江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把直線方程化為斜截式：【詳解】化簡后，直線方程為，直線的斜率為，直線的傾斜角為故選：D【點睛】本題考查直線的傾斜角，屬于簡潔題2.已知且，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式，令，又由可得，可得答案【詳解】由得，，又由可得，所以，故選：A【點睛】本題考查倍角公式的應(yīng)用，屬于簡潔題3.已知直線與平行，則實數(shù)a的值為A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.【詳解】已知兩直線平行，可得a?a-（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．經(jīng)過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去．∴a=-1．故選D【點睛】對于直線若直線4.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中隨機抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查，假如已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】試題分析：因所以從高二年級應(yīng)抽取9人，從高三年級應(yīng)抽取10人.考點：本小題主要考查分層抽樣的應(yīng)用.點評：應(yīng)用分層抽樣，關(guān)鍵是搞清晰比例關(guān)系，然后按比例抽取即可.5.連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)，為點的坐標，那么點在圓內(nèi)部的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)結(jié)果有36種，構(gòu)成的點的坐標有36個，把這些點列舉出來，檢驗是否滿意，滿意這個條件的點就在圓的內(nèi)部，數(shù)出個數(shù),依據(jù)古典概型個數(shù)得到結(jié)果.【詳解】這是一個古典概型，由分步計數(shù)原理知：連續(xù)擲兩次骰子，構(gòu)成的點的坐標有36個，而滿意，的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4個,故選：C【點睛】本題將數(shù)形結(jié)合的思想滲透到詳細問題中來，用列舉法列舉基本領(lǐng)件的個數(shù)，不僅能直觀的感受到對象的總數(shù)，難點在于列舉的時候做到不重不漏，屬于簡潔題6.在中，角A、B、C的對邊分別是、、，且，，則的外接圓直徑為（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】,,,,，選C.7.一個樣本a,3,4,5,6的平均數(shù)是b，且不等式x2－6x＋c＜0的解集為(a，b)，則這個樣本的標準差是()A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】由題意得a＋3＋4＋5＋6＝5b，a＋b＝6，解得a＝2，b＝4，所以樣本方差s2＝[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，所以標準差為.故答案為B.8.已知直線：和圓：，給出下列說法：①直線和圓不行能相切；②當時，直線平分圓的面積；③若直線截圓所得的弦長最短，則；④對于隨意的實數(shù)，有且只有兩個的取值，使直線截圓所得的弦長為.其中正確的說法個數(shù)是（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】①直線的方程可以變形為，可得直線的必過定點A（1，3），然后利用圓C的圓心為點（1，3），然后算出即可推斷是否相切，即可推斷①②當時，直線經(jīng)過圓心（2，1），明顯地，直線平分圓C的面積，這樣就可以推斷②③由①得，直線的必過定點A（1，3），直線被圓C截得的弦長的最小值時，弦心距最大，然后解出即可推斷③；④當，即時，直線的斜率為，利用反證法，即可推斷④【詳解】①圓C標準方程為,圓心坐標（2，1）,半徑，直線的方程可以變形為，可得直線的必過定點（1，3），又，所以點（1，3）在圓C內(nèi)，所以直線和圓C相交，不行能相切故：①正確②當時，直線的方程為，即，又由直線經(jīng)過圓心（2，1），所以當時，直線平分圓C的面積，故：②正確③由①得，直線的必過定點A（1，3），直線被圓C截得的弦長的最小值時，弦心距最大，此時，對于圓心C與A連成的直線CA，必有，又的斜率為，的斜率為，則有，解出故：③正確④當，即時，直線的斜率為，過點（1，3）且斜率為的直線方程為，即，圓心（2，1)到直線的距離，所以直線截圓C所得的弦長，滿意，但直線的斜率不行能為，從而直線的方程不行能為，若，則只存在一個的取值，使得直線截圓C所得的弦長為故：④不正確故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于簡潔題二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.在下列四個命題中，錯誤的有（）A.坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B.直線的傾斜角的取值范圍是C.若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D.若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】A中，直線與軸垂直時，直線的傾斜角為，斜率不存在B中，直線傾斜角的取值范圍是C中，直線的斜率為時，它的傾斜角不肯定為D中，直線的傾斜角為時，它的斜率為或不存在【詳解】對于A，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為，斜率不存在，A錯誤對于B，直線傾斜角的取值范圍是，B正確對于C，一條直線的斜率為，此直線的傾斜角不肯定為，如的斜率為，它的傾斜角為，C錯誤對于D，一條直線的傾斜角為時,它的斜率為或不存在，D錯誤故選：ACD【點睛】本題考查直線的傾斜角與斜率的概念，屬于基礎(chǔ)題10.一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事務(wù)關(guān)系中，說法正確的是（）A.事務(wù)“兩次均擊中”與事務(wù)“至少一次擊中”互為對立事務(wù)B.