北師版九年級數(shù)學上冊同步講義

個性化教學輔導教案

學生姓名年級八年級學科數(shù)學

上課時間2017年月日教師姓名

課題九年級《矩形》

1、理解并掌握矩形的性質(zhì)和判定定理；

教學目標

2、靈活應用矩形的性質(zhì)和判定定理解決實際問題。

教學過程

教師活動學生活動

A.52cmB.40cmC.326c//

2.如圖，在平行I■a形ABCD/，BC=2AB,CELAB于E,F為AD的中國若

NAEF=54°,/則/屏（

A.54°8勰60°72°

［第2

3.ABCZ）按如圖所示的方式折疊，恰好得CF.若=3,則菱

形AECF的面積為

D

A

A.1B.2&C.2如D.4

4.如圖，在矩形ABC。中，AEVBD.若ND4E：NBAE=3：1,貝i]NEAO=

【矩形判定】

1.在數(shù)學活動課上，老師和同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學

習小組擬定的方案，其中正確的是（）

A.測量對角線是否相互平分

B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量對角線是否相等

D.測量其中三個角是否都為直角

2.在四邊形ABCD中，4C、BD交于點0,在下列各組條件中，不能判定四邊形ABCD

為矩形的是（）

A.AB^CD,AD=BC,AC^BDB.AO=CO,BO=DO,N4=90°

C.ZA=ZC,NB+/C=180°,ACVBDD.ZA=ZB=90°,AC=BD

3.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，延長A。到點E,使DE=A￡>,連接E8,EC,DB

請你添加一個條件，使四邊形OBCE是矩形.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F分別是AB、0c上的點，且AE=CF,求證:

（1）證明△ADEZZ\C3/7；

（2）當/DEB=90。時，試說明四邊形DEBF為矩形.

5.如圖，菱形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,KDE//AC,AE//BD.求證:

四邊形A0DE是矩形.

6.如圖，在AABC中，AB=AC,力為BC邊的中點，以AB、為鄰邊作口A8DE,

連接AD,EC.求證：四邊形AOCE是矩形.

【矩形性質(zhì)與判定】

1.平行四邊形A8C。中，過點。作。于點E,點尸在CZ)上，CF=AE,連接

BF,AF.

(1)求證：四邊形8FCE是矩形；

若4尸平分NBAD,且AE=3,DE=4,求矩形8FOE的面積.

2.如圖，在。ABC。中，點P是AB邊上一點（不與A,8重合），CP=CD,過點P

作PQJ_CP,交A。邊于點Q,連結(jié)CQ.

（1）若/8PC=N4QP,求證：四邊形ABC。是矩形;

（2）在（1）的條件下，當AP=2,AZ>6時，求AQ的長.

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8麗，點P從A開始沿折線A-B-C-

。以4ca/s的速度移動，點。從C開始沿C。邊以2CTW/S的速度移動，如果點P、Q

分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達。時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時

間為，（s）.當，為何值時，四邊形QP8C為矩形?

Q<

⑨鞏固練習

1.已知：如圖，在矩形ABCD中，DELAC,NADE=L/CDE,那么NBDC等于()

A.60°B.45°C.30°D.22.5°

2.矩形的面積是12cm2,一邊與一條對角線的比為3：5,則矩形的對角線長是()

A.3cmB.4cmC.5cmD.\2cm

3.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是(填序號).

①對邊平行且相等；②對角線互相平分；③對角相等；④對角線相等；

⑤4個角都是90°；⑥既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

4.已知矩形ABCQ中，S籍彩A8co=24an\若BC=6cm,則對角線4c的長是_cm.

5.已知：如圖所示，在矩形ABCQ中，E為。C上的一點于點尸，且8尸=BC,

求證：AE=AB.

6.如圖，在矩形4BCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE^CF,連接EF、BF,

EF與對角線AC交于點O,且BE=BF,NBEF=2NBAC.

(1)求證：OE=OF；

(2)求/ACB的度數(shù).

7.如圖,E為矩形ABC。的邊AC上一點，且BE=OE,M為對角線B。上一點,MPLBE,

MQ1AD,垂足分別為尸，Q,求證：AB=MP+MQ.

