2023春步步高數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊第八章8 .6 .2 直線與平面垂直

8.6.2直線與平面垂直

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念2掌握直線與平面

垂直的判定定理，并會(huì)用定理判定線面垂直3掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會(huì)用定理

證明相關(guān)問題.

I導(dǎo)語】

在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí).比如，旗桿與地面的位置關(guān)系，教

室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的形象.正因?yàn)槿粘?/p>

生活中有許多線面垂直的關(guān)系，所以，今天我們有必要對線面垂直做進(jìn)一步的研究.

一、直線與平面垂直的定義

問題1如圖，假設(shè)旗桿與地面的交點(diǎn)為點(diǎn)8,在陽光下觀察，直立于地面的旗桿AB及它在

地面的影子BC,隨著時(shí)間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，它們的位置關(guān)系如何？

提示始終保持垂直.

問題2在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間,

過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？

提示可以發(fā)現(xiàn)，過一點(diǎn)垂直于己知平面的直線有且只有一條.

【知識(shí)梳理】

1.直線與平面垂直的定義及畫法

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線1與平面

定義

a互相垂直

記法

有關(guān)直線/叫做平面a的垂線,平面a叫做直線1的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做

概念垂足

/

圖示上歹

||嘰法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

2.過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的

垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.

注意點(diǎn)：

定義中的任意一條直線指每一條直線，不同于無數(shù)條直線；若/_La,cUa,貝

例1（多選）下列命題中，不正確的是（）

A.若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，則/_La

B.若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒有與/垂直的直線

C.若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與/垂直

D.若直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，貝i"_La

答案ABD

解析當(dāng)/與a內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證/與平面a垂直，所以A不正確；當(dāng)/與a

不垂直時(shí)，/可能與a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若/在a內(nèi)，/也

可以和a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯(cuò)誤.

反思感悟?qū)τ诰€面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直

于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事.

跟蹤訓(xùn)練1（多選）下列說法，正確的是（）

A.若直線/垂直于a,則直線/垂直于a內(nèi)任一直線

B.若直線/垂直于平面a,則/與平面a內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行

C.若a"b、aC.a,IYa,則/_L6

D.若a_Lb,/?,La,則a//a

答案AC

解析由線面垂直的定義知，A正確；當(dāng)/La時(shí)，/與a內(nèi)的直線相交或異面，但不會(huì)平行，

故B錯(cuò)；C顯然是正確的；而D中，a可能在a內(nèi)，所以D錯(cuò)誤.

二、直線與平面垂直的判定定理

問題3如圖，過AABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕A。，將翻折后的紙片豎起放置在桌

面上（3D,。。與桌面接觸）.觀察并思考：折痕與桌面垂直嗎？若不垂直，如何翻折才能

使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

提示不一定.折痕4。是BC邊上的高時(shí)，AO與桌面垂直.

［知識(shí)梳理］

文字語言I如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直

符號語言mUa,nUa,mCn=P,IVm,/_L〃=/_La

圖形語言

例2如圖所示，在正方體A5C。一A山CQi中，M為CG的中點(diǎn)，AC與80交于點(diǎn)0,求

證：40L平面MBD

證明方法一?.?四邊形A8C。為正方形，

：.BD±AC,

又AA|_L平面ABCD,

：.AA\VBD且A4CAC=4,

平面4410,

：.BDl.A}0,

令正方體的棱長為2,連接0M,AiM（圖略）,

則Ai0=#,OM=-\[3,A|M=3,

111

：.Ax0^-0M=A\M,

：.A\0±0M,

又0MnBD=0,

，A|OJL平面MBD.

方法二連接48,AiD,0M（圖略）.

在正方體ABCO—AiBiGn中，

A\B=A\D,

。為8。的中點(diǎn)，

：.A\OVBD.

令正方體的棱長為2,

在RtZXAiA。和RtAOCM中，

?皎一0

tanNAA]。一AA—勺,

tanNCOA/=co=2'

故△AIAOS/XOCM,

，NAO4+NCOM=90。，

ZAi（9M=90o,

：.A\OVOM,

；8Or）OM=O,

BOU平面MBD,

OMU平面MBD,

.?.401?平面MBD.

反思感悟證明線面垂直的方法

（1）由線線垂直證明線面垂直：

①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時(shí)需要作輔

助線），使它們與所給直線垂直.

