中考數(shù)學滿分之路【07】拋物線與平行四邊形、特殊的平行四邊形

中考數(shù)學滿分之路（7）：拋物線與平行四邊形、特殊的平行四邊形一、拋物線與平行四邊形1、中點坐標公式在平面直角坐標系中，，，點為線段的中點，則．2、平行四邊形的對角線互相平分；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．如圖，在平面直角坐標系中，的對角線、相交于點，則的坐標可以表示為，也可以表示為．若四邊形為平行四邊形，則且；若且，則四邊形為平行四邊形．【方法技巧】在具體的應(yīng)用中，一般是已知、、、（或、、、）中的三個，根據(jù)上述等量關(guān)系求出剩下的那一個，再代入相應(yīng)解析式中，可求出其坐標．【同步練習】1、如圖，拋物線經(jīng)過點、兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設(shè)點的橫坐標為（），連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當?shù)拿娣e等于的面積的時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．2、如圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形的頂點在軸上，頂點在軸上．點是的中點，連結(jié)，過作，且，以點為頂點的拋物線剛好經(jīng)過點．為射線上一點，過點作于點．（1）求點坐標及拋物線的表達式；（2）若點從出發(fā)，沿射線以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為秒，則當為何值時，以點、、為頂點的三角形與相似？（3）點為拋物線上一點，當點在直線上，且滿足以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標．備用圖二、拋物線與矩形1、有一個角為90°的平行四邊形是矩形．2、垂直的處理方式之1——斜率關(guān)系．如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直．即：．（其中、都有斜率）一般地，或、中一個為值為0另一個不存在．3、垂直的處理方式之2——構(gòu)造“型”相似．【引例】如圖，拋物線的解析式為，點、，交拋物線于，求點的坐標．構(gòu)造與坐標軸平行的直線得：∽，∴，即，設(shè)，，則，代入即可求解．【同步練習】3、已知，如圖，拋物線（）的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點，的直線交拋物線的對稱軸于點．（1）求拋物線的解析式及點的坐標；（2）在拋物線上，兩點之間的部分（不包含，兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）上下平移直線，設(shè)平移后的直線與拋物線交于，兩點（在左邊，在右邊），且與軸交于點，若，求的值．備用圖4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（）與軸交于，兩點，（點在點的左側(cè)），經(jīng)過點的直線與軸負半軸交于點，與拋物線的另一個交點為，且．（1）直接寫出點的坐標，并求出直線的函數(shù)表達式（其中，用含的式子表示）；（2）點是直線上方的拋物線上的動點，若的面積的最大值為，求的值；（3）設(shè)是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點，，，為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．（備用圖）三、拋物線與菱形．1、鄰邊相等的平行四邊形是菱形．2、兩點間的距離公式．在平面直角坐標系中，，，則．3、直線與拋物線相交于兩點，，則【引例】已知拋物線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點，求線段的長度．（用含的代數(shù)式表示）解：設(shè)，，則，，∴，聯(lián)立，消去并整理得，，∴，，∴【同步練習】5、如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，一條拋物線經(jīng)過點、點，并與軸交于另一點，拋物線的對稱軸與拋物線的交點為點．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段上是否存在一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，直線將的面積分為的兩部分，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點從點出發(fā)，沿線段由向運動，同時點從點出發(fā)，沿線段由點向運動，、的運動速度都是每秒1個單位長度，當點到達點時，、同時停止運動，試問在坐標平面內(nèi)是否存在點，使、運動過程中的某一時刻，以、、、為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．備用圖6、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，頂點為，對稱軸與軸交于點．過點的直線交拋物線于、兩點，點在軸的右側(cè)．（1）求的值及點、的坐標；（2）當直線將四邊形分為面積比為的兩部分時，求直線的函數(shù)表達式；（3）當點位于第二象限時，設(shè)的中點為，點在拋物線上，則以為對角線的四邊形能否成為菱形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．（備用圖）四、拋物線與正方形1、鄰邊相等的矩形是正方形．有一個角為直角的菱形是正方形．鄰邊相等且有一個角為直角的平行四邊形是正方形．2、正方形（等腰直角三角形）最高效的處理方式：構(gòu)造“K型”全等．【引例】如圖，已知拋物線的解析式為（其中），拋物線與軸負半軸的交點為，與軸交點為，過點作的垂線交拋物線于點，連接，當為等腰直角三角形時，________．解：如圖，易得≌，∴，，∴，代入拋物線解析式，得，三次方程不要求會解．用計算器解得其實數(shù)根約為．3、已知點，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，求點與點的坐標；點與點的相對位置改變時，點與點的坐標形式不變；注意順時針和逆時針的區(qū)別．【同步練習】7、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）直線（）與軸交于點，與拋物線交于點，（點在軸左側(cè)，點在軸右側(cè)），連接，，若的面積為，求點，的坐標；（3）在（2）的條件下，連接交于，在對稱軸上是否存在一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點恰好落在拋物線上，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．備用圖8、如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于、兩點，頂點為，，設(shè)點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求的取值范圍；（3）如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點，它到兩坐