(?總結(jié)優(yōu)化

【矩形性質(zhì)】

性質(zhì)1:矩形的四個角都是直角；

性質(zhì)2：矩形的對角線相等；

性質(zhì)3：矩形是軸對稱圖形；

性質(zhì)4：具有平行四邊的所有性質(zhì)。

【矩形判定】

判定1：有一個角是直角的平行四邊形是矩形(定義);

判定2：對角線相等的平行四邊形是矩形；

判定3：有三個角是直角的四邊形是矩形；

【培優(yōu)】

1.如圖，NCAE是△ABC的外角，AO平分NEAC,且A￡>〃8c.過點C作CG_LAD,

垂足為G,AF是BC邊上的中線，連接尸G.

(1)求證：AC-FG.

D

(2)當ACLFG時，△A8C應是怎樣的三角形？為什么？

B

2.如圖：在矩形ABCQ中，AB=\2cm,BC=6cm,點尸沿AB邊從A開始向點B以2

厘米/秒的速度移動，點Q沿DA邊從。開始向點A以1厘米/秒的速度移動，如果P、

。同時出發(fā)，用f（秒）表示移動的時間（0WW6）.

（1）當f為何值時，AAP0為等腰三角形？

（2）求四邊形04PC的面積，并梃出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論.

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。.

（1）E與尸是4C上兩點且不與0點重合，AE=CF,四邊形力砂尸是平行四邊形嗎？

說明理由；

（2）若E,尸是AC上兩動點，分別從A,C兩點以相同的速度向C、A運動，其速

度為若BD=12cm,AC=16cm,當運動時間f為何值時，以￡）、E、B、F為頂

點的四邊形是矩形？說明理由.

回效果驗退

1.下列性質(zhì)中矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是()

A.對角線互相平分B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.每條對角線平分一組對角

2.已知E是矩形ABCO的邊BC的中點，那么旌曲產(chǎn)______S^ABCo()

A.工B.Ac.AD.A

2456

6.矩形ABC。的兩條對角線相交于點O,且乙400=120。.你能證明AC=2AB嗎？

7.如圖，在矩形ABC。中，AE_LB。于E,且BE：￡0=1：3,求證：AC=2AB.

8.如圖，矩形A8CD中，點4在坐標原點，點8、點。分別在x軸、y軸的正半軸

上，且A8=8,AD=6,

①請直接寫出點C的坐標（）；

②點P從點。向C運動，速度為1個單位/秒，點。從點3向A運動，速度點P相

@強化提升

1.矩形中，對角線把矩形的一個直角分成1：2兩部分，則矩形對角線所夾的銳角

是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如圖，在矩形ABCD中,48=3,AD=4,「是4。上不與4、。重合的一動點，PEJ_AC,

3.有下列說法：①四個角都相等的四邊形是矩形；②有一組對邊平行，有兩個角為

直角的四邊形是矩形；③兩組對邊分別相等且有一個角為直角的四邊形是矩形；④

對角線相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；⑤對角線互相平分且相等的四邊形

是矩形.其中，正確的個數(shù)是（）

A.2個8.3個C.4個D.5個

4.如圖，矩形ABCD中，對角線AC、8。相交于點0,在8c上取8E=BO,連結(jié)

AE,OE.若NBOE=75°,則/C4E的度數(shù)等于（）

5.如圖，矩形A8C。的對角線AC=8tro,ZAOD=120°,則AB的長為cm.

6.矩形一條對角線為10,另一條對角線為1（）,如果這個矩形的一邊長為8,則

這個矩形的面積為.

7.如圖，矩形A8CQ中，AB=8,BC=10,A尸平分ND4E,EF±AE,則CF等于.

8.已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC、2。相交于點O,CE//DB,交A8的延

長線于點E.求證：AC=EC.

個性化教學輔導教案

學生姓名年級九年級學科數(shù)學

上課時間2017年月日教師姓名

課題九年級《菱形》

3、理解并掌握菱形的性質(zhì)和判定定理；

教學目標

4、靈活應用菱形的性質(zhì)和判定定理解決實際問題。

教學過程

教師活動學生活動

(@復習檢查］

1.如圖，在443c中，AB=6cm,AC=l0cm,平分/BAC,BD1AZ)于點。，BD

的延長線交AC弓二點F,E為8c的中點，求的長.

nJL

C

2.如圖，四邊形A3CD是平行四邊形，點石在3C上，點尸在AO上，BE=DF,求

證：AE=CF.

