2022-2023學(xué)年江蘇新沂一中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．2．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．3．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A． B． C． D．5．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．6．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）．A． B． C． D．7．已知與函數(shù)和都相切，則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為（）A． B． C． D．8．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．10．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．若集合，，則（）A． B． C． D．12．已知集合，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.14．已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為______．15．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．16．正四面體的一個頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求的取值范圍．19．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.20．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．3、A【解析】

先計(jì)算出兩個圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.4、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．6、B【解析】

根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.7、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn)，斜率為，所以切線方程為，化簡得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡得②.由①②對比系數(shù)得，化簡得③.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.8、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線（），所以，又因?yàn)闈u近線方程為，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.11、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.12、C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

變換得到，計(jì)算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題.14、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時函數(shù)有最大值為,即．當(dāng)且，即，或，時取等號；因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時取等號，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15、【解析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角．【詳解】，故，【點(diǎn)睛】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結(jié)構(gòu)類比，方法類比等．16、【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時，即當(dāng)時，，由，得，此時，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時，即時，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù).此時，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論，，，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，若，則，顯然不成立；若，則，，即；若，則，即，顯然成立，綜上所述，的取值范圍是．（2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需，當(dāng)時，，所以；因?yàn)?，所以，解得，結(jié)合，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?所以,整理得:.因?yàn)?所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,則,因?yàn)榈拿娣e是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】

（I）取的中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點(diǎn)，易得面，利用棱錐的體積公式，計(jì)算出棱錐的體積.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連接，則，，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.(Ⅱ)為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐，作交于點(diǎn)，即面，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.22、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點(diǎn)，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)．利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、，是邊長為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連結(jié)，，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，