2025年高考數(shù)學一輪復習-7.3-直線、平面平行的判定與性質(zhì)【含解析】

第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)【原卷版】1.平面α∥平面β，直線l∥α，則（）A.l∥β B.l?βC.l∥β或l?β D.l，β相交2.設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是（）A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面3.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別是A'D'，D'C'的中點，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直4.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為.1.（多選）下列命題中，正確的是（）A.平行于同一直線的兩個平面互相平行B.平行于同一平面的兩個平面互相平行C.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面D.夾在兩平行平面間的平行線段長度相等2.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝.直線與平面平行的判定與性質(zhì)考向1直線與平面平行的判定與證明【例1】如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，點F為棱DE的中點.證明：AF∥平面BCE.考向2直線與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC的中點，∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，點N在線段PB上，且PNNB＝1（1）求證：MN∥平面PDC；（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH（GH與B1C1不重合）.（1）求證：BC∥GH；（2）若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.（變條件，變設(shè)問）在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求ADDC的值如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.（1）證明：平面A1BD∥平面CB1D1；（2）若平面ABCD∩平面CB1D1＝直線l，證明：B1D1∥l.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例4】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且CQQD1＝BP（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的點，ARAB的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，且截面為平行四邊形.（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.1.（2024·榆林一模）若直線l平行于平面α，則（）A.平面α內(nèi)的所有直線都與直線l平行B.平面α與直線l不存在公共點C.平面α內(nèi)不存在與直線l垂直的直線D.平面α內(nèi)的直線都與直線l異面2.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則直線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交C.在平面內(nèi) D.不能確定3.已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC＝（）A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶254.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當PA∥平面EBF時，PFFC＝（A.23 B.1C.13 D.5.（多選）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，則（）A.BD∥平面EGHFB.FH∥平面ABCC.AC∥平面EGHFD.直線GE，HF，AC交于一點6.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，則下列說法中正確的是（）A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D18.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點.求證：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.9.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點，則下列敘述中正確的是（）A.直線BQ∥平面EFGB.直線A1B∥平面EFGC.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，點P在正方形ABB1A1內(nèi)，若AB＝2，A1P∥平面AEF，則DP的最小值是（）A.2 B.6C.2 D.311.（多選）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是（）A.沒有水的部分始終呈棱柱形B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.當容器傾斜如圖③所示時，AE·AH為定值12.（多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.CC1∥平面A1ABB1B.AF∥平面A1B1C1C.EF∥平面A1ABB1D.AE∥平面B1BCC113.如圖，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是.答14.如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝2.（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求三棱錐F-PCD的體積.15.如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象大致是（）16.如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.（1）求證：EF∥平面β；（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)【解析版】1.平面α∥平面β，直線l∥α，則（）A.l∥β B.l?βC.l∥β或l?β D.l，β相交解析：C因為平面α∥平面β，直線l∥α，所以直線l可能和平面β平行，也可能在平面β內(nèi).故選C.2.設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是（）A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面解析：B若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，反之則不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個平面，則α與β可以平行也可以相交，故A、C、D中條件均不是α∥β的充要條件.根據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立.因此B中條件是α∥β的充要條件.故選B.3.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別是A'D'，D'C'的中點，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.無法確定解析：B連接AC交BD于點E，連接MN，EN，A'C'，而M，N分別是A'D'，D'C'的中點，所以MN∥A'C'∥AC，即MN∥AE，且2MN＝A'C'＝AC＝2AE，即MN＝AE，則四邊形AENM為平行四邊形，故AM∥EN，由AM?平面BND，EN?平面BND，則AM∥平面BND，故選B.4.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為.答案：平行四邊形解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.1.（多選）下列命題中，正確的是（）A.平行于同一直線的兩個平面互相平行B.平行于同一平面的兩個平面互相平行C.