2024屆上海市高考數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第二冊復(fù)習(xí)教案：第7章 概率初步

【學(xué)生版】第7章概率初步(續(xù))

【課本目錄】

7.1條件概率與相關(guān)公式

7.1.1條件概率；7.1.2全概率公式；7.2.3貝葉斯公式*;

7.2隨機(jī)變量的分布與特征

7.2.1隨機(jī)變量的分布；7.2.2期望；7.2.3方差；

7.3常用分布

7.3.1二項分布；7.3.2超幾何分布；7.3.3正態(tài)分布；

【核心概念】

條件概率、條件概率公式、全概率公式；隨機(jī)變量的分布、期望、方差；二項分布、

超幾何分布、正態(tài)分布；

【核心素養(yǎng)】

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模；

考試要求

2、理解取有限個值的隨機(jī)變量及其分布列的概念；會準(zhǔn)確列出分布列；理解會求隨機(jī)變量

的數(shù)字特征；

3、掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題；了解超幾何分布及其均值，并

能解決簡單的實際問題；借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念、特征，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.

n知識梳理

______________________________________________________

1、條件概率

①在古典概率模型中，事件A發(fā)生之后，隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果就剩下事件A中的基本事件，

所以，事件A變成了由這些基本事件所構(gòu)成的新的樣本空間；這個樣本空間仍然是等可能

的，這時事件8發(fā)生的概率稱為事件B基于條件A的概率，或在事件A發(fā)生的條件下，事

件B發(fā)生的概率，或已知事件A發(fā)生，事件8發(fā)生的概率，記為:P(B|A)；

事實上，這等于是在一個樣本空間為A的隨機(jī)試驗中，求事件AC31或記著AB)發(fā)生

的概率，

口“P\AHB\

即尸(8以)=及；

將上式的分子、分母同時除以|Q|,就得到條件概率公式：在事件A發(fā)生的條件下，

事件8發(fā)生的概率是：尸(814)=^^^；讀作：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率

【說明】前一個公式適用于古典概率模型，后一個公式適用于所有的情況；

②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與2,若P(A)>0,則尸(ACB)

=P(A)-P(B|A);

2、條件概率的性質(zhì)：設(shè)尸(A)>0,則

①時6)=1；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P((BUC)|A)=

③設(shè)9和B互為對立事件，則PCB|A)=；

3、全概率公式

一般地，設(shè)Qi，。2,…，0,是廣組兩兩互斥的事件，。1口。25.30“=0,且尸9)>0,

z=l,2,n,則對任意的事件AUQ,有尸⑷=.P(0)尸(A|Q);

尸1

4、隨機(jī)變量

一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空間Q中的每個樣本點co,都有唯二的實數(shù)X3)與之對應(yīng)，

我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量；

5、隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為XI，X2,…，斯，稱X取每一個值M-的概

率

尸(X=W=P"=1,2,…，"為X的概率分布歹!],簡稱分布列；

6、隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

玉/4(其中：/?,.>0,z=l,2,-,/?；且Pi+小++p“=l)

5P2Pn)"

7、隨機(jī)變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為(罰"%

5PlPn)

(1)期望

稱E因=xg+x2P2+...+為小=總的為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡

1=1

稱期望；它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

(2)方差

2222

稱。因=(xi—E(X))pi+(X2-E(X))p2+...+(xn-E(X))p?=￡(x,—E(X))Pi為隨機(jī)變

尸1

量X的方差，并稱師為為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為儀X),它們都可以度量隨機(jī)變量取

值與其均值的偏離程度.

8、期望與方差的性質(zhì)

（1）E[aX+b]=+b；（2）D[aX+b]=a2（a,匕為常數(shù)）.

9、二項分布

（1）伯努利試驗

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次

所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗.

（2）二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為用X表

示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X=?=C馴Q—p）"-左,左=0,1,2,

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X?

B（n,p）.

（3）兩點分布與二項分布的均值、方差

①若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則E[X]=p,D[X]=p（l-p）；

②若X?p）,則后因=,D[X]=.