/n

BE7C

3.如圖，在D4BCQ中，AB=3,AD=4,NABC=60。，過BC的中點E作EF_LAB,

垂足為點F,與DC的延長線相交于點H.

（1）求證：△BEF名/\CEH；

（2）求。E的長.

⑧問題定位

1.已知菱形的邊長為20",且有一個內(nèi)角是60。，則此菱形的面積為（）

A.B.2Gm2C.8心m1D.不能確定

2.下列條件中，不能判定四邊形4BC。是菱形的是（）

A.UABCD>AB=BCB.R4BCQ中，ACLBD

C.O48C。中，AC=BDD.O4BC。中，4c平分NBA。

3.下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）

A.對角線垂直B.兩對角線相等

C.兩對線互相平分D.兩對角線互相垂直平分

4.菱形的周長是40cm,而對角線的比為3：4,則兩條對角線長分別為—cm,

cm.（請按由小到大的順序填）

5.要使平行四邊形4BCO成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的是

—,依據(jù)是—.

6.在RdABC中，NBAC=90。，。是BC中點，E是AQ中點，過A作AF〃BC

①求證：AAEF絲ADEB；

②求證：四邊形4OC尸是菱形；

③若AB=5,AC=4,求菱形AOC尸的面積.

7.如圖，已知點E,F分別是口ABCD的邊BC,A。上的中點，且/BAC=90。.

(1)求證：四邊形AECf■是菱形；

(2)若/8=30。，8c=10,求菱形AECF面積.

⑨鞏固練習

1.若菱形的周長為8.4cm,相鄰兩角之比為5：1,那么菱形的一組對邊之間的距離

為()cm.

A.4.2B.2.1C.1.05D.0.525

8.如圖，AC,8。是菱形ABCQ的對角線，且交于點。，則下面正確的是（）

C

A.圖中共有五個三角形，它們不全等B.圖中只有四個全等的直角三角形

C.圖中有四對全等直角三角形

D.圖中有四個全等的直角三角形，兩對全等的等腰三角形

9.已知。ABC。，添加下列一個條件：?AC±BD?ZBAD=90°③AB=80@AC=8D,

其中能使。ABCD是菱形的為（）

A.①@B.②③C.③④D.①②③

10.用折紙、剪切的方法得到一個菱形，最少要剪（）刀（設(shè)一條線段剪一刀）.

A.1B.2C.3D.4

11.若菱形ABC。中，AELBCTE,菱形ABCD的面積為48cmAE=6cm,則A8

的長度為cm.

12.如圖，點E、F是菱形ABC。的邊8C、CC上的點，請你添加一個條件（不得

另外添加輔助線和字母），使AE=A尸，你添加的條件是—.

13.如圖所示，菱形A8CO的對角線AC,BD交于點O,AC=16cm,BD=12cm,則

菱形邊AB上的高DM的長是cm.

［第12題］［第13題］［第14題］

14.如圖，在菱形ABCD中，E、尸分別在BC、CD上，KAAEF是等邊三角形，

則/BA力的度數(shù)是.

18.已知：如圖，在菱形ABC。中，F(xiàn)為邊BC的中點，QF與對角線AC交于點M,

過M作ME_LC￡）于點E,Z1=Z2.

（1）若CE=1,求BC的長；

（2）求NBCD的度數(shù).

⑥）總結(jié)優(yōu)代

【菱形性質(zhì)】

性質(zhì)1:菱形的四條邊相等；

性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直；

性質(zhì)3：菱形是軸對稱圖形；

性質(zhì)4：具有平行四邊的所有性質(zhì)。

【菱形的面積計算公式】

a、可以直接使用平行四邊形的面積計算公式：S菱彩=底乂高

b、S菱形=對角線乘積一半

推導過程：如圖所示：四邊形A8CZ）是菱形，AC.80是對角線，。為對角線交點。

S菱形USAABC+SAAD*—AC?BOH—AC?DO

22

=^AC（B0+D0）

=-ACBD

2

推廣：對角線互相垂直的四邊形面積都可以用“對角線乘積一半”計算

【菱形的判定】

判定1:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

判定2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

判定3：四邊相等的四邊形是菱形；

【培優(yōu)】

1.如圖，在中，BC=2AB=4,點E、P分別是BC、40的中點.

