2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-41 直線的方向向量與平面的法向量

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

§4向量在立體幾何中的應(yīng)用

4.1直線的方向向量與平面的法向量

4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線的方向向量

1.（2020湖南張家界期末）已知直線1的一個(gè)方向向量m=（2,-1,3）,且直線1過(guò)

人（0,丫,3）和田-1,2,2）兩點(diǎn),則y-z=（）

3

A.0B.1C.-D.3

2

2.（2021江西新余期末）已知直線1與平面a垂直，直線1的一個(gè)方向向量為

u=（l,-3,z）,向量v=（3,-2,1）與平面a平行，則z=（）

A.3B.6C.-9D.9

3.已知空間中兩條不同的直線m,n,其方向向量分別為a,b,則飛入wR,aw入b"是

"直線m,n相交”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

題組二平面的法向量

4.（多選）（2022遼寧大連月考）已知向量荏二（2,2,1）,方=（4,5,3）,則平面ABC的一個(gè)

單位法向量是（）

A.B.

\3337V333/

5.在三棱錐P-ABC中，CP,CA,CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,如圖，建立空間直角坐

標(biāo)系，則下列向量中是平面PAB的法向量的是()

y

A.(1,1,)B.(1,V2,1)

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

6.已知平面a內(nèi)的兩個(gè)向量a=(l,1,1),b量0,2,T),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c

為平面a的一個(gè)法向量，則m,n的值分別為()

A.-l,2B.1,-2

C.1,2D.-1.-2

7.(2022安徽亳州第九中學(xué)月考)已知平面a內(nèi)有一點(diǎn)M(l,-1,2),平面a的一個(gè)法向

量n<2,T,2),若點(diǎn)P在平面a內(nèi)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是()

A.(-4,4,0)B.(2,-1,1)

C.(2,3,-3)D.(3,-3,4)

題組三利用向量解決平行問(wèn)題

8.(2021遼寧遼陽(yáng)集美學(xué)校月考)若兩條不重合的直線L和k的一個(gè)方向向量分別為

v尸(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則L和k的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

9.若平面a“平面B,則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()

A.rii=(1,2,3),ri2=(—3,2,1)

B.n)=(1,2,2),ri2=(—2,2,1)

C.n,=(l,1,l),n2=(-2,2,1)

D.ni=(l,1,l),n2=(-2,-2,-2)

10.(2021北京陳經(jīng)綸中學(xué)月考)已知平面a內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,l),B(0,l,0),C(l,0,0),

平面B的一個(gè)法向量為n=(T,T,T),且6與a不重合，則()

A.a||P

B.a_LB

C.a與B相交但不垂直

D.以上都不對(duì)

11.（2020山東聊城期中）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=VI,AF=1,M在EF上，且AMn平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

\

-)

A.-/

c.\立

V2(1)VT2

27D.4，

題組四利用向量解決垂直問(wèn)題

12.下列命題中正確的是（）

A.若直線1與平面a外的一條直線r在平面a內(nèi)的投影垂直,則11.1'

B.若直線1與平面a外的一條直線V垂直,則1與1'在平面a內(nèi)的投影垂直

C.若向量a和直線1在平面a內(nèi)的投影垂直，則a_Ll

D.若非零向量a和平面a平行,且和直線1垂直,直線1不與平面a垂直,則a

垂直于1在平面a內(nèi)的投影

13.（2020北京第一七一中學(xué)期中）設(shè)直線L的一個(gè)方向向量為a=（l,2,-2）,直線b的一

個(gè)方向向量為b=（-2,3,m）,若1>±12,則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.1B.2C.-D.3

2

14.已知向量初=（1,2,3）,礪=（2,入，3）,沆=（4,2,k）,若0A_L平面ABC,則人+k

的值是（）

A.-B.-C.-D.-

3242

15.（2021天津師范大學(xué)附中月考）若直線1的一個(gè)方向向量為a=（1,0,2）,平面a的一

個(gè)法向量為11=（-2,0,-4）,則直線1與平面a的關(guān)系為.

16.（2021浙江紹興第一中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯

形，nABC=zBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC,底面ABCD.求證：PA_LBD.

17.（2021廣東東莞檢測(cè)）如圖，在正三棱柱ABC-A.BiC,中，AB三AA尸a,E,F分別是

BBbCG上的點(diǎn)，且BE=a,CF=2a,求證:平面AEF_L平面ACF.

