廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡指定的位置上.2.選擇題用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的定義得出答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是故選：B2.已知向量滿足（2，1），（1，y），且，則＝（）A. B. C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，由此求得，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求得正確答案.詳解】根據(jù)題意，（2，1），（1，y），且，則有2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），則（4，﹣3），故5；故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則（）A.2 B.4 C.-4 D.-2【答案】C【解析】【分析】利用向量共線定理，即可列出方程組，則可求出答案.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，所以，所以解得故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用降冪公式，化簡求值.【詳解】，解得：.故選：B5.在中，，則（）A.1 B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】利用內(nèi)角和求出，借助正弦定理代入即可求解.【詳解】,由正弦定理得，，所以，，解得，，故選：A.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)函數(shù)的解析式求，最后求出的值.【詳解】由圖象可知，，得，所以，所以，，又因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，得，所以，.故選：B7.如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得E為AD中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，∴，則E為AD的中點(diǎn)，又，，所以，故選：D8.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直角三角形中的三角函數(shù)定義列出關(guān)于的等式結(jié)合平方關(guān)系求得，然后由正弦的二倍角公式計(jì)算．【詳解】由題意大正方形邊長為5，小正方形邊長為1，所以，又，且為銳角，可解得，，所以．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列各式中值為的是（）．A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A利用二倍角的正弦求值；選項(xiàng)B利用二倍角的余弦求值；選項(xiàng)C逆用兩角差的正弦公式求值；選項(xiàng)D利用兩角和的正切公式求值.【詳解】因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；因?yàn)椋淼?，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.10.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，原點(diǎn)為，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.C.方程，的根是D.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π【答案】CD【解析】【分析】模為的復(fù)數(shù)有無數(shù)個(gè)，據(jù)此可以判斷；虛數(shù)不能比較大小，據(jù)此可以判斷；選項(xiàng)用求根公式解方程的虛根即可；根據(jù)復(fù)數(shù)的模表示的幾何意義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，虛數(shù)和向量一樣不能比較大小，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)虛根，因?yàn)椋?，所以，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形是半徑分別為所圍成的圓環(huán)，其的面積為，所以D正確.故選：CD11.在中，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是的重心C.若，則的形狀為等腰三角形D.內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式和線性運(yùn)算公式化簡向量關(guān)系式判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由可得，所以，由此僅可得為銳角，但可能為鈍角三角形，A錯(cuò)，設(shè)的中點(diǎn)為，由可得，所以，所以G是的重心,B對(duì)，由可得，所以，由此可得的形狀為直角三角形，C錯(cuò)，由可得，即，故，D對(duì)，故選：BD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】已知角的終邊過點(diǎn)，則，所以.故答案：.13.設(shè)向量,，若，則___________．【答案】3【解析】【分析】由可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，由可得，解得；故答案為：3．14.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C對(duì)邊，若，在方向上的投影是的，△ABC的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出角A，結(jié)合向量投影，建立b，c邊長關(guān)系，通過已知三角形面積求出b，c具體值，再用余弦定理求得a.【詳解】解：由正弦定理，將原式，化為，因?yàn)樗栽交啚椋驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，所?又因?yàn)樵诜较蛏贤队笆堑?，所以，即，因?yàn)?，解?由余弦定理可得：，所以.故答案為：.四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知，．（1）求的值；（2）求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，得到，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出的值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，代入，即可得到答案.【小問1詳解】由題意有，，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】，又由（1）可得，所以，故的值為.16.已知向量?.（1）當(dāng)?時(shí)，求向量?與?的夾角;（2）求?的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）求出兩向量的數(shù)量積，再根據(jù)?即可得解；（2）求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)?時(shí)，?，?，設(shè)?與?的夾角為?，則?，而?，，即?與?的夾角為?；【小問2詳解】解：?，?，?當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，?的最大值為?.17.在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量，，且．（1）求角A（2）若c＝2，且△ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可得，再由正弦定理化角即可得解；（2）根據(jù)面積公式可得，在中再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以．由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為．所以．因?yàn)閏＝2．．所以．在三角形ABM中，∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)．∴，由余弦定理得．所以．18.己知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）時(shí)，有，時(shí)，有.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式先化簡函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用整體代換思想及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算最值即可.【小問1詳解】，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有.19.在中，角所對(duì)的邊分別是，且滿足（1）求角；（2）如圖，若外接圓半徑為，為的中點(diǎn)，且，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡已知等式求得，由此可得；（2）利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；方法一：根據(jù)，利用余弦定理可得，根據(jù)可求得，進(jìn)而得到