(1)求證：△ABEgACDF；

2.如圖，已知ZkAB。，△BCE,ZiACF都是等邊三角形.

(1)求證：四邊形ADEF是平行的四邊形；

(2)△ABC滿足什么條件時，四邊形4OEF是菱形？說明理由.

5.已知，在△ABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、

AC的平行線交AC于尸，交AB于Q.

(1)求四邊形AQWP的周長；

(2)M位于BC的什么位置時，四邊形A0MP為菱形？說明你的理由.

。效果驗證

I.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB,CELAB于E,F為AD的中點，若

2.將矩形紙片A8C￡＞按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形4ECT.若48=3,則菱

形AECF的面積為()

A.1B.2近C.2MD.4

3.下列說法中，錯誤的是()

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.菱形的對角線互相垂直

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

4.如圖，已知四邊形A8CD的四邊相等，等邊的頂點M、N分別在8C、CD

上，且則/C為()

A.100°B.105°C.110°D.120°

5.如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形A3CD,

6.如圖，將兩條寬度都為6的紙片重疊在一起，使NA8C=60。，則四邊形A8C。的

面積為.

7.如圖，在四邊形A8CF中，NACB=90。，點E是A3邊的中點，點尸恰是點E關(guān)

于AC所在直線的對稱點.

(1)證明：四邊形為菱形;

(2)連接EF交AC于點O,若BC=10,求線段OF的長.

⑨強化提升

1.口ABCD的對角線AC、B。相交于點0,下列條件中，不能判定oABCQ是菱形的

是（）

A.ZA=ZDB.AB=ADC.AC1BDD.。平分/BCD

2.如圖，將AABC沿BC方向平移得到△OCE,連接AO,下列條件能夠判定四邊

3.平面直角坐標系中，四邊形ABCQ的頂點坐標分別是A（-3,0）、B（0,2）、C

（3,0）、D（0,-2）,四邊形ABC。是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

4.如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P為對角線8。上一動點，

則EP+FP的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，在菱形ABCQ中，AB=4cm,ZADC=120°,點E,F同時由A,C兩點出

發(fā)，分別沿AB,CB方向向點8勻速移動（到點B為止），點E的速度為Ic/n/s,點

F的速度為2c〃?/s,經(jīng)過f秒為等邊三角形，則f的值為（）

323

6.如圖，四邊形ABCO是菱形，ND4B=50。，對角線AC,BQ相交于點O,DHLAB

于H,連接0H,則/OH。的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

7.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC、BD交于點O,H為AD邊的中點.若菱形

ABCD的周長為32,則OH的長為.

8.如圖，在邊長為2的菱形4BCD中，NB=45。,4E為BC邊上的高，將AABE沿

AE所在直線翻折得△A8E,則△A8E與四邊形AEC。重疊部分的面積是

BECBi

9.如圖，在菱形ABC￡＞中，對角線AC、8力相交于點O,已知AC=6,BD=8.求菱

形A8CO的面積.

10.如圖,△ABC中,AB=AC,NBAC=40。,將仆ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100。.得

到連接8￡>,CE交于點F.

(1)求證：△ABD四△4CE；

(2)求證：四邊形ABFE是菱形.\

11.如圖，在四邊形ABC。中，A8〃CD,點E、尸在對角線AC上，且

AE^CF.

(1)求證：HABF^XCDE：

(2)當四邊形A2CD滿足什么條件時，四邊形BFDE是菱形？為什么？

個性化教學輔導教案

學生姓名年級八年級學科數(shù)學

上課時間2017年月日教師姓名

課題九年級《正方形》

5、理解并掌握正方形的性質(zhì)和判定定理；

教學目標

6、靈活應用正方形的性質(zhì)和判定定理解決實際問題。

教學過程

教師活動學生活動

口復習檢理

1.在RdABC中，NBAC=90。，。是BC中點，E是AO中點，i士A作AF〃BC

①求證：AAEFg△￡)￡?&

…C一，

幺_________F

4米1止：四見)杉A〃。力是麥形；/%

.