11、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件（不

「kr^n~k

放回），用X表示抽取的”件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X=k）=奈尸,k=tn,

IN

zw+l,m+2,r,其中，n,N,{正整數(shù)},M<N,n<N,m=max{0>n—N-\-M},

r=mm{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾

何分布.

12、正態(tài)分布

（1）定義

一（%一4）2

1--------------

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為五尤）=派瓦-e2次,XGR,其中〃GR,o>0為

參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?叫，『）.

（2）正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱;

②曲線在x=n處到達(dá)峰值八晨;

③當(dāng)W無限增大時，曲線無限接近x軸.

（3）正態(tài)分布的均值與方差

若X?N〃，(r),則E(X)=〃，D(X)=(r.

思考辨析

止碉啊仕括虧內(nèi)IHTV',錯俁啊IB"”.

①若事件A,3相互獨立，則尸（36）=尸（3）；（）

②若事件4與4是對立事件，則對任意的事件匹。，都有尸@=尸（4）尸（理h）+尸（42*（842）;

（）③在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1；（）

④方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越?。唬ǎ?/p>

⑤若X表示w次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù),則X服從二項分布；（）

【提示】.

【答案】

典例解析

例1、（1）夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為2和;，且兩地同時下雨的概率為七

則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為（）

1123

A.3B.5C.D-4

【提示】；

【答案】

【解析】.

（2）七巧板是中國民間流傳的智力玩具.據(jù)清代陸以港《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋

代黃伯思設(shè)計的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版

玩具.到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形（其中

兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形，可

以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等1600種以上圖案.現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知

取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為（）

【說明】求條件概率的常用方法

p4QD\

（1）定義法：利用定義，分別求P（A）和P（A2）,得尸（2閨=0（八—；

1）

(2)樣本點法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)”(A),再在事件A

發(fā)生的條件下求事件8包含的基本事件數(shù)，即"(A3),得P(86)="；

(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解；

一1—13

例2、(1)記A為事件A的對立事件，且尸(4)=2，P(AIB)=3-尸(3)=?則尸(AUB)=_

(2)某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時,

答對的概率為100%,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目的概率為

()

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

【說明】本題考查全概率公式的應(yīng)用；利用全概率公式的思路

(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件40=1,2,…，〃)；

(2)求P(4)和所求事件B在各個互斥事件4發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B\Ai)；

(3)代入全概率公式計算.

例3、隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X=ri)=〃“工產(chǎn)=1,2,3,4),其中。是常數(shù)，則P(|<X<1)

【說明】本題考查了隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)；(1)研究隨機(jī)變量的取值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解

所定義的隨機(jī)變量的含義；(2)進(jìn)行相關(guān)計算時，始終牢記離散型隨機(jī)變量分布列的兩個

性質(zhì)：Pi>0,i=l,2,w和￡〃=1,隨時驗證計算的準(zhǔn)確性；(3)隨機(jī)變量可能取某一

尸1

區(qū)間內(nèi)任意值，無法一一列出，則稱這樣的隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，如“長江水位”“燈

管壽命”等，正態(tài)分布即是一種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，不要與隨機(jī)變量混為一談；

例4、甲同學(xué)參加化學(xué)競賽初賽，考試分為筆試、口試、實驗三個項目，各單項通過考試的

概率依次為3:，f2,參1記甲同學(xué)三個項目中通過考試的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

【說明】本題考查了隨機(jī)變量分布列求法；確定隨機(jī)變量的分布列的解題策略：

(1)先確定離散型隨機(jī)變量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)選擇合適的概率模型(公

式)計算每一可能取值時的概率；(3)列出分布列；

一「01

例5、(1)已知。的分布列如表所示：

919

\**,7

其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相

同.據(jù)此計算，下列各式中：①E?=1;②。?>1;③PQ=O段正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

（2）學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二

局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為柒設(shè)他參加一次答題活動得分

為X,則04=.

