2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.1-任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.1-任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念-專項(xiàng)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A．12 B．2C．32 2．下列與角9πA．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈3．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，如圖所示，將一個(gè)半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點(diǎn)重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細(xì)線，細(xì)線的端頭M(開始時(shí)與圓盤上點(diǎn)A(1，0)重合)系著一支鉛筆，讓細(xì)線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點(diǎn)為B，細(xì)線的粗細(xì)忽略不計(jì)，當(dāng)φ＝2rad時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O之間的距離為()A．1cos1 B．C．2 D．54．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在5．在平面直角坐標(biāo)系中，若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)sin2π3A．32 B．－1C．－32 D．6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓面積．南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率π.據(jù)此，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到π與n的關(guān)系為()A．π≈n2sinB．π≈nsin180°C．π≈n2D．π≈n二、多項(xiàng)選擇題7．已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－3)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是()A．sinθ＝－21B．α為鈍角C．cosα＝－2D．點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A(1，0)．已知點(diǎn)B(x1，y1)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是(x0，sinx0)，則下列說(shuō)法中正確的是()A．若∠AOB＝α，則ACB＝αB．若y1＝sinx0，則x1＝x0C．若y1＝sinx0，則ACB＝x0D．若ACB＝x0，則y1＝sinx0三、填空題9．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，則5sinα＋5cosα＋4tanα＝________.10．(2023·北京高考)已知命題p：若α，β為第一象限角，且α>β，則tanα>tanβ.能說(shuō)明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝________，β＝________．四、解答題11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A(1，0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－12，求sinα的值和與角α終邊相同的角β(2)若α∈0，π2，請(qǐng)寫出弓形AB的面積S12．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，求其面積．13．某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，線段BA，CD與BC，AD的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值．參考答案1．C[設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則αr=解得r=2．C[對(duì)于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈對(duì)于C，因?yàn)?π4＝2π＋π4與－315°是終邊相同的角，故與角9π4的終邊相同的角可表示為k·對(duì)于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，則表示的角5π3．D[展開過(guò)程中：BM＝AB＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝BM2+4．A[因?yàn)棣?＜2＜3＜π＜4＜3π2，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·5．B[依題意，因?yàn)閟in2π3＝32，cos2π3＝－12，所以終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為326．A[設(shè)圓的半徑為r，將內(nèi)接正n邊形分成n個(gè)小三角形，由內(nèi)接正n邊形的面積無(wú)限接近圓的面積，即可得：πr2≈n·12·r2·sin360°n，解得π≈n27．ACD[角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－3)，sinθ＝－217θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，由題意得α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，3)，α為第二象限角，不一定為鈍角，cosα＝－27因?yàn)閠anθ＝32>0，sinα＝217>0，所以點(diǎn)(tanθ，sin8．AD[由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有ACB＝1·α＝α，所以A正確；由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點(diǎn)，y1是對(duì)應(yīng)∠AOB的正弦值，即y1＝sinx0，所以x1是對(duì)應(yīng)∠AOB的余弦值，即x1＝cosx0，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)y1＝sinx0時(shí)，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C錯(cuò)誤；反過(guò)來(lái)，當(dāng)∠AOB＝x0，即ACB＝x0時(shí)，y1＝sinx0一定成立，所以D正確．故選AD.]9．－4或－2[設(shè)α終邊上任意一點(diǎn)為P(－4a，3a)，r＝|5a|.當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－∴5sinα＋5cosα＋4tanα＝3－4－3＝－4；當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－∴5sinα＋5cosα＋4tanα＝－3＋4－3＝－2.綜上可知，5sinα＋5cosα＋4tanα＝－4或－2．]10．9π4(答案不唯一)π4(答案不唯一)[取α＝π4＋2π，則α>β，但tanα＝tanβ，不滿足tanα>tanβ，∴命題p為假命題，∴能說(shuō)明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝9π4，β＝11．解：(1)由題意知，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－12，可得B的坐標(biāo)為?12，32，于是α＝2π3＋2kπ，k∈Z，與角α終邊相同的角β的集合為(2)△AOB的高為1×cosα2，AB＝2sinα故S△AOB＝12×2sinα2×cosα2＝1故弓形AB的面積S＝12·α·12－12sinα＝12(α－sinα)，α12．解：由條件可知，弧長(zhǎng)AB＝BC＝AC＝2π3，等邊三角形的邊長(zhǎng)AB＝BC＝AC＝2π3π3＝2，則以點(diǎn)A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對(duì)的扇形面積為12×2π3×2＝2π3，中間等邊所以萊洛三角形的面積是3×2π3－23＝2π－213．解：(1)根據(jù)題意，可算得BC＝θx，AD