北京順義牛欄山一中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則等于（）．A． B． C． D．2．在直角坐標(biāo)平面上，點的坐標(biāo)滿足方程，點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④4．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．5．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．406．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．8．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A． B． C． D．9．一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（）．A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱12．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，，則_______.14．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，則___15．已知三棱錐中，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為__________.16．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．18．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.19．（12分）設(shè)橢圓，直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標(biāo)為，，求的值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實數(shù)a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由點的坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，由坐標(biāo)滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程，在圓上，在坐標(biāo)滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與，由圖可知，設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為，則，圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.3、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得，然后根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點，一條漸近線則點到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關(guān)系，識記常用的結(jié)論：焦點到漸近線的距離為，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查等差數(shù)列基本量的計算，是一道容易題.6、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！驹斀狻?，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當(dāng)時，，，排除C、D當(dāng)時，，，排除A。故選B?！军c睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。7、D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.8、B【解析】

由點求得的值，化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.9、A【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個四棱錐中最長棱的長度是．故選．【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時，恰有兩個極值點，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.11、D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：因為是等差數(shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為1．【考點】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量，，，，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.14、【解析】

利用行列式定義，得到與的關(guān)系，賦值，即可求出結(jié)果?！驹斀狻坑桑?，得，解得。【點睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。15、【解析】

設(shè)的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，如圖所示因為，，所以，，，又二面角的大小為，則，，所以，設(shè)外接球半徑為R，則，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計算量較大，是一道難題.16、3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對參數(shù)a分類討論，當(dāng)時顯然不滿足題意；當(dāng)時，直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當(dāng)時，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)時，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點，由可得，當(dāng)時顯然不滿足題意；當(dāng)即時，由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當(dāng)即時，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)即時，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為：3.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進行討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1或6【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.18、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可；（2）先求出的直角坐標(biāo)，據(jù)此求得中點的直角坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得兩點的極坐標(biāo)，則距離可解.【詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標(biāo)方程為（2）由（1）可得的直角坐標(biāo)方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標(biāo)方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及在極坐標(biāo)系中求兩點之間的距離，屬綜合基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析【解析】

(Ⅰ)計算得到故，，，，計算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為，聯(lián)立方程得到，計算，同理，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點為，根據(jù)點差法得到，同理，故，得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)，，故，，，.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為，則，故，設(shè)，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)設(shè)中點為，則，，相減得到，即，同理可得：的中點，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形狀，根據(jù)四邊形形狀求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達定理得，點在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點的直角坐標(biāo)為，則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線與曲線交于兩點，，即.設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達定理可得，.點在直線上，，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、