6、某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步上籃兩個項目.每個學(xué)生在每

個項目投籃5次，以規(guī)范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0

分；三步上籃考核合格得6分，否則得。分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點投籃

考核，一組先進(jìn)行三步上籃考核，若先考核的項目不合格，則無需進(jìn)行下一個項目，直接判

定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進(jìn)入下一個項目進(jìn)行考核，無論第二個項目考核

是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點投籃考核合格的概率為0.8,三步上籃考核合格的概率

為0.7,且每個項目考核合格的概率與考核次序無關(guān).

（1）若小明先進(jìn)行定點投籃考核，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個項目的考核？并說明理由.

例7、甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或

每人都已投球2次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為小乙每次投籃投中的概率為今

且各次投籃互不影響.

（1）求甲獲勝的概率；

（2）求投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率.

例8、在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動

員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀(jì)錄的概率都是昌那么在本次運動會上：

（1）求該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄的概率；

（2）若該運動員能打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為X,求X的分布列及均值.

例9、某大學(xué)生志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)

學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選

取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；

(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.

14

例10、已知隨機(jī)變量X?M2,32),且尸(XW1)=尸(矣加+1),求：一+^^(0<%<回)的最小

%772X

值；.

G精練鞏固,

_______________________________________________________I

1、小明上學(xué)可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4,

乘坐地鐵的概率為0.6,且乘坐公共汽車與地鐵時，小明遲到的概率分別為0.05和0.04,則

小明沒有遲到的概率為()

A.0.954B.0.956C.0.958D.0.959

2、將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的

均值所%]=()

A.2B.1C.1D.1

911

3、根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為京，下雨的概率為君，既吹東風(fēng)又

Q

下雨的概率為喘，則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為.

'-101、

4、已知X的分布列為111設(shè)y=2X+3,則an的值為

236>

gi、

5、若離散型隨機(jī)變量X的分布列為&/則X的方差￡>》］=.

6、已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且尸(X>2c—l)=P(X<c+3),則c=.

(123、

已知隨機(jī)變量X的分布列為111且Y=QX+3,若譏7]=—2,貝!J〃等于

<2367

8、溺水、觸電等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，

某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯

得。分.在競賽中，假設(shè)甲隊每人回答問題的正確率均為東乙隊每人回答問題的正確率分別

173

為亨4-且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響.

(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；

(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.

【精練鞏固】

1、某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”“一般的”“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，

這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹(jǐn)

慎的”被保險人占20%,“一般的”被保險人占50%,“冒失的”被保險人占30%,則該保險公

司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是()

A.0.155B.0.175C.0.016D.0.096

2、甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,

若采用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為()

A.0.36B.0.352C.0.288D..0.648

3、某學(xué)校有A,8兩家餐廳，甲同學(xué)第一天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去

A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的

概率為0.8.則甲同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為.

-10123、

4、若隨機(jī)變量X的分布列為則當(dāng)尸(X<a)=0.8時，實

0.20.20.30.10.17

數(shù)”的取值范圍是

"-10r

5、若隨機(jī)變量X的分布列為1則P(|X|=1)等于

c

I37

-101、

6、設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為1,則g的值為____________

-2-3“q

\J

7、已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,后），且P（2<XW2.5）=0.36,則尸（X>2.5）=.

8、某班50名學(xué)生通過直播軟件上網(wǎng)課，為了方便師生互動，直播屏幕分為1個大窗口和5

個小窗口，大窗口始終顯示老師講課的畫面，5個小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫面.小窗口

每5分鐘切換一次，即再次從全班隨機(jī)選擇5名學(xué)生的畫面顯示，且每次切換相互獨立.若

一節(jié)課40分鐘，則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間的期望是

分鐘

9、若有甲、乙兩家單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：

甲單位不同職位月工資X1/元4200440046004800

獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元4000440048005200

獲得相應(yīng)職位的概率尸20.40.30.20.1

根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位?

10、某游樂場設(shè)置了迷宮游戲，有三個造型相同的門可供選擇，參與者進(jìn)入三個門的結(jié)果分

別是3分鐘走出去，6分鐘走出去，3分鐘返回出發(fā)點.游戲規(guī)定：不重復(fù)進(jìn)同一個門，若

返回出發(fā)點立即重新選擇，直到走出迷宮游戲結(jié)束.

