新高考數學一輪復習知識清單+鞏固練習專題13 立體幾何初步（解析版）

專題13立體幾何初步一、知識速覽二、考點速覽知識點1空間幾何體的結構特征1、多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等側面形狀平行四邊形三角形梯形2、特殊的棱柱和棱錐（1）側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形．（2）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱長均相等的正三棱錐叫做正四面體．反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心．【注意】（1）棱柱的所有側面都是平行四邊形，但側面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱．（2）棱臺的所有側面都是梯形，但側面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺．（3）注意棱臺的所有側棱相交于一點．3、旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形旋轉圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形旋轉軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線直徑所在的直線母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環(huán)4、空間幾何體的直觀圖（1）畫法：常用斜二測畫法．（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?）直觀圖與原圖形面積的關系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．知識點2空間幾何體的表面積和體積1、空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3幾何體的表面積和側面積的注意點=1\*GB3①幾何體的側面積是指(各個)側面面積之和，而表面積是側面積與所有底面面積之和．=2\*GB3②組合體的表面積應注意重合部分的處理．2、柱體、錐體、臺體側面積間的關系（1）當正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱；當正棱臺的上底面縮為一個點時，得到正棱錐，則S正棱柱側＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′.（2）當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當圓臺的上底面半徑為零時，得到圓錐，則S圓柱側＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圓臺側＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側＝πrl.3、柱體、錐體、臺體體積間的關系知識點3點、直線、平面之間的位置關系1、四個公理（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．作用：判斷一條直線是否在某個平面內的依據（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．【拓展】公理2的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．作用：公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線．作用：公理3是證明三線共點或三點共線的依據（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3、直線與直線的位置關系（1）空間兩條直線的位置關系位置關系特點相交同一平面內，有且只有一個公共點平行同一平面內，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點（2）異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：(0°，90°]．4、直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點無數個公共點一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示5、兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識點4直線、平面平行的判定與性質1、直線與平面平行（1）直線與平面平行的定義：直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行．（2）判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2、平面與平面平行（1）平面與平面平行的定義：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面．（2）判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3、平行關系之間的轉化在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”．知識點5直線、平面垂直的判定與性質1、直線與平面垂直（1）定義：直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．（2）判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2、直線和平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是eq\a\vs4\al(0).（2）范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、平面與平面垂直（1）二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．（2）平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．（3）平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α謹記五個結論（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．（5）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．4、垂直關系之間的轉化在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉化關系，即：在證明兩平面垂直時，一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．一、求空間幾何體表面積的常見類型及思路1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；2、求旋轉體的表面積：可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；【注意】在求解組合題的表面積時，注意幾何體表面的構成，尤其是重合部分，面積不要多加或少加【典例1】（2023秋·廣東廣州·高三校考階段練習）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖l是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點，B，C分別是圓柱的上?下底面圓的圓心，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為陀螺的底面圓的半徑為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即圓柱的母線長為SKIPIF1<0，所以圓錐的母線長為SKIPIF1<0，則圓錐的側面積為SKIPIF1<0，圓柱的側面積為SKIPIF1<0，圓柱的底面積為SKIPIF1<0，所以該陀螺的表面積為SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·海南海口·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個圓臺形的水杯，圓臺的母線長為12SKIPIF1<0，上?下底面的半徑分別為4SKIPIF1<0和2SKIPIF1<0.為了防燙和防滑，該水杯配有一個皮革杯套，包裹住水杯SKIPIF1<0高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計，則此杯套使用的皮革的面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可知杯套部分依然是圓臺，則此杯套使用的皮革的面積即為對應圓臺的側面積加上較小底面面積；如圖，作出水杯的軸截面，作SKIPIF1<0于G，設SKIPIF1<0為杯套部分對應的軸截面，AG交EF與H，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故此杯套使用的皮革的面積為SKIPIF1<0，故選：C【典例3】（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，正六棱臺與正六棱柱的高分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則該花燈的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】正六棱柱的六個側面面積之和為SKIPIF1<0，正六棱柱的底面面積為SKIPIF1<0，如圖所示，正六棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正六棱臺的斜高，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以正六棱臺的斜高為SKIPIF1<0，故正六棱臺的側面積為SKIPIF1<0，又正六棱臺的下底面面積為SKIPIF1<0，所以該花燈的表面積為SKIPIF1<0．故選：A．二、空間幾何體的體積1、處理空間幾何體體積的基本思路（1）轉：轉換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的高轉換為容易看出并容易求解的高；（2）拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算；（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱復原乘一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。2、求體積的常用方法（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算；（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）如圖是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為SKIPIF1<0，兩段圓弧SKIPIF1<0所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】圓臺的側面展開圖是一扇環(huán)，設該扇環(huán)的圓心角為SKIPIF1<0，則其面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，設圓臺上下底面的半徑分別為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0向SKIPIF1<0作垂線，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以圓臺的高SKIPIF1<0，則上底面面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圓臺的體積計算公式可得：SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023秋·廣東珠?！じ呷？茧A段練習）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面是邊長為4的正方形，SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的體積為.【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以四棱錐的高即SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上的高.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0中SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·浙江金華·高三階段練習）如圖，已知多面體SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0與頂面SKIPIF1<0平行且均為矩形.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該多面體的體積為（）A．SKIPIF1<0B．37C．SKIPIF1<0D．47【答案】C【解析】如圖所示，設SKIPIF1<0在底面的投影分別為SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0分別交底面矩形于SKIPIF1<0兩點，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，由條件易得SKIPIF1<0，所以幾何體的高為SKIPIF1<0，該幾何體的體積可分割為兩個幾何體SKIPIF1<0的體積加兩個幾何體SKIPIF1<0的體積再加長方體SKIPIF1<0的體積.