（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：

@a//b,a_La=Z?_La;?a//p,q_La=4_L夕.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，AB為。。的直徑，附垂直于。。所在的平面，例為圓周上任意一點(diǎn)，

ANLPM,N為垂足.

(1)求證：AN_L平面PBM；

(2)若AQ_LP8,垂足為。，求證：NQ1PB.

證明(1)：A8為。。的直徑，：.AM±BM.

又B4_L平面ABM,8MU平面ABM,

又?.?B4CAM=A,PA,

AMU平面PAM,

平面PAM.

又ANU平面PAM,：.BM1AN.

又AN1PM,且BMCPM=M,BM,PMU平面PBM,

.*.AN_L平面PBM.

(2)由(1)知AN_L平面PBM,

PBU平面PBM,：.AN±PB.

又ANC\AQ=A,AN,4QU平面AN0,

平面ANQ.

又NQU平面ANQ,：.PB±NQ.

三、直線與平面所成的角

問題4當(dāng)一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面所成角逐漸增大,

觀察思考鉛筆和桌面所成角怎樣定義？

提示鉛筆和它在桌面上的射影所成的角.

【知識(shí)梳理】

直線與平面所成的角

有關(guān)概念對應(yīng)圖形

一條直線與一個(gè)平面相交,但不與這個(gè)平面垂直,

斜線

這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線鞏

/

0/

斜足斜線和平面的交點(diǎn),如圖中直4

/%L/

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和

7

射影斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中

斜線PA在平面a上的射影為直線A0

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的英自，如圖中/B4。；

直線與平面

規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，

所成的角

或在平面內(nèi)，它們所成的角是￡

取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為仇則0WW90。

例3如圖，在正方體ABCQ-AIBCJA中.

⑴求AB與平面A4OQ所成的角；

⑵求A\B與平面BBQiD所成的角.

解(1)；4B_L平面AAQQ,

ZAAiB就是AiB與平面A4|D(D所成的角，

在中，/B44i=90。，AB=AAt,

：.ZA4|fi=45°,

：.A\B與平面AAyD\D所成的角是45。.

(2)如圖，連接4G交囪。?于點(diǎn)0,連接80.

"：A\OVB\D\,BB\VA\O,881nBBB\,BiDC平面SB。。,

；.AiO_L平面BB\D\D,

：.ZAiBO就是A\B與平面BB\D\D所成的角.

設(shè)正方體的棱長為1,則48=啦，4。=乎.

又；NAOB=90°,

，sinNA8O=駕=),又0°WN4BOW900,

AIDZ

ZA,50=30°,

：.A}B與平面B8QQ所成的角是30。.

反思感悟求直線與平面所成的角的步驟

(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角.

(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角.

(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形).

⑷答.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABC。一ASG。中，求直線AiB和平面AQCBi所成的角.

解如圖，連接8C”8G與BC相交于點(diǎn)O,連接AQ.

設(shè)正方體的棱長為a.

因?yàn)锳iBilBiB,BiC\QB]B=Bi,B\Ci,S8U平面BCGBI,

所以AiBJ_平面BCGBi,

所以AiB_LBG.

又因?yàn)锽G_L8iC,AlBiQBlC=Bi,A\B\,BiCU平面AIQCBI,

所以8G_L平面A\DCB\,

所以40為斜線A,B在平面AiDCBi上的射影，ZBAiO為A\B和平面A\DCB\所成的角.

在RtZ\4BO中，AiB=?t,80=芋a,

所以BO=^A\B.

所以/84。=30。，

所以直線4B和平面4DCB1所成的角為30。.

四、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

問題5我們知道，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中是否有類似的

性質(zhì)呢？

提示在空間中，垂直于同一直線的兩直線不一定平行，但是垂直于同一平面的兩直線一定

平行.

I知識(shí)梳理】

文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

符號語言Q_LQ,bA,a=>a//b

圖形語言My

注意點(diǎn)：

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法.

(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中平行與垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了垂直與平行

關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù).

例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB_L平面PAD,AD=AP,E是

尸。的中點(diǎn)，M,N分別在AB,PC上，S.MNVAB,MN_LPC證明：AE//MN.

證明平面PAD,AEu平面PAD,

J.AELAB,

入AB"CD,：.AELCD.