事務(wù)“恰有一次擊中”與事務(wù)“兩次均擊中”互為互斥事務(wù)C.事務(wù)“第一次擊中”與事務(wù)“其次次擊中”互互斥事務(wù)D.事務(wù)“兩次均未擊中”與事務(wù)“至少一次擊中”互為對立事務(wù)【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)對立事務(wù)和互斥事務(wù)的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案【詳解】對于A，事務(wù)“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中“，所以不是對立事務(wù)，A錯誤對于B，事務(wù)“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”它與事務(wù)“兩次均擊中”是互斥事務(wù)，B正確對于C，事務(wù)“第一次擊中”包含“第一次擊中、其次次擊中”和“第一次擊中、其次次不中”，所以與事務(wù)“其次次擊中”不是互斥事務(wù)，C錯誤對于D，事務(wù)“兩次均未擊中”的對立事務(wù)是“至少一次擊中”，D正確故選：BD【點睛】本題考查對立事務(wù)和互斥事務(wù)的概念，屬于簡潔題11.已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，則是等腰直角三角形C.若，則是直角三角形D.若，則是等邊三角形【答案】AD【解析】【分析】對于A，化簡得，然后即可推斷選項A正確對于B，通過倍角公式，化簡為，然后即可推斷選項B錯誤對于C,通過和差公式和誘導(dǎo)公式即可化簡出，，然后即可推斷選項C錯誤對于D，利用正弦定理，把化簡為，即可推斷選項D正確【詳解】對于A，，，又由A，B，C是的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，故A正確對于B，若，則，則，則，則或，是等腰三角形或直角三角形,故B錯誤對于C,，，即，則是等腰三角形，故C不正確對于D，若，則，則，，即是等邊三角形，故D正確故選：AD【點睛】本題考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的運用，屬于簡潔題12.已知圓：，直線：，以下結(jié)論成立的是（）A.存在實數(shù)與，直線和圓相離B.對隨意實數(shù)與，直線和圓有公共點C.對隨意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線和圓相切D.對隨意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線和圓相切【答案】BC【解析】【分析】求出圓心坐標，求出圓心到直線的距離，推斷與關(guān)系進行推斷即可【詳解】對于A選項，圓心坐標為，半徑，則圓心到直線的距離,（是參數(shù)），即，即直線和圓M相交或相切，故A錯誤；對于B選項，直線和圓M相交或相切，對隨意實數(shù)與，直線和圓M有公共點，故B正確；對于C選項，對隨意實數(shù)，當時，直線和圓M相切，故C正確，對于D選項，取，則圓M的方程為：,此時y軸為圓的經(jīng)過原點的切線，但是不存在，不正確，故D錯誤故選：BC.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容，屬于簡潔題三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.其中第14題共有2空，第一個空2分，其次個空3分；其余題均為一空，每空5分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.在某個容量為300的樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形面積和的，則中間一組的頻數(shù)為_______.【答案】50【解析】【分析】由已知中頻率分布直方圖中，共9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形面積和的，依據(jù)這9個小正方形的面積（頻率）和為1，進而求出該組的頻率，進而依據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量，即可得到中間一組的頻數(shù)【詳解】由于中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形面積和的，這9個長方形的面積和為1，故中間一個小長方形的面積等于，即中間一組的頻率為，又由樣本容量為300，故中間一組的頻數(shù)為故答案為:50【點睛】本題考查的學(xué)問點是頻率分布直方圖，其中依據(jù)已知條件結(jié)合頻率分布直方圖中各矩形面積的和為1，求出中間一組的頻率，是解答本題的關(guān)鍵14.若三點A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共線，則m的值為____．【答案】4【解析】【分析】由三點共線的性質(zhì)可得AB和AC的斜率相等，由坐標表示斜率解方程即可得解.【詳解】由題意可得kAB=kAC,∴，∴m=4，故答案為4.【點睛】本題主要考查了三點共線，斜率的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.15.已知中，，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，設(shè)，則角的取值范圍是_______；的取值范圍是_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先由正弦定理把換成角的正弦，利用二倍角公式化簡求得，進而和三角形的內(nèi)角和求得A的范圍，進而依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍【詳解】由正弦定理可知，，，，，，，，則，故的值域為為答案：(1).(2).【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解題的思路就是通過把邊的問題轉(zhuǎn)化成角的問題，然后利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)來解決問題16.已知點為圓外一點，若圓上存在一點，使得，則正數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】求出圓心和半徑，結(jié)合條件得到1＞≥sin30°，解不等式即可．