（1）求一名游戲參與者走出迷宮所用時間的均值；

（2）甲、乙2人相約玩這個游戲.2人商量了兩種方案.

方案一：2人共同行動；

方案二：2人分頭行動.

分別計算兩種方案2人都走出迷宮所用時間和的期望.

結(jié)論收集

p(AC

1、計算條件概率除了應(yīng)用公式「(3|4)=外,還可以利用縮減公式法，即尸(磯4)

r)

:⑷，其中〃(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，〃(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù);

2、全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為

了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.

3、尸(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，尸(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事

件A發(fā)生的概率.

4、期望與方差的四個常用性質(zhì)

(1)E[k]=k,。因=0,其中左為常數(shù)；

(2)E[Xi+X2]=E[Xi]+￡[X2]:

(3)D[X]=E[^]~(E因)*12；3

(4)若Xi,X2相互獨立，則E[XIX2]=E[XI].E[X2]；

(5)若X是隨機(jī)變量，Y=aX+b,a,6是常數(shù)，則丫也是隨機(jī)變量;

5、兩點分布是二項分布當(dāng)”=1時的特殊情形;

6、“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應(yīng)二項分布，不放回抽取問題

對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理；

7、在實際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗可視為”重伯

努利試驗，進(jìn)而判定是否服從二項分布.

8、超幾何分布有時也記為X?H(n,M,N),其均值E[X]=野，。因=野0一一3j

9、若X服從正態(tài)分布，即X?N〃，〃)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱和曲線與

X軸之間的面積為“1”解題.

10、利用"重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否

滿足公式P(X=A)=C)/(1—p)"f的三個條件：①在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個

常數(shù)P；②〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相

互獨立的；③該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了上次的概率；

*11、貝葉斯公式：設(shè)Ai，A2,…，A"是一組兩兩互斥的事件,4UA2U...UA,=Q,且尸(A)>0,

P(A)P(BA)P(A,)尸(B|4)

i=1,2,,ri.則對任意的事件BUQ,P(B)>0,有P(Ai\B)=

P(B)

tp(Ak)P(B\Ak)

左=i

i~1,2,,72.

【教師版】第7章概率初步(續(xù))

【課本目錄】

7.1條件概率與相關(guān)公式

7.1.1條件概率；7.1.2全概率公式；723貝葉斯公式*;

7.2隨機(jī)變量的分布與特征

7.2.1隨機(jī)變量的分布；7.2.2期望；7.2.3方差；

7.3常用分布

7.3.1二項分布；7.3.2超幾何分布；7.3.3正態(tài)分布；

【核心概念】

條件概率、條件概率公式、全概率公式；隨機(jī)變量的分布、期望、方差；二項分布、

超幾何分布、正態(tài)分布；

【核心素養(yǎng)】

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模；

考試要求

言后艮懺小LE向W日兵視云，“界二王嬴小LPJ人東，云Tuni土-A—“丹慟平；""

2、理解取有限個值的隨機(jī)變量及其分布列的概念；會準(zhǔn)確列出分布列；理解并會求隨機(jī)變

量的數(shù)字特征；

3、掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題；了解超幾何分布及其均值，并

能解決簡單的實際問題；借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念、特征，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.

知識梳理

1、條件概率

①在古典概率模型中，事件A發(fā)生之后，隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果就剩下事件A中的基本事件，

所以，事件A變成了由這些基本事件所構(gòu)成的新的樣本空間；這個樣本空間仍然是等可能

的，這時事件8發(fā)生的概率稱為事件B基于條件A的概率，或在事件A發(fā)生的條件下，事

件8發(fā)生的概率，或已知事件A發(fā)生，事件8發(fā)生的概率，記為:P(B\A)；

事實上，這等于是在一個樣本空間為A的隨機(jī)試驗中，求事件AAB(或記著AB)發(fā)生

的概率，

P\ACIB\

即nn

將上式的分子、分母同時除以|Q|,就得到條件概率公式：在事件A發(fā)生的條件下，

事件2發(fā)生的概率是：尸邠尸用;，；讀作：A發(fā)生的條件下8發(fā)生的概率

【說明】前一個公式適用于古典概率模型，后一個公式適用于所有的情況；

②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與2,若P(A)>0,則尸

=P(A)-P(B|A);

