山西省大同四中聯(lián)盟體2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文含解析

PAGE19-山西省大同四中聯(lián)盟體2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計算集合，集合，再求.【詳解】由，得，即，由，得，所以，所以，所以.故答案選B【點睛】本題考查了集合的交集，屬于簡潔題.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】將z分別出來得到，然后分子分母同乘以，化簡即可得到答案.【詳解】，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.故選A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3.已知圓，直線，若圓上總存在到直線的距離為的點，則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得圓心到直線的距離，然后解出即可【詳解】若圓上只有一點到直線的距離為時，圓心到直線的距離為，故要使圓上總存在到直線的距離為的點，則圓心到直線的距離，即，即.故選：B【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及點到直線距離公式的應(yīng)用，較簡潔.4.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子擅長織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B【解析】試題分析：由題可知女子每天織布尺數(shù)呈等差數(shù)列，設(shè)為，首項為，，可得，解之得.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用.5.已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線與雙曲線無公共點可得，然后即可求出的范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因為直線與雙曲線無公共點，故有，即，，所以，所以所以的范圍為故選：B【點睛】本題考查的是雙曲線的漸近線及離心率的求法，較簡潔.6.某愛好小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側(cè)視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，依據(jù)幾何體的表面積公式，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形態(tài)時，要依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不行見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.7.在中，，，，則()A B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先由求出，然后得到，然后用余弦定理求出【詳解】，所以，所以或，當(dāng)時，由余弦定理可得，，同理，時，.綜上：或故選：D【點睛】本題考查的是正余弦定理及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.8.從某中學(xué)抽取名學(xué)生進(jìn)行閱讀調(diào)查，發(fā)覺每年讀短篇文章量都在篇至篇之間，頻率分布直方圖如圖所示，則對這名學(xué)生的閱讀量推斷正確的為()A.的值為 B.平均數(shù)約為C.中位數(shù)大約為 D.眾數(shù)約為【答案】C【解析】【分析】先由全部矩形面積和為1求出，然后即可算出平均數(shù)、中位數(shù)和視察出眾數(shù)，從而選出答案【詳解】由，解得，故A錯；由A可知，，所以平均數(shù)為，故B錯誤；居民月用電量在的頻率為，居民月用電量在的頻率為：，∴這戶居民月用電量的中位數(shù)大約為，故C正確；由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)大約為，故D錯誤.故選：C【點睛】本題考查的是頻率分布直方圖的學(xué)問，較簡潔.9.已知橢圓左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，若的最小值為，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)最小且最大時取得最小值，即有，從而求出離心率.【詳解】由，得，當(dāng)最小且最大時，取得最小值，所以，所以，所以離心率.故選：C【點睛】本題考查的是橢圓的幾何性質(zhì)及離心率的求法，較簡潔.10.已知，則取得最小值時的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將變?yōu)?，然后利用基本不等式求解【詳解】，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以=.故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的恒等變換及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.11.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則推斷框中的值可以為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直求出，然后可得，即得，然后可得出【詳解】，則的圖象在處的切線斜率，由于切線與直線垂直，則有，則，所以，所以，所以，由于輸出的的值為，故總共循環(huán)了次，此時，故的值可以為.故選：B【點睛】本題考查的學(xué)問點有：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、數(shù)列的求和及程序框圖，屬于綜合題.12.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且滿意，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，且滿意可得出的周期為，然后，即可求出【詳解】由為上的奇函數(shù)，且，得，故函數(shù)的周期為，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查的是函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于?？碱}.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，滿意約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值分別為，，則__________．【答案】【解析】【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：，滿意約束條件的可行域如圖，由得；由得，將目標(biāo)函數(shù)化為，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，所以；當(dāng)直線經(jīng)過點時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，所以，所以有.【點睛】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題.14.，，，的夾角為，則與的夾角為__________．【答案】【解析】【分析】由向量模的運算及數(shù)量積運算可得，再由向量的夾角公式運算可得解.【詳解】解：，所以，設(shè)與的夾角為，則，又因，所以.【點睛】本題考查了兩向量的夾角，屬基礎(chǔ)題.15.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為_______.【答案】【解析】分析】先用正弦定理求出外接圓的半徑，然后利用求出三棱錐外接球的半徑，即可算出表面積.