③若AB=5,4C=4,求菱形4XT的面積.

L

JBn

.

2.在矩形ABC。中,對角線AC、BQ交于點O,垂足為E,且AE平分/BAO.若

。0=2,求AB和8c的長度.

3.矩形ABCO中，對角線AC和8￡＞相交于O,ZAOB=60°,AC=10,

(1)求AB；

(2)求A。；

(3)求矩形ABC。的面積.

⑧問題定位

【正方形性質(zhì)】

I.如圖，直線/上有三個正方形4、b、C,若。、C的邊長分別為1和2,則〃的面

2.如圖，在正方形A8CQ中，如果AF=BE,那么NA。。的度數(shù)是（）

BEc

A.90°B.80°C.70°D.60°

3.如圖，已知正方形ABC力的對角線交于。點，點E、/分別是AO、CO的中點，

連接BE、BF、DE、DF,則下列結(jié)論中一定成立的是（把所有正確結(jié)論的序號

都填在橫線上）

@BF=DE-,②NA8O=2/A8E；A￡D=XSAACD；④四邊形是菱形.

【正方形判定】

1.關(guān)于&4BC。的敘述，正確的是（）

A.若ACJLBO,則D4BC7）是正方形B.若AC=BC,則24BCD是正方形

C.若AB_L8C,則￡74BC￡＞是菱形D.若AB=BC,則QABCD是菱形

2.平行四邊形ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,給出下列四個條件：①AC

平分/BCD,?ACLBD,③OA=OC,?OB=OC,@ZBAD+ZBCD=180°,?AB=BC.從

中任選兩個條件，能使平行四邊形A8C。為正方形的選法有（）

A.3種B.6種C.7種D.8種

3.如圖在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點￡）,交A8于點E,

且BE=BF,請你添加一個條件使四邊形8ECF是正方形.

4.如圖，8。是△ABC的角平分線，DE//BC,交AB于點E,DF//AB,交BC于點

F,當△ABC滿足條件時，四邊形8EDF是正方形.

【正方形性質(zhì)和判定綜合】

1.如圖，正方形A8CC的邊長為8,在各邊上順次截取AE=8F=CG=￡W=5,則四邊

形EFG”的面積是()

A.30B.34C.36D.40

2.如圖，AC是四邊形ABC。的對角線，ZB=90°,ZADC-ZACB+450,BC=AB+J^,

若4C=CZ),則邊的長為.

3.已知：如圖，E是正方形ABCD的對角線8。上的點，連接AE、CE.

(1)求證：AE=CE；

(2)若將△ABE沿AB對折后得到△ABF-,當點E在BD的何處時，四邊形AFBE

是正方形？請證明你的結(jié)論.

4.己知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AQ_L8C,垂足為點Q,AN是△A8C外角/CAM

的平分線，CELAN,垂足為點E,連接OE交AC于點F.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當AABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.

（3）在（2）的條件下，若AB=AC=2A/"^,求正方形AOCE周長.

I.如圖，一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若N2=50。，則Nl+N3=

A.90°B.100°C.130°D.180°

2.如果正方形ABCD的面枳為2,則對角線AC的長度為（

9

3.把邊長為6厘米的正方形ABCD沿對角線AC截成兩個直角三角形，在兩個三

角形內(nèi)按下圖剪下兩個內(nèi)接正方形I、II,這兩個正方形的面積比較（）

A.I大艮H大C.一樣大D.無法確定誰大,門

4.在直線/上依次擺放著五個正方形(如圖所示).已知斜放置的兩個正方形的面積

分別是2、3,正放置的三個正方形的面積依次是Si、S2、S3,則SI+2s2+S3=_.

5.若以正方形ABC。的一邊CD為邊作等邊三角形△CCE,則.

6.已知正方形ABC。，E、尸分別為邊BC、上的點，DE=AF.求證：AFLDE.

7.如圖，在正方形A8C。中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED.