2、條件概率的性質(zhì)：設(shè)尸(A)>0,則

①尸3)=1；

②如果2和C是兩個互斥事件，則P((BUQh4)=P(Bh4)+P(Ch4)；

③設(shè)W和B互為對立事件，則P{B|A)=1-P(B|A).

3、全概率公式

一般地，設(shè)。1，。2,…，?！笔?組兩兩互斥的事件,。山。25..十0"=。,且尸@)>0,

z=l,2,n,則對任意的事件AUQ,有尸(A)=￡p@)P(A|e);

尸1

4、隨機(jī)變量

一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空間Q中的每個樣本點。，都有唯一的實數(shù)X(o)與之對應(yīng)，

我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量；

5、隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為制，X2,…，即，稱X取每一個值X,的概

率

P(X=x,)=pi,1=1,2,…，”為X的概率分布歹!j,簡稱分布列；

6、隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

%(其中：/?(>0,z=l,2,-,n-且Pi+必++2“=1)

5PlPn)

7、隨機(jī)變量的均值與方差

/、

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為12"

52■-pj

(D期望

稱E因=xipi+x2P2+...+尤皿=總的為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡

1=1

稱期望；它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

(2)方差

稱。因=(xi—E(X))2p|+(尤2—E(X))202+…+(%—E(X))2p,,=f(x,—￡(X))2p,.為隨機(jī)變

i=l

量X的方差，并稱癡為為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為儀X),它們都可以度量隨機(jī)變量取

值與其均值的偏離程度.

8、期望與方差的性質(zhì)

(1)E[aX+b]=aE[X]+b；(2)D[aXA-b]=crD[X]{a,b為常數(shù)).

9、二項分布

(1)伯努利試驗

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行〃次

所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為用X表

示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=-=C豺(l—p)"",左=0,1,2,…，加

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X?

B(n,p).

(3)兩點分布與二項分布的均值、方差

①若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則E[X]=p,D[X]=p(l-p)；

②若X?B(w,p),則頊R=利，D[X]=np^-p).

11、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取w件(不

放回)，用X表示抽取的a件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=A)=2尸,k=m,

IN

m-\-1,m+2,r,其中，n,N,MG{正整數(shù)},M<N,n<N,m=max{0,n—N-\-M],

r=min{?,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾

何分布.

12、正態(tài)分布

(1)定義

一(廠〃)2

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為八x)=<-e2*,xER,其中〃GR,00為

(T\l2TI

參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?NQi,/).

(2)正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱;

②曲線在x=〃處到達(dá)峰值%;

③當(dāng)W無限增大時，曲線無限接近X軸.

(3)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N(〃，崔)，則￡(X)=〃，r>(X)=o2.

①若事件A,2相互獨立，則P(BH)=P(B)；()

②若事件4與4是對立事件，則對任意的事件BOQ,都有P(B)=P(Ai)尸(BHI)+P(A2)尸(342);

()③在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1;()

④方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小；()

⑤若X表示w次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù),則X服從二項分布;()

【提示】①由事件A,3相互獨立，則尸3n3)=P(A)P(3)；

③隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1,故不正確.