【詳解】由圓C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，得圓心為C（a，a），半徑r=a，（a＞0），∴PC=，設(shè)過P的一條切線與圓的切點是T，則TC=a，∴當Q為切點時，∠CPQ最大，∵圓C上存在點Q使得∠CPQ=30°，∴滿意≥sin30°，即≥，整理可得3a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又≤1，即≤1，解得a≤1，又點P（0，2）為圓C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2外一點，∴a2+（2﹣a）2＞2a2，解得a＜1，∵a＞0，∴綜上可得≤a＜1．故答案為．【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，依據(jù)條件轉(zhuǎn)化為切線關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.一個盒中裝有編號分別為1,2,3,4的四個形態(tài)大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，求取出的球的編號之和大于5的概率.（2）從盒中任取一球，登記該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，登記該球的編號，求的概率.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）從盒中任取兩球的基本領(lǐng)件有六種狀況.其中滿意編號之和大于5的事務(wù)有兩種狀況，依據(jù)古典概型的概率公式即可求出結(jié)果；（2）有放回的連續(xù)去球有共16個基本領(lǐng)件，而滿意的共6個基本領(lǐng)件，依據(jù)古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.試題解析：解：（1）從盒中任取兩球的基本領(lǐng)件有六種狀況.編號之和大于5事務(wù)有兩種狀況，故編號之和大于5的概率為.（2）有放回的連續(xù)去球有共16個基本領(lǐng)件，而包含，共6個基本領(lǐng)件，所以得概率為.18.已知函數(shù)f(x)=（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）若α∈,且f(α)=,求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)得，進而可得周期；（2）由條件可得，，進而由即可得解.【詳解】函數(shù)f(x)=，（1）最小正周期為；（2）α∈，，由f(α)=，得，所以，所以.所以.【點睛】本題主要考查了二倍角公式及給值求值問題，解題的關(guān)鍵是利用終邊所在象限確定三角函數(shù)的正負，屬于中檔題.19.已知兩直線：，：求分別滿意下列條件的a，b的值．直線過點，并且直線與垂直；直線與直線平行，并且坐標原點到，的距離相等．【答案】（1），；（2），或，.【解析】【分析】利用直線過點，直線與垂直，斜率之積為，得到兩個關(guān)系式，求出a，b的值．類似直線與直線平行，斜率相等，坐標原點到，的距離相等，利用點到直線的距離相等．得到關(guān)系，求出a，b的值．【詳解】，，即又點在上，由得，．，，，故和的方程可分別表示為：，，又原點到與的距離相等．，或，，或，．【點睛】本題考查兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系，兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系，考查計算實力，是基礎(chǔ)題．20.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知，，.（1）求角的大??；（2）求邊長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，化簡得，又由，聯(lián)立方程求解即可（2）在中，由余弦定理，得，求出的值后，推斷其是否符合題意即可【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得，即，因為，所以，因為是銳角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即，解得或，當時，因為，所以角為鈍角，舍去；當時，因為，且，，所以為銳角三角形，符合題意，所以.【點睛】本題考查解三角形中正弦與余弦定理的運用，屬于簡潔題21.某校高二奧賽班N名學(xué)生的物理測評成果分布直方圖如下，已知分數(shù)在100～110的學(xué)生數(shù)有21人．（Ⅰ）求總?cè)藬?shù)N和分數(shù)在110～115分的人數(shù)n;（Ⅱ）現(xiàn)打算從分數(shù)在110～115分的n名學(xué)生（女生占）中任選2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（Ⅲ）為了分析某個學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)供應(yīng)指導(dǎo)性建議，對他前7次考試的數(shù)學(xué)成果x，物理成果y進行分析，下面是該生7次考試的成果．數(shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106已知該生的物理成果y與數(shù)學(xué)成果x是線性相關(guān)的，若該生的數(shù)學(xué)成果達到130分，請你估計他的物理成果大約是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)其回來線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ）;（Ⅲ）115分【解析】分析】(I)由題意結(jié)合頻率分布直方圖的結(jié)論可得；(II)利用題意寫出全部的事務(wù)，結(jié)合古典概型公式可得所求的概率為;(III)結(jié)合所給數(shù)據(jù)，求得回來方程為，據(jù)此估計他的物理成果大約是115分.【詳解】（Ⅰ）分數(shù)在100～110內(nèi)的學(xué)生的頻率為所以該班總?cè)藬?shù)為分數(shù)在110～115內(nèi)的學(xué)生的頻率為分數(shù)在110～115內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)（Ⅱ）由題意分數(shù)在1