(1)試說明△BEC絲△￡>￡■(?；

(2)延長BE,交于凡/BED=120。時，求NEFD的度數(shù).

8.如圖所示，點E、F分別為正方形ABCD邊AB、8c的中點，DF、CE交于點M,

CE的延長線交D4的延長線于G,試探索：

(1)。F與CE的位置關(guān)系；(2)M4與。G的大小關(guān)系.

。總結(jié)優(yōu)化

【正方形性質(zhì)】

性質(zhì)1:正方形的四個角都是直角，四條邊相等；

性質(zhì)2：正方形的對角線相等且互相垂直平分；

性質(zhì)3：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。

【正方形判定】

判定1：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（定義）；

判定2：對角線相等的菱形是正方形；

判定3：對角線互相垂直的矩形是正方形；

判定4：有一個角是直角的菱形是正方形。

【中點四邊形】

1.任意四邊形和平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；

2.矩形的中點四邊形是菱形；

3.菱形的中點四邊形是矩形；

4.正方形的中點四邊形是正方形。

實際上：順次連接四邊形各邊的中點所得到的四邊形一定是“平行四邊形”，但它是否

為特殊的四邊形取決于與是否相互平分無關(guān)。

原四邊形兩條對角線連接四邊中點所得四邊形

互相些成矩形

相等菱形

互相羹*且相等正方形

既不互相整立也不相等平行四邊形

1.順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）

4平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

2.順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

3.若順次連結(jié)四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形（）

A.一定是矩形B.一定是菱形

C.對角線一定互相垂直D.對角線一定相等

4.順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊上的中點，得到的新四邊形是（）

A.矩形B.正方形C.菱形￡>.平行四邊形

5.順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

6.如圖，點。為四邊形A8CD內(nèi)任意一點，E,F,G,H分別為OA,OB,0C,

0￡>的中點，則四邊形EFG”的周長為（）

A.9B.12C.18D.不能確定

7.如圖，在四邊形A8OC中，E,F,G,H分別為A8,BC,CD,D4的中點，并

且E,F,G,H四點不共線.

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形.\

（2）當AC=BQ時，求證：四邊形EFG”為菱形.：tr^D

8.閱讀下面材料：

在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1,我們把一個四邊形ABCZ）的四邊中

點E,F,G,，依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問

題是，有如下思路：連接AC.

結(jié)合小敏的思路作答

（1）若只改變圖I中四邊形ABC。的形狀（如圖2）,則四邊形還是平行四

邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：

（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接AC,BD.當AC與8。滿足什么條件時，

四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論.

9.己知1：如圖，四邊形ABCZ)四條邊上的中點分別為E、F、G、H,順次連接EF、

FG、GH、HE,得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點四邊形).

(1)四邊形EFGH的形狀是_,并證明你的結(jié)論.

(2)當四邊形ABCD的對角線滿足條件_時，四邊形EFG"是矩形；

(3)你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？

(4)當四邊形A8C。的對角線滿足條件_時，四邊形EFGH是菱形.

二

BFC

1.如圖,E是正方形ABCD邊AB延長線上一點,且BD=BE,則ABED的大小為()

A.15°B.22.5°C.30°D.45°DC

2.下列命題中，真命題是()

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形A

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

⑨強化提升

1.如圖，八邊形ABCDEFGH中，AB=CD=EF=GH=1,BC=DE=FG=HA=\[^,

NA=NB=NC=ND=NE=NF=NH=135。,則這個八邊形的面積等于（）

A.7B.8C.9D.14加

2.如圖，在一個大正方形內(nèi)，放入三個面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住

的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘

米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（）

4.40B.25C.26D.36

3.如圖，在四邊形ABCD中，ZADC=ZABC=9O°,AD=CD,DPLABP.若四

邊形ABCD的面積是18,則DP的長是—.

4.矩形的兩條鄰邊長分別是6c〃?和8c,〃，則順次連接各邊中點所得的四邊形的面積

是—.

5.如圖，以邊長為1的正方形的四邊中點為頂點作四邊形，再以所得四邊形四邊中

點為頂點作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第三個四邊形的周長為—；所作

的第n個四邊形的周長為一.