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面D.夾在兩平行平面間的平行線段長度相等解析：BCD對于A：平行于同一直線的兩平面可能平行，也可能相交，A不正確；由結(jié)論4可知B正確；由結(jié)論1可知C正確，由結(jié)論2可知D正確，故選B、C、D.2.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝.答案：5解析：由結(jié)論3知PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC直線與平面平行的判定與性質(zhì)考向1直線與平面平行的判定與證明【例1】如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，點F為棱DE的中點.證明：AF∥平面BCE.證明：法一如圖，取CE的中點M，連接FM，BM.因為點F為棱DE的中點，所以FM∥CD且FM＝12CD＝2因為AB∥CD且AB＝12CD所以FM∥AB且FM＝AB，所以四邊形ABMF為平行四邊形，所以AF∥BM，因為AF?平面BCE，BM?平面BCE，所以AF∥平面BCE.法二如圖，在平面ABCD內(nèi)，分別延長CB，DA，交于點N，連接EN.因為AB∥CD，CD＝2AB，所以A為DN的中點.又F為DE的中點，所以AF∥EN，因為EN?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE.法三如圖，取棱CD的中點G，連接AG，GF，因為點F為棱DE的中點，所以FG∥CE，因為FG?平面BCE，CE?平面BCE，所以FG∥平面BCE.因為AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG∥BC，因為AG?平面BCE，BC?平面BCE，所以AG∥平面BCE.又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE.因為AF?平面AFG，所以AF∥平面BCE.考向2直線與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC的中點，∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，點N在線段PB上，且PNNB＝1（1）求證：MN∥平面PDC；（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由.解：（1）證明：在正三角形ABC中，BM＝23.在△ACD中，因為M為AC中點，DM⊥AC，所以AD＝CD，又∠CAD＝30°，所以DM＝233，所以BM∶MD＝所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD.又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所以MN∥平面PDC.（2）假設(shè)直線l∥CD，因為l?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD∥平面PAB，又CD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，這與CD與AB不平行矛盾，所以直線l與直線CD不平行.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH（GH與B1C1不重合）.（1）求證：BC∥GH；（2）若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明：（1）由三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知，平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1AB，∴A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.（變條件，變設(shè)問）在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求ADDC的值解：如圖，連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，則A1D1D又由題設(shè)得A1D1∴DCAD＝1，即ADDC如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.（1）證明：平面A1BD∥平面CB1D1；（2）若平面ABCD∩平面CB1D1＝直線l，證明：B1D1∥l.證明：（1）由題設(shè)知BB1DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1.因為A1D1B1C1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CB1D1，D1C?平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CB1D1.（2）由（1）知平面A1BD∥平面CB1D1，又平面ABCD∩平面CB1D1＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例4】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且CQQD1＝BP（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的點，ARAB的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明解：（1）證明：如圖，連接CP并延長與DA的延長線交于點M，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝又因為CQQD1＝BPPD＝23，所以CQQD1＝CPPM又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.（2）當ARAB的值為35時，能使平面PQR∥平面A1D1證明如下：因為ARAB＝35，即BRRA＝23，故BRRA＝BPPD又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，且截面為平行四邊形.（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.解：（1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可得CD∥平面EFGH.（2）設(shè)EF＝x（0＜x＜4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴CFCB＝x則FG6＝BFBC＝BC－CFBC＝1－x4，∴FG∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長L＝2（x＋6－32x）＝12－x又∵0＜x＜4，∴8＜L＜12，故四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.1.（2024·榆林一模）若直線l平行于平面α，則（）A.平面α內(nèi)的所有直線都與直線l平行B.平面α與直線l不存在公共點C.平面α內(nèi)不存在與直線l垂直的直線D.平面α內(nèi)的直線都與直線l異面解析：B若直線l平行于平面α，則平面α與直線l不存在公共點，故B正確；如圖設(shè)l?β，α∩β＝m，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得l∥m，則在平面α內(nèi)所有與直線m平行的直線均與l平行，設(shè)n?α且n⊥m，則n⊥l，在平面α內(nèi)所有與直線n平行的直線均與l垂直，故A、C、D錯誤.故選B.2.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則直線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交C.在平面內(nèi) D.不能確定解析：A如圖，由AEEB＝CFFB得AC∥EF.又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面3.已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC＝（）A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25解析：D∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.4.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當PA∥平面EBF時，PFFC＝（A.23 B.1C.13 D.解析：D連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC.又AD∥BC，E為AD的中點，所以AGGC＝AEBC＝12，5.（多選）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，則（）A.BD∥平面EGHFB.FH∥平面ABCC.AC∥平面EGHFD.直線GE，HF，AC交于一點解析：AD因為BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝12BD，則EF∥GH.易知BD∥平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，故A正確，B、C錯誤；因為EF∥GH，且EF≠GH，所以四邊形EGHF為梯形，所以EG與FH必相交，設(shè)交點為M，而EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，則點M在平面ABC與平面ACD的交線上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直線GE，HF，AC交于一點，故D正確6.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，則下列說法中正確的是（）A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1解析：AC連接AD1（圖略），∵F，G分別是B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，又AB∥C1D1且AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；連接A1C1（圖略），∵E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，∴EF∥A1C1，又A1C1與平面BC1D1交于點C1，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；∵FG∥BC1，且FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤.故選A、C.7.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件時，就有MN∥平面B1BDD1（注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）.答案：點M與點H重合（點M只要在線段FH上即可）解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N（圖略），則FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.8.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點.求證：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.證明：（1）如圖所示，取DD1的中點M，連接AM，F(xiàn)M，∵F，M分別是CC1，DD1的中點，∴FM∥CD且FM＝CD，又AB∥CD且AB＝CD，∴AB∥FM且AB＝FM，則四邊形ABFM為平行四邊形，∴BF∥AM.∵H，M分別是AA1，DD1的中點，∴AH∥MD1且AH＝MD1，則四邊形AMD1H為平行四邊形，∴AM∥HD1，故BF∥HD1.（2）連接AC，交BD于點O，則O是BD的中點，連接OE，OD1，∵O，E分別是BD，BC的中點，∴OE∥CD且OE＝12CD∵G是C1D1的中點，∴D1G∥CD且D1G＝12CD∴D1G∥OE且D1G＝OE，則四邊形D1GEO為平行四邊形，∴EG∥OD1.又OD1?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.（3）由（1）知BF∥HD1，∵HD1?平面B1D1H，BF?平面B1D1H，∴BF∥平面B1D1H.由正方體的性質(zhì)得BB1∥DD1且BB1＝DD1，則四邊形BB1D1D為平行四邊形，∴BD∥B1D1，又B1D1?平面B1D1H，BD?平面B1D1H，∴BD∥平面B1D1H.又BF∩BD＝B，BF?平面BDF，BD?平面BDF，∴平面BDF∥平面B1D1H.9.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點，則下列敘述中正確的是（）A.直線BQ∥平面EFGB.直線A1B∥平面EFGC.平面APC∥平面EFGD.平面A1BQ∥平面EFG解析：B過點E，F(xiàn)，G的截面如圖所示（H，I分別為AA1，BC的中點），連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點Q，故A錯誤；∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正確；AP?平面ADD1A1，GH?平面ADD1A1，延長GH與PA的延長線必相交，故C錯誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交點Q，故D錯誤.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，點P在正方形ABB1A1內(nèi)，若AB＝2，A1P∥平面AEF，則DP的最小值是（）A.2 B.6C.2 D.3解析：B如圖，分別取棱B1C1，BB1的中點M，N，連接A1M，A1N，MN.因為正方體中A1M∥AE，MN∥EF，所以平面A1MN內(nèi)兩相交直線A1M，MN與平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，則點P在線段A1N上.過點A作AH⊥A1N，垂足為H，連接DH，則DP≥DH，當且僅當P與H重合時，DP＝DH＝DA2＋AH11.（多選）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是（）A.沒有水的部分始終呈棱柱形B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.當容器傾斜如圖③所示時，AE·AH為定值解析：AD根據(jù)棱柱的特征（有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行），結(jié)合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知B錯誤；因為A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當平面EFGH不平行于平面ABCD時，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯誤；當容器傾斜如題圖③所示時，因為水的體積是不變的，所以棱柱AEH-BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確.12.（多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.CC1∥平面A1ABB1B.AF∥平面A1B1C1C.EF∥平面A1ABB1D.AE∥平面B1BCC1解析：ABC在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因為CC1∥AA1，CC1?平面A1ABB1，AA1?平面A1ABB1，所以CC1∥平面A1ABB1，A正確；因為平面ABC∥平面A1B1C1，AF?平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，B正確；取AB中點G，連接A1G，GF（圖略），因為G，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，所以GF12AC，且A1E12AC，所以GFA1E，所以四邊形GFEA1為平行四邊形，所以EF∥A1G，EF?平面A1ABB1，A1G?平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB1，C正確；取AC中點H，連接C1H（圖略），易證得四邊形AHC1E為平行四邊形，所以EA∥C1H，C1H與平面B1BCC1相交，所以AE與平面B1BCC1相交，D不正確.故選A、B13.如圖，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是.答案：平面ABC，平面ABD解析：如圖，連接AM并延長交CD于E，連接BN并延長交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點，且該點為CD的中點，由EMMA＝ENNB＝12，得MN∥AB，又AB?平面ABC，AB?平面ABD，MN?平面ABC，MN?平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面14.如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是線段AD，