸KIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】在正項等比數列SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例4】（2023秋·云南·高三?？茧A段練習）已知等比數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．90B．135C．150D．180【答案】C【解析】由題意，在等比數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由等比數列前n項和的性質可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，∴有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C.【典例5】（2022秋·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知等比數列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】120【解析】因為在等比數列中，若項數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：120十二、等比數列的判定與證明常用的方法：1、定義法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0為常數且SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0是等比數列．2、等比中項法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0是等比數列．3、通項公式法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數列SK