"：AD=AP,E是尸￡)的中點(diǎn),：.AEA.PD.

又CDCiPD=D,CD,PDu平面PC。，

；.AE_L平面PCD.

'：MNLAB,AB//CD,:.MNLCD.

又,：MNLPC,PCDCD=C,PC,CQu平面PC。，

平面PCD,J.AE//MN.

反思感悟證明線線平行的常用方法

⑴利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).

(2)利用基本事實(shí)4:證兩線同時(shí)平行于第三條直線.

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，aC￡=l,PALa,PB邛,垂足分別為A,B,aUa,.求證：a///.

證明VB4±a,/Ua,：.PA±l.

同理PB_U.

\'PAnPB=P,PA,PBU平面

，/_L平面PAB.

又；％_La,aCa,：.PA±a.

'：a±AB,PAHAB=A,PA,ABU平面以B,

；.a_L平面PAB.

：.a//l.

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)直線與平面垂直的定義.

(2)直線與平面垂直的判定定理.

(3)直線與平面所成的角.

(4)直線與平面垂直的性質(zhì)定理.

2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合.

3.常見誤區(qū)：判定定理理解“平面內(nèi)找兩條相交直線”與該直線垂直.

N隨堂演練

1.(多選)下列說法正確的是()

A.一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的三條直線，則這條直線和這個(gè)平面垂直

B.過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與平面所成的角為30。

C.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個(gè)平面垂直

D.一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直

答案BCD

2.（多選）卜列命題正確的是（）

a//b,]〃_La,]

A.\=>bLaB.\=blla

a.LaJa.Lb\

a〃"\a-Laf]

C.?=小尸D.

a.LaJb-La\

答案ACD

3.如圖，在正方體中，M是棱。。的中點(diǎn)，則過點(diǎn)仞且與直線48和BiG

都垂直的直線有（）

a

?

B、q

A.1條B.2條

C.3條D.無數(shù)條

答案A

解析與直線AB和8G都垂直即與直線AB和BC都垂直，故所求的直線垂直于平面A8C￡）,

所以過點(diǎn)M且與直線AB和81G都垂直的直線有且僅有直線DD\.

4.如圖所示，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，《4_L平面ABC,M=AB,則直線PB與平面ABC所成角

的度數(shù)為.

少4

答案45°

解析因?yàn)橐?，平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的射影為48,所以NP8A即為直線

尸8與平面ABC所成的角.在△南8中，/04P=90。，PA=AB,所以NP8A=45。，即直線

PB與平面ABC所成的角等于45°.

課時(shí)對點(diǎn)練

基礎(chǔ)鞏固

1.已知△ABC,若直線/LAB,ILAC,直線機(jī)，8C,m±AC,則/，機(jī)的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.不確定

答案C

解析依題意知/_!■平面ABC,小_1_平面ABC,

：.l//m.

2.如圖，在正方體中，與A5垂直的平面是（）

A.平面O2GC

B.平面AQBi

C.平面ALBIGG

D.平面408

答案B

解析連接4，。向（圖略），VADilAiD,ADilAiB,,AiDQA]Bi=A],A\D,平面

AQBj,

.?.A￡>i_L平面A\DB\.

3.（多選）下列說法中，正確的有（）

A.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的四條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直

B.過直線/外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與/垂直

C.如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面

D.過點(diǎn)A垂直于直線”的所有直線都在過點(diǎn)4垂直于a的平面內(nèi)

答案BCD

4.如圖，aC0=l,點(diǎn)、A,CCa,點(diǎn)8q夕，且BC邛,那么直線/與直線AC的關(guān)系

是（）

A.異面B.平行C.垂直D.不確定

答案C

解析'：AB±a,lUa,：.ABU,

又,：BC邛,又從：.BCU,

又ABCBC=B,AB,BCU平面ABC,

，/_L平面ABC,

又ACU平面ABC,：.l±AC.

5.如圖，三棱柱ABC—AIBIG的各棱長均相等，且側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)。是側(cè)面BBGC的

中心，則AQ與平面ABC所成的角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案A

解析取8c的中點(diǎn)E,連接。E,AE（圖略），則。平面A8C,故OELAE,/D4E即為

A。與平面A8C所成的角，設(shè)三棱柱ABC—4向G的棱長為1,則AE=竽，所以tan

NDAE=^,所以/ZME=30。.