___________?

6.如圖，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABC。的邊A3、CD、DA

上，連接CE

(1)求證：NHEA=NCGF；

(2)當A”=OG時，求證：菱形EFG”為正方形.

7.如圖，已知四邊形A2C。為正方形，A8=2圾，點E為對角線AC上一動點，連

接。E,過點E作EFLOE.交射線BC于點巴以。E、EF為鄰邊作矩形QEFG,

連接CG.

①求證：矩形OEFG是正方形;

②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

第一章特殊四邊形檢測題

選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

1.下列命題中，真命題是（）

A.兩條對角線垂直的四邊形是菱形B.對角線垂直且相等的四邊形是正方形

C.兩條對角線相等的四邊形是矩形D.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

2.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線相等C.對角線互相平分D.對角互補

3.順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（）

①平行四邊形②菱形③對角線相等的四邊形④對角線互相垂直的四邊形.

A.①③B.②③C.③④D.②④

4.既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

5.如圖，菱形ABCD中，對角線4C、相交于點O,”為AD邊中點,菱形A8C。的周

長為28,則。，的長等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

6.如圖，以正方形A8CQ的對角線AC為一邊作菱形AEFC,則（）

A.30°B.45°C.22.5°D.135°

7.如圖，°ABCD中，DEVAB,DFVBC,垂足分別為E、F,NEDF=60°,AE=2cm,則

AD=()

A.4cmB.5cmC.6cmD.1cm

8.如圖：長方形紙片A8CD中，AD=4cm,AB=10cfn,按如圖的方式折疊，使點B與點D

重合.折痕為EF,則。E長為（）

A.4.8cmB.5cmC.5.8cm

［第8題］

9.如圖，將一個長為l（kro,寬為Scm的矩形紙片先按照從左向右對折，再按照從下向上

的方向?qū)φ?，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛線）剪下（如圖（1））,再打開，得到如圖

（2）所示的小菱形的面積為（）

A.lOcw2B.20cm2C.40cm'D.80cm2

10.在矩形ABC￡>中，AB=3,A￡>=4,P是A。上的動點，PE_LAC于E,PFLBD于F,則

PE+尸產(chǎn)的值為（）

二.填空題（共6小題，每題4分，共24分）

11.己知菱形的邊長為6,一個內(nèi)角為60。，則菱形較短的對角線長是.

12.如圖，矩形ABCC的兩條線段交于點。，過點。作AC的垂線EF,分別交A。、8c于

點、E、F,連接CE,已知△CZ）E的周長為24cm,則矩形ABC。的周長是cm.

13.如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，。2是其中兩個正方形的中心，則陰

影部分的面積是.

14.如圖，在菱形ABCQ中，對角線AC、8。相交于點。，”為邊中點，菱形ABCQ

的周長為28,則。，的長等于.

15.如圖，正方形4BC。的邊長為4,E為BC上的一點，BE=1,尸為AB上的一點，AF=2,

16.如圖，正方形ABC。的邊長為1,以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE

為邊作第三個正方形AEG”，如此下去，第附個正方形的邊長為.

三.解答題（共9小題，17~19題每題6分，20~22題每題7分，23~25題每題9分，共計

66分）

17.已知：如圖，菱形ABCD中，E、f分別是C8、C。上的點，且BE=DF.求證：NAEF=/AFE.

18.如圖，矩形ABC。的對角線AC、BQ交于點。，ZAOD=60°,AB=AE_LB￡）于點

E,求0E的長.

19.如圖，菱形48C。的對角線4C、8c相交于點0,BE//AC,CE//DB.求證：四邊形

0BEC是矩形.

20.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分A8C。是菱形，為什么？

21.如圖，已知點。在△ABC的BC邊上，￡>E〃AC交AB于E,。尸〃A8交AC于尸.

(1)求證：AE=DF；

(2)若平分NBAC,試判斷四邊形AE￡>尸的形狀，并說明理由.

22.正方形ABC。的邊長為3,E、尸分別是A3、8c邊上的點，且/E￡)F=45。.將△D4E

繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.

(1)求證：EF=FM；

(2)當AE=1時，求EF的長.