【答案】①《(2)Y；③X；(4)Y(5)N

典例解析I

__________________________I

麗1:(1)復(fù)*里:嬴百：乙兩地下雨的概率分別為稱弓，且兩地同時下雨的概率為3

34O

則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為()

A.eB.JC.1D-4

【提示】(1)注意閱讀理解“在乙地下雨的條件下，甲地也下雨”；

【答案】(1)C

【解析】設(shè)A為“甲地下雨”，B為“乙地下雨”，

1

由題意可知，P(A)=1,尸(8)=[,P(ACB)=點,所以尸(4|8)=號:?K

4

(2)七巧板是中國民間流傳的智力玩具.據(jù)清代陸以湘《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋

代黃伯思設(shè)計的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版

玩具.到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形(其中

兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形，可

以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等1600種以上圖案.現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知

取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為()

【提示】(2)注意閱讀理解“取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形”

【答案】D

【解析】設(shè)事件A為“從七巧板中取出兩塊，取出的是三角形”，事件5為“兩塊板恰好是全

2

等三角形％則尸(4CB)=*=5，P(A)=1|=|Y，所以

21

【說明】本題考查了求條件概率的常用方法

pfAp|DA

(1)定義法：利用定義，分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=D-、；

(2)樣本點法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)w(A),再在事件A

發(fā)生的條件下求事件8包含的基本事件數(shù)，即”(A3),得尸(母4)=土果3；

riJ

(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解；

一1一13

例2、(1)記A為事件A的對立事件，且P(A)=],P(A\B)=yP(B)=z，則P(AUB)=_

【提示】(D利用條件概率公式可得P(NB)==,進(jìn)而即得；

、3

【答案】J

【詳解】因為P(4|B)=|,P(B)=1,

——131—113

???P(A5)=P(A|B)P(B)=3X-=-,：.P(AUB)=P(A)+P(AB)=^+^.

3

故答案為：4，

(2)某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時,

答對的概率為100%,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目的概率為

A.0.625B.0.75C.0.5D.O

【提示】注意“他答對題目”分：知道正確答案與不知道正確答案；

【答案】A

【解析】用A表示事件“考生答對了”，用3表示“考生知道正確答案”，用8表示“考生不知

道正確答案”，

則尸(B)=0.5,尸(3)=0.5,P(4|B)=100%,P(A|B)=0.25,

則尸(A)=P(AB)+P(AB)=P(A\B)P(B)+P(A=1X0.5+0.25X0.5=0.625.

【說明】本題考查了全概率公式的應(yīng)用；利用全概率公式的思路

(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件4G=1,2,…，?)；

(2)求P(4)和所求事件B在各個互斥事件4?發(fā)生條件下的概率P(A,)P(B|A;)；

(3)代入全概率公式計算；

例3、隨機(jī)變量乂的概率分布列為小=〃)=嬴*不(〃=1,2,3,4),其中。是常數(shù),則嗎<X<|)

【提示】注意：隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)p,?0,i=l,2,,〃；(2)A+A++0=1

【答案】|

【解析】因為「5=”)=7%(〃=1,2,3,4),所以3+(+言+看=1，所以所以

n{n~rY)zoizzu4

=P(X=1)+P(X=2)=1x1+1xi=|.

【說明】本題考查了隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)；(1)研究隨機(jī)變量的取值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解

所定義的隨機(jī)變量的含義；(2)進(jìn)行相關(guān)計算時，始終牢記離散型隨機(jī)變量分布列的兩個

性質(zhì)：Pi>0,z=l,2,n和￡p,=l,隨時驗證計算的準(zhǔn)確性；(3)隨機(jī)變量可能取某一

尸1

區(qū)間內(nèi)任意值，無法一一列出，則稱這樣的隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，如“長江水位”“燈

管壽命”等，正態(tài)分布即是一種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，不要與隨機(jī)變量混為一談；

例4、甲同學(xué)參加化學(xué)競賽初賽，考試分為筆試、口試、實驗三個項目，各單項通過考試的

概率依次為本(宗記甲同學(xué)三個項目中通過考試的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

【提示】注意閱讀理解明確隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后求得其對應(yīng)的概率；

【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(遙)x(1-9=吉,

…4、111,121,3111

P(x=1)=布x/ww/布丐=不

……121,311,32111

P(X=2)=5X-X-+5X-X-+5X-X-=-,

3211

P(X=3)=為

'0123、

所以，隨機(jī)變量X的分布列為11111

^244244>

【說明】本題考查了隨機(jī)變量分布列求法；確定隨機(jī)變量的分布列的解題策略：

(1)先確定離散型隨機(jī)變量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)選擇合適的概率模型(公

式)計算每一可能取值時的概率；(3)列出分布列；

「012、

例5、(1)已知^的分布列如表所示：

919

\**?)