,7

能力提升練

題組一利用向量解決平行問(wèn)題

1.正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A,B和AC上的點(diǎn),且AM=AN=則

MN與平面BB,C,C的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.垂直D,不能確定

2.如圖所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯

形,ABnCD,AB=4,BC=CD=2,AA產(chǎn)2,E,EbF分別是棱AD,AA?AB的中點(diǎn).求證：

⑴直線EE/i平面FCC,;

(2)平面ADDAII平面FCCL

題組二利用向量解決垂直問(wèn)題

3.（2020遼寧盤(pán)錦大洼高級(jí)中學(xué)期末）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD_L平面

ABCD,PDnQA,QA=AB=|PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為（）

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.不確定

4.（2021云南昆明第一中學(xué)檢測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，四邊形AA,C,C是邊長(zhǎng)為

遍的正方形,CC」BC,BC=1,AB=2.

⑴證明：平面ABC_L平面ABCi；

⑵在線段A.B上是否存在點(diǎn)M,使得CM^BG?若存在,求出普的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)

BA1

明理由.

題組三向量法的綜合應(yīng)用

5.如圖，在正方體ABCD-ABCD中,P,Q,M,N,H,R分別是其所在棱的中點(diǎn).給出下

列結(jié)論:

NC,

①直線AD,ii平面MNP;

②HD」CQ;

③P,Q,H,R四點(diǎn)共面；

④AC」平面ABD.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2021寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且

AD=2,AB=1,PA_L平面ABCD,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn).

⑴證明：PFJLDF;

⑵判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG”平面PFD.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

l.AVA(O,y,3),B(-1,2,z),

.?.荏=(T,2-y,z-3).

???直線1的一個(gè)方向向量m=(2,-1,3),

：.^AB=km,.\-l=2k,2-y=-k,z-3=3k,

解得k=-1,y=z=|,/.y-z=O.故選A.

2.C由題意得U_Lv,即u.v=0,

，1X3+(-3)X(-2)+zX1=0,Az=-9.

3.B由"v入eR,aw入b"可知,a與b不共線,所以直線m,n可能相交,也可能異面,

所以飛入wR,aw入b"不是"直線m,n相交”的充分條件；

由直線m,n相交可知,a與b不共線,所以v入eR,a#入b,所以“v入wR,aw入b"是"直

線m,n相交”的必要條件.

所以％入eR,aw入b”是"直線m,n相交”的必要不充分條件.故選B.

4.AB設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則『竺二"即

lm-AC=0,

1t取y=入，入eR，貝"x=4入，z=-入，所以m=(q入，入，-入).若m為單

位向量，則]入2+v+入2=1,解得入=±|,故平面ABC的單位法向量為

/I22\f。

\393"3AV3'3,3/

故選AB.

5.A由題意得P(0,0,2),A(l,0,0),B(0,1,0),

.汨=(1,0,-2),荏=(-1,1,0).

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

Phfn-PA=0,Z[X-2Z=0,

br麗=o,H%+y=。，

取x=2,可得y=2,z=l,.*.n=(2,2,1).

又(1］《月n,

...(1,1，)為平面PAB的一個(gè)法向量.

故選A.

6.Ac=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).

由c為平面a的一個(gè)法向量,得晨：aCX/：°，

解得［血=11’

7.B若點(diǎn)P在平面a內(nèi)，則nj而=0,設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則2(x-l)-(y+l)+2(z-2)=0,

即2x-y+2z=7,經(jīng)驗(yàn)證，只有(2,-1,1)符合，故選B.

8.A因?yàn)閂2=-2S,即V2與vi共線,所以兩條不重合的直線L和k的位置關(guān)系是平

行.故選A.

9.D因?yàn)槠矫鎍H平面B,所以兩個(gè)平面的法向量互相平行.只有D項(xiàng)符合.故選

D.

10.A由題意得荏=(0,1,T),而=(1,0,T).

VnAB=(-1,-1,-1).(0,1,-1)=-1X0+(-1)X1+(-1)X(-1)=0,n-^C=(-l,-1,-1)-

(1.0,-l)=-lXl+0+(-l)X(-1)=0,

，n_L屈,11_1正，工!!也為a的一個(gè)法向量,

又a與B不重合，因此a||B.故選A.

11.C連接0E.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,1),

因?yàn)锳CnBD=O,所以0(y,y,0),

又E(0,0,1),A(V2,V2,0),

所以而=(-1,-4,1),宿=儀-a,y-V2,1),

因?yàn)锳MII平面BDE,所以。EllAM,

72V2

一

XX一

-V22-,2

所

以

V2立V2

,」

2y-2

力

V2-

2故選c.

D

2.

13.B因?yàn)閘—b,所以a_Lb.

因?yàn)閍=(l,2,-2),b=(-2,3,m),

所以1義(-2)+2X3+(-2)Xm=0,

解得m=2.故選B.

14.D易得荏=(1,1-2,0),格(3,0,k-3),

若0A_L平面ABC,貝！荏,OA±AC,

即M荏=1+2(入-2)=0用稱3+3(k-3)=0,所以人=|,k=2,故X+k=|.