23.如圖，已知平行四邊形ABC。，OE是NAOC的角平分線，交BC于點E.

(1)求證：CD=CE；

(2)若BE=CE,NB=80。，求ND4E的度數(shù).

BEC

24.如圖，將矩形紙片ABC。沿對角線8。折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC

于點E.

(1)求證：△DCEqABFE；

(2)若C￡>=2,乙4。8=30。，求BE的長.

25.已知，如圖1,BQ是邊長為1的正方形A8CQ的對角線，BE平分NDBC交DC于點、E,

延長BC到點F,使CF=CE,連接。F,交BE的延長線于點G.

(1)求證：ABCE%ADCF；

(2)求CF的長；

(3)如圖2,在AB上取一點“，且B4=CF,若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系,

問在直線8。上是否存在點尸，使得以8、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，

直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由.

圖1

個性化教學輔導教案

學生姓名年級九年級學科數(shù)學

上課時間2017年月日教師姓名

課題北師大版九上一元二次方程概念及解法

1.熟練一元二次方程的解法。

教學目標

2.掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法

教學過程

教師活動學生活動

頷復習檢查

3.如圖，在一張△ABC紙片中，NC=90。，ZB=60°,OE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中

位線力E剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個

角為銳角的菱形；④正方形.那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

⑥問題定位

1.下列方程中：①4?=3x；②(W-2)2+3X-1=0；③L」+4X-2^0；④f=0；

33

⑤41=2;⑥6X(X+5)=6?.其中一元二次方程的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

2.下列方程中，適合用直接開方法解的個數(shù)有()

①②(x-2)2=5；③!(x+3)2=3；@X2=X+3；⑤3x2-3=x，l；?y2-2y

34

-3=0；⑦f=x+3.

A.1B.2C.3D.4

3.將方程/+6x-11=0配方，變形正確的是()

A.(X+3)2=-2B.(x+3)2=20C.(x+3)2=2D.(x+3)2--20

4.把方程(2x+l)(3x+l)=x化成一般形式后，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是()

A.4,1B.6,1C.5,1D.1,6

5.用公式法解3?-7x+l=0的正確結(jié)果是()

A.B.qZ豆C.x山紅D.J土相

3636

6.關(guān)于x的方程mx2-2(3w-1)x+9m-1=0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是

()

A.A?<.LB.0</?<-1^m<0C.，彷且機翔D.，佗工

一55一5一5

7.一元二次方程(x+1)2=3(x+i)的解是()

A.A-0B.X|=0,X2=-1C.x=2D.x,=-1,x^=l

8.方程9(x+1)2-4(x-1)2=0正確解法是()

A.直接開方得3(x+1)=2(x-1)

B.化為一般形式13f+5=0

C.分解因式得[3(x+1)+2(%-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0

D.直接得x+l=O或x-/=0

9.已知關(guān)于x的方程(1-1)(無+3)x2+(k-1)x-無+3=0,當k時，它是一元

二次方程；當&_時，它是一元一次方程.

10.用配方法將方程2^+廣1變形為("〃)2=/的形式是_.

11.將方程(4y-3)(3y-1)=4化成一般形式為。/+與+/。，則/-4ac=,此

方程的根是一.

12.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)9(2x+3)2-4⑵-5)2=0；(2)"-5=歷；

(3)(2x-1)2+3(2x-1)+2=0；(4)x2---\/&=0.

13.若a是方程Ax-1=0的根，求代數(shù)式2000a3+4000a2的值.

Z

14.某數(shù)學興趣小組對關(guān)于x的方程(777+1)xm+2+x-1=0提出了下列問

題.

(1)若使方程為一元二次方程，機是否存在？若存在，求出〃，并解此方程.

(2)若使方程為一元一次方程，山是否存在？若存在，請求出.你能解決這個問題

嗎？

⑨鞏固練習

I.當時，方程/d一2%(2》-1)=℃+1是一元二次方程.

2.若方程(加+3)P'r+37nv=o是關(guān)于X的一元二次方程，試求機的值.

3.把方程(G—x)(G+x)=(x+l)2化成以2+法+。=0的形式，寫出“力,c的

值，并計算出。2—4ac的值.

4.用配方法解方程工x