其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相

同.據(jù)此計算，下列各式中：①E?=1;②。?>1;③蛇=0號正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【提示】(1)注意分布列的性質(zhì)與期望、方差的計算

【答案】C

【解析】設(shè)“？n=b,則”，附0,1],2a+b=l.

①￡?=0x°+lx5+2x〃=2a+0=L因此①正確；

②。?=(0—l)2x〃+(l—l)2x》+(2—l)2xa=2aWL因此②不正確；

1—b1

③尸(4=0)=。=?-多，因此③正確.

(2)學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二

局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為由設(shè)他參加一次答題活動得分

為X,則。區(qū)]=.

【答案】■

【解析】由題意知，X的所有可能取值為5,4,3,2,

P(X=5)=|xi=^,

P(X=4)4(1_*K，

尸(X=3)=(l—()x：=襦

P(X=2)=(L9(1一3=看

133911

則￡[X]=5x^+4x^+3x—+2x—=Y，

【說明】本題考查了隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征；求隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟：

(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值；

(2)求X取每個值的概率；

(3)寫出X的分布列；

(4)由均值、方差的定義求同為，D[X]；

(5)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)y=aX+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,

可直接用均值及方差的性質(zhì)求.

例6、某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步上籃兩個項目.每個學(xué)生在

每個項目投籃5次，以規(guī)范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0

分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點投籃

考核，一組先進(jìn)行三步上籃考核，若先考核的項目不合格，則無需進(jìn)行下一個項目，直接判

定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進(jìn)入下一個項目進(jìn)行考核，無論第二個項目考核

是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點投籃考核合格的概率為0.8,三步上籃考核合格的概率

為0.7,且每個項目考核合格的概率與考核次序無關(guān).

(1)若小明先進(jìn)行定點投籃考核，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個項目的考核？并說明理由.

【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,4,10,

則P(X=0)=1-0.8=0.2,

尸(X=4)=0.8x(1—0.7)=0.24,

產(chǎn)(X=10)=0.8x0.7=0.56,

0410、

所以X的分布列為

0.20.240.56,

(2)小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點投籃考核，理由如下:

由(1)可知小明先進(jìn)行定點投籃考核，累計得分的均值

E(X)=0x0.2+4x0.24+10x0.56=6.56,

若小明先進(jìn)行三步上籃考核，記v為小明的累計得分,

則y的所有可能取值為o,6,io,

P(y=0)=l-0.7=0.3,

P(F=6)=0.7x(l-0.8)=0.14,

產(chǎn)(y=10)=0.7X0.8=0.56,

貝！IY的均值E(Y)=0x0.3+6x0.14+10x0.56=6.44,

因為EQ3>E(y),

所以為使累計得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點投籃考核.

【說明】本題考查了期望與方差中的決策問題；隨機(jī)變量的期望和方差從整體和全局上刻

畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相

同，再用方差來決定.

例7、甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或

每人都已投球2次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為多乙每次投籃投中的概率為今

且各次投籃互不影響.

(1)求甲獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率.

【解析】⑴設(shè)4,以分別表示甲、乙在第4次投籃時投中，則尸(4)=/「(國)=/k

=1,2,“甲獲勝”為事件C,則P(O=P(4)+P(N|WIA2)=P(4)+P(NI)P(WI>P(A2)

(2)記“投籃結(jié)束時，乙只投了1個球”為事件D.則P(D)=P{AiBi)+P(AiB以2)=

———212114

P(Ai)P(Bi)+P(Ai)P(B1)尸(42)=§*5+§乂5乂3=3.

【說明】本題考查了二項分布中的〃重伯努利試驗；在求〃重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生

上次的概率時，首先要確定好”和左的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率.

例8、在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動

員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀(jì)錄的概率都是東那么在本次運動會上：

(1)求該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄的概率；

(2)若該運動員能打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為X,求X的分布列及均值.

【解析】(D依題意