6.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)用a,PBLa,C是平面a內(nèi)異于A和8的動(dòng)

點(diǎn)，JIPCVAC,則△4死為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

答案B

解析易證AC_L平面PBC,又BCU平面PBC,

所以ACLBC.

7.在長方體ABCD-AIBIGA中，EGBD,FWBQi，KEF1AB,則EF與AAi的位置關(guān)系

是________

答案平行

解析如圖，AB±EF,且48不垂直于平面BB。。,

EF與381不相交，EF//BB\,

又：.EF//AAi.

8.在矩形ABC。中，AB=1,BC=巾,附_L平面ABC。，用=1,則PC與平面ABC。所成

的角是.

答案30。

解析由題意知/PCA為PC與平面ABC。所成的角.

BA1S

在RtZ\R4C中，tanNPCA3，

：.ZPCA=30°.

9.如圖所示，四邊形ABC。是正方形，DE_L平面ABC。，DE=DA=2.

⑴求證：AC_L平面BOE；

⑵求AE與平面BDE所成角的大小.

⑴證明：四邊形ABC。是正方形，.?.AC_L8D

：￡>E_L平面ABC。，ACU平面ABCD,：.ACLDE,

,：BD,OEU平面8￡>E,BDCDE=D,

；.AC_L平面BDE.

(2)解設(shè)ACABO=O,連接EO,如圖所示.

：ACJ_平面BDE,，EO是直線AE在平面BDE上的射影,

ZAEO即為AE與平面所成的角.

在RtZ\E4O中，EA=、A?+D庶=2巾,AO=也

AO1

??在RtzXEOA中，sinNAEO="人=/，

AZA￡O=30°,即AE與平面3DE所成的角為30。.

10.如圖，在正方體A8CD-AiBiGA中，E”與異面直線AC,AQ都垂直.求證：EF//BD\.

證明如圖所示，連接AS,B1D1,BiC,BD,

平面ABC。，ACU平面ABC￡>,

ADDilAC.

又ACLBD,DD\C\BD=D,DD],BOU平面BQCiBi,

；.ACJ_平面BDDB,

又U平面BDDB,

：.ACYBD\.

同理可證BDi±BiC,

又ACCBC=C,AC,81CU平面ABC,

平面ABiC.

'JEFYAxD,A\D//BiC,：.EF^B\C.

XVEFlAC,ACnBiC=C,AC,8CU平面ABC,

，EF_L平面ABC,：.EF//BD\.

綜合運(yùn)用

11.如圖，在正方形ABC。中，E,F分別是BC,8的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE,

A尸及E尸把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B,C,。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，，那

么，在這個(gè)空間圖形中必有（）

A.AG_LZ\EFH所在平面

B.所在平面

C._LZ\4EF所在平面

D."GLZXAEF所在平面

答案B

解析根據(jù)折疊前、后AH1.HE,尸不變，可推出AH,平面

12.在四面體P-ABC中，若B4=P8=PC,則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影一定是aABC的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

答案A

解析如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)。，連接0P,則尸。上平面ABC,

連接04,OB,0C,

：.P0±0A,POLOB,P0L0C,

又PA=PB=PC,

，RtZ\P0gRtZ\P0B彩RtZ\P0C,

則0A=0B=0C,

；.0為△ABC的外心.

13.如圖所示，在正三棱柱ABC-ABiG中，若AB：B5=/：1,則與平面BBiGC所

成角的大小為()

A.45°B.60°C.30°D.75°

答案A

解析如圖，取8c的中點(diǎn)。，連接AD,BiD,

：AZ)_L8C且AZ)_L8Bi,BCCBB尸B,BC,881U平面8CGB,

.\AOJ_平面BCCB,

.../ABi。即為AS與平面BB1GC所成的角.

設(shè)AB=也，則A4i=l,AO=乎，ABi=木,

:.sin/ABiD=^=坐,ZAB]D=45°.

ADIL

即ABi與平面BBCiC所成的角為45。.

14.如圖，在直三棱柱ABC-481G中，BC=CG，當(dāng)?shù)酌?5Ci滿足條件時(shí)，有

ABiLBG.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

答案/4GBi=90。

解析如圖所示，連接8C,由8C=CG,可得BGL