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，∴，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，故外接球的表面積.故答案為：【點睛】本題主要考查了三棱錐外接球的表面積，其中依據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，求得三棱錐的外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，著重考查了空間想象實力，以及推理與運算實力.16.已知點到直線的最大距離為，則______.【答案】或【解析】【分析】先用距離公式表示出，然后分兩種狀況探討即可【詳解】點到直線的距離，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.綜上，或.故答案為：或【點睛】本題考查了點到直線的距離公式及三角函數(shù)的學(xué)問，較簡潔.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在正項等比數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前100項的和.【答案】（1）；（2）5050.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，求得首項和公比，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，寫出數(shù)列的前100項的和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)公比為，則由題意可知又，解得，所以.（2）由（1）可得，則數(shù)列的前100項的和.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，以及數(shù)列的分組求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的基本量的運算，以及合理分組求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.18.新高考最大的特點就是取消文理科，除語文、數(shù)學(xué)、外語之外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目.某探討機構(gòu)為了了解學(xué)生對全理（選擇物理、化學(xué)、生物）的選擇是否與性別有關(guān)，覺得從某學(xué)校高一年級的名學(xué)生中隨機抽取男生，女生各人進(jìn)行模擬選科.經(jīng)統(tǒng)計，選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多人.（1）請完成下面的列聯(lián)表；（2）估計有多大把握認(rèn)為選擇全理與性別有關(guān)，并說明理由；（3）現(xiàn)從這名學(xué)生中已經(jīng)選取了男生名，女生名進(jìn)行座談，從中抽取名代表作問卷調(diào)查，求至少抽到一名女生的概率.附：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2），理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意干脆完成表格即可（2）算出即可（3）設(shè)名男生分別為，，，兩名女生分別為，，然后列出全部的基本領(lǐng)件和不包含女生的基本領(lǐng)件即可【詳解】（1）依題意可得列聯(lián)表：（2），∴的把握認(rèn)為選擇全理與性別有關(guān).（3）設(shè)名男生分別為，，，兩名女生分別為，.從名學(xué)生中抽取名學(xué)生全部的可能為，，，共種，不包含女生的基本領(lǐng)件有，共種，故所求概率.【點睛】1.本題主要考查了列聯(lián)表、的計算和古典概型，屬于常見題型.2.當(dāng)遇到“至多”“至少”型題目時，一般用間接法求會比較簡潔，即先求出此事務(wù)的對立事務(wù)的概率，然后即可得出原事務(wù)的概率.19.如圖，已知四棱錐中，平面，為等邊三角形，，是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別證明和即可（2）先求出，然后利用求出點到平面的距離，即可得點到平面的距離【詳解】（1）∵平面，平面，∴，∵，是的中點，∴，又，∴平面.（2）∵，平面，∴平面，∴，∴.同理在中，，在梯形中，易得.所以等腰底邊上的高為，所以，又，∵，平面，∴平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離，∵，∴.設(shè)點到平面的距離為，則由，得，所以.∵點為的中點，∴點到平面的距離為.【點睛】等體積法是求點到平面的距離的常用方法.20.已知拋物線，其焦點為，直線過點與交于、兩點，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，.（1）求的值；（2）在軸上是否存在一點滿意（點為坐標(biāo)原點）？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）2；（2）存在，.【解析】【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得到，進(jìn)而表示出，即可求出（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得到，，然后條件可轉(zhuǎn)化為，即，運用此式可得到【詳解】（1），當(dāng)直線的斜率為時，其方程為，設(shè)，，由，得，把代入拋物線方程得，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，拋物線，，由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，將其代入拋物線方程為，則，，假設(shè)在軸上存在一點滿意，則，即，即，所以，即，由于，所以，即，即在軸上存在點滿意.【點睛】涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21.已知函數(shù)，（1）設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求出，然后由函數(shù)有唯一極值點可得，即，然后求出的最小值即可（2）由條件可得，然后即證，設(shè)，即證，然后令，則，即證【詳解】由，可得，∵函數(shù)有唯一極值點，∴，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.（2），∵，是函數(shù)的兩個零點，∴，，∴，∴.要證，即證.設(shè)，則等價于，即證，令，且，即證，則，則,令，則，故在上單調(diào)遞增，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.即對隨意恒成立，所以.【點睛】1.函數(shù)的恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題2.一個比較困難的式子要擅長視察其特點，通過換元把它變簡潔.請考生在22、23題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的一般方程；（2）已知，直線與曲線C交于P，Q兩點，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用將極坐標(biāo)方程化為一般方程；(2)將直線的參數(shù)方程代入的一般方程,利用韋達(dá)定理求出，，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義將化為，即可求出的最大值.【詳解】（1）∵，∴，∴，即.（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入的一般方程，得，則，，所以，所以，即的最大值為.【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與一般方程的互化以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，考查了計算實力，屬于中等題.選修4-5