故選D.

15.答案l_i.a

解析?/u=-2a,/.anu,1xa.

16.證明如圖，取BC的中點(diǎn)0,連接P0.易知P0_L平面ABCD,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立

空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2a,則A(a,-2a,0),P(0,0,V3a),B(a,0,0),D(-a,-a,0),

PA-(a,_2a,_V3a),BD-(-2a,-a,0),

：.PABD=aX(-2a)+(-2a)X(-a)+0=0,

：.PA±BD,即PA±BD.

17.證明

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,不妨設(shè)a=2,則

A(0,0,0),E(V3,l,2),F(0,2,4),

.*.XE=(V3,l,2),XF=(0,2,4).

?7x軸，平面ACF,.,.可取平面ACF的一個(gè)法向量為m=(l,0,0).

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則

九?空=gx+y+2z=0,取z=1)可得的(0,一2,1)為平面AEF的一個(gè)法向量.

jrAF=2y+4z=0,

Vm-n=0,/.mxn,

平面AEF_L平面ACF.

能力提升練

l.B建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB,C,C的法向量為

n=(0,1,0).

"M=AN號(hào).（吟5N得等）

???麗=（《，。，等

\,麗n=0,MN評(píng)面BBCC

/.MNII平面BBCC.故選B.

2.證明證法一：（1）因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點(diǎn)，底面ABCD為等腰梯形,

所以BF=BC=CF,所以△BCF為正三角形，

所以NBAD=NABC=60°.

取AF的中點(diǎn)M,連接DM,則DM±AB,所以DMxCD.

以D為原點(diǎn),DM,DC,D?所在直線為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所

不：

則F(V3,l,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),￡,(73,-1,1),

所以弟=(0,0,2),CF=(V3,-1,0).

設(shè)平面FCG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

則卜@7屈-丫=。，得z=o,

(TTCC]=2z=0,

令x=l,得y=V3,所以平面FCG的一個(gè)法向量為n=(l,8,0),

貝ljn￡￡7=1X^+V3X(-0+0X1=0,所以n±E￡\.

又直線EEi評(píng)面FCC?所以直線EEJI平面FCC,.

(2)易得D(0,0,0),D,(0)0,2),A(V3,-l,0),所以市=(V3,-l,0),西二(0,0,2).

設(shè)平面ADDA的一個(gè)法向量為m=(xi,ybZ1),

則『?西圖二％=。，得z_Q>

(nrDDi=2Z[=0,

令xE,得yi=V3,所以平面ADDA的一個(gè)法向量為m=(l,V3,0).

結(jié)合⑴知m=n,即mun,所以平面ADDAu平面FCCi.

證法二：(1)取AB的中點(diǎn)G,連接C6,GF,CG,A.D.

因?yàn)锳iG=^AiBi,DC=|AiBi,AIGIIDC,DCnDC,所以AIGEJDC,所以四邊形A^DCG為平行四

邊形，所以ADiCG.

又E,E,分別為AD,AA的中點(diǎn)，所以EE,又1D,所以EE.nCG.

因?yàn)镋E】評(píng)面FCC?CG評(píng)面FCC?

所以EE/i平面FCCb

(2)由(1)矢口ADiCG.易知DDJICC?

又A.DnDD^D,CGnCC,=C,

所以平面ADDAii平面FCCL

3.B由已知可得PD±DC,PD±DA,DC±DA.如圖，以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)QA=1,則D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,l,0),P(0,2,0),

故麗=(1,1,0),尻二(0,0,I),P5=(I,-I,O).

因?yàn)辂惵?0,尻聞=0,所以風(fēng)JL麗,而由，又DQnDC=D,所以PQJ_平面DCQ,

又PQc^F面PQC,所以平面PQCJ■平面DCQ.

4.解析⑴證明：在△ABC中，AC=V3,BC=1,AB=2,滿足AC2+BC2=AB2,所以AC±BC.

又CC」BC,CCcAC=C,所以BCJL平面ACCA.

又AST2面ACCA,所以BC±ACL

因?yàn)樗倪呅蜛A,C,C是正方形,所以AC,±A,C,

又BCnA,C=C,所以AC」平面AiCB.

又AG界面ABC,,所以平面ABC,平面ABC).

⑵在線段A,B上存在點(diǎn)M,使得CM±BCb且誓="

BA14

以C為原點(diǎn),CA,CB,CG所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示，貝!JC(0,0,0),B(0,l,0),Ai(V3,0,8)，3(0,0,V3),C^=(0,1,-V3),設(shè)

M(x,y,z),BM西(0<X<l),所以(x,y-l,z)=X(V3,-l,小),解得

x=V3X,y=l-X,z=V3入，所以加=(舊入，1-入，V3入)，要