易得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故該幾何體體積為：SKIPIF1<0.故選：C三、共線共點共面證明方法1、證明點或線共面問題的2種方法（1）首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2、證明點共線問題的2種方法（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；（2）直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上．3、證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．【典例1】（2023秋·山西大同·高三?？茧A段練習）（多選）已知正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0三點共線B．SKIPIF1<0四點共面C．SKIPIF1<0四點共面D．SKIPIF1<0四點共面【答案】ABC【解析】連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，故A正確；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四點共面，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四點共面，故BC正確；取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的三等分點，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以點SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點不共面，故D錯.故選：ABC.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0三點共線.【答案】證明見解析【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的公共點.又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點共線.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0共點．【答案】證明見解析【解析】如圖，梯形SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0必交于一點，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共點．四、平移法求異面直線所成角的步驟第一步平移：平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移第二步證明：證明所作的角是異面直線所成的角或其補角第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓柱的軸截面為矩形SKIPIF1<0，點M，N分別在上、下底面圓上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角或其補角.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是圓柱底面圓的直徑，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如下圖所示：分別取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小等于SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.【典例3】（2023秋·云南曲靖·高三?？茧A段練習）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長均為2，動點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上移動，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0中點，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0取最大值時，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，所以當SKIPIF1<0最短時，SKIPIF1<0取最大值，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點時，SKIPIF1<0取最大值，因為SKIPIF1<0分別固定在線段SKIPIF1<0的中點處，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，可知異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0（或其補角）且SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A五、證明直線與平面平行的方法1、線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點(不相交)．2、線面平行的判定定理：關鍵是找到平面內與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段出現平行線或過已知直線作一平面找其交線．3、面面平行的性質：①兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行于另外一個平面，即α∥β，a?α?a∥β；②兩個平面平行，不在兩個平面內的一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β.【典例1】（2022秋·黑龍江雞西·高三校考階段練習）如圖甲，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為折痕把SKIPIF1<0折起（如圖乙），求證：

（1）SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由于梯形中SKIPIF1<0，折疊后仍有SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根據線面平行的判定，SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，依題意得，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，根據三角形的中位線可得，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】證明：連接SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】證明：設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.六、證明面面平行的常用方法1、利用面面平行的定義．2、利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．3、利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．4、利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”．5、利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．【典例1】（2022·全國·高三專題練習）正方體SKIPIF1<0中，M，N，E，F分別是SKIPIF1<0的中點，求證：面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】如下圖所示：連接SKIPIF1<0，因為六面體SKIPIF1<0是正方體，且M，N，E，F分別是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，因此SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面外一點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心．求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】證明見解析【解析】如圖，記SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0；連接SKIPIF1<0；連接SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在圓柱SKIPIF1<0中，等腰梯形ABCD為底面圓SKIPIF1<0的內接四邊形，且SKIPIF1<0，矩形ABFE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線．求證：平面SKIPIF1<0平面ADE．【答案】證明見解析【解析】在圓柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；連接SKIPIF1<0，因為等腰梯形SKIPIF1<0為底面圓SKIPIF1<0的內接四邊形，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正三角形，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．七、證明線面垂直的方法1、線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.2、面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3、性質：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】證明：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，又M為AC的中點，AC＝2，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0綜上有：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0，O為AB中點，點D在AC上，滿足SKIPIF1<0，且面SKIPIF1<0面ABC．證明：SKIPIF1<0面POD．【答案】證明見解析【解析】證明：由條件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0從而在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則由面面垂直的性質定理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0因此由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面POD.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖SKIPIF1<0，等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，如圖SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】證明見解析【解析】證明：在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，在等腰梯形SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．八、證明面面垂直的兩種方法法1：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角問題；法2：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把問題轉化為證明線線垂直加以解決?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點.求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】由SKIPIF1<0兩兩垂直，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【典例2】（2023·四川成都·?？寄M預測）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD為矩形，SKIPIF1<0為邊長為2的正三角形，且平面SKIPIF1<0平面ABCD，E為線段AD的中點，PE與平面ABCD所成角為45°.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求證：平面SKIPIF1<0平面PBC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）取AB中點O，連接PO、OE，因為平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0為邊長為2的正三角形，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面ABCD∴SKIPIF1<0為PE與平面ABCD所成角，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取PC的中點F，所以SKIPIF1<0，取PB中點G，連接AG，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面PBC，又SKIPIF1<0平面PEC，所以平面SKIPIF1<0平面PBC.【典例3】（2023·貴州·校聯考模擬預測）《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一個類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除SKIPIF1<0中，底面