概率統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題二

習(xí)題二

一、填空題

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

若X€[O,1]

/(x)=q,若xw[3,6]

.0,其它

2

若女使得「(X2k)=§,則k的取植范圍是.

解：P(X>k)=f(x)dx

當(dāng)左<0時(shí)，P(X2&)=「fMdx=f()dx+1~dx+「0公=1

當(dāng)04左<1時(shí)，P(X>k)=^dx+^0dx+^-dx+["0dx=^^

當(dāng)14人43時(shí)，P(X>k)=/(Wx+f2dx+pOJx=|

(62iH-x12-2k

當(dāng)3<%<6忖，P(X>k)=^-dx+J0dx=―-—

當(dāng)女26時(shí)，P(XNA)=「0dx=0

2

綜上，若k使得P(X2&)=§,則k的取植范圍是[1,3].

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(2,p)的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量y服從參數(shù)為(3,P)的二項(xiàng)分布.若

p(x>1)=|,則p(y>i)=.

5,

解：因?yàn)閄~B(2,p),所以己=P(XN1)=1—P(X=0)=1—(l-p)2,從而有

9

1

p=-

3

又丫~8(3,p),故所求為P(YN1)=1—P(V=0)=1-(1—p)3=19/27

3.?實(shí)習(xí)生用同一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件，第i個(gè)零件是不合格品的概率p,=￡

3=1,2,3),以X表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P{X=2}=.

解：設(shè)4表示“第i個(gè)零件是合格品"(i=l,2,3),則由題設(shè)知事件A”>!?，A3相互獨(dú)立，且

111213

P(A1)=l-pl=l--=-,P(A2)=l-p2=l--=-,P(A3)=l-p3=l--=-

故所求概率為

P(X=2)=P(4A2A3+AA2A3+A1A2A3)

=P(AlA2A3)+P(AXA2A3)+P(AtA2A3)

=尸(4)P(A2)P(4)+P(AJP(A2)P(4)+P(4)P(A?)P(4)

I2；342<3j423L4J24

,,f2x,0cx<1”,,.

4.設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為/(x)=《，以丫表示對x的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中

0,其匕

事件｛XW；｝出現(xiàn)的次數(shù)，則尸(丫=2)=.

解：一次觀察中事件｛X4；｝出現(xiàn)的該率為

1]H/2H/21

P<X<—>=yf(x)dx=J2xdx=—

則由題設(shè)知y?8(3,1/4),故所求概率為

5.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(2,。2)的正態(tài)分布，且P(2<X<4)=0.3,則

P(X<0)=__________

解：因?yàn)閄~'(2,。2),所以

<2)=①(2)_(D(O)=①(2)-0.5

0.3=尸(2<X<4)=P0<

0,若x<—1

0.4,若一1<尤W1

6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為夕(x)=P(XWx)=<

0.8,若1<x<3

1,若x>3

則X的概率分布為.

解：由題設(shè)知X的所有可能取值為-1,1,3,且

P{X=-l}=0.4,P{X=0=0.8-0.4=O4,P{X=3}=1-0.8=0.2

從而得X的概率分布為

X-113

Pk0.40.40.2

QA

7.一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為絲，則該射手的命中率

81

為

解：設(shè)該射手的命中率為p,X表示四次射擊中的命中次數(shù)，則由題設(shè)知X~B(4,p),從而有

—=P(X>1)=1-=0)=1-(1-p)4

81

故所求為〃=：2

8.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃，cr2)(er>0),且二次方程V+4y+X=0無實(shí)根的概率為

0.5,則〃=.

解：因?yàn)閄~N(〃Q2),所以由題設(shè)知

0.5=2(△20)=尸(16—4X20)=P(X<4)=V=①

則有

j=o

a

故所求為

〃=4

9.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,若x<0

f(x)=<Asinx,若04x4)/2

1,x>71/2

則4=___________尸{因<看卜-------

解：因?yàn)閄為連續(xù)型隨機(jī)變量，故其分布函數(shù)F(x)連續(xù)，所以

’71

=A=limAsinx=limRx)=liF(x)=Hl=1

5mm

即

從而

iJL

10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(10,0.022)的正態(tài)分布.已知①(x)=r7=e2加，

J72兀

①(2.5)=0.9938,則X落在區(qū)間(9.95,10.05)內(nèi)的概率為.

解：因?yàn)閄~N(10,0.022),所以則x落在區(qū)間(9.95,10.05)內(nèi)的概率為

X-10

F(9.95<X<10.05)=P-2.5<<2.5=0>(2.5)_①(-2.5)

0.02

=2①(2.5)-1=0.9938x2-1=0.9876

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)片(x)與工(x)分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F(x)片(x)-AB(x)是某一隨

機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取[]

,、3,222

(A)a=—,b=——(B)a--,b=—

5533

,、1,313

(C)a=——，b=—(D)a=—,b=—

2222

解：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)：產(chǎn)(+oo)=limF(x)=1,于是有

,r->+oo

1=limF(x)=alimF](x)-blimF(x)=a-b

XT+8X->+002

即a—b=l.

對比四個(gè)選項(xiàng)知，只有(A)中的a和6值滿足a-6=1,故正確選項(xiàng)為(A).

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則隨的增大，概率P{|X—“<可，則[]

(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減a(C)保持不變(D)增減不定

解：由于X~N(〃,a2),因此丫=三二幺~N(0,1),于是有

(7

P\\x一“<b}=P{|y|<1}=20)(1)-1=0.6826

可見所求概率不隨〃和b的變化而變化，故正確選項(xiàng)為(C).

3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(x),且/(—x)=/(x),尸(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a,

有[]

(A)F(-a)=1-Jf(x)dx(B)F(-a)=0.5-Jf(x)dx

(C)F(-a)=F(a)(D)F(~a)=2F(a)-1

解：要想最快速度作出選擇，首先設(shè)法找出隨機(jī)變量X的分布函數(shù)滿足哪條性質(zhì).而其密度函數(shù)

/(x)滿足/(-X)=/(x),即/(X)為偶函數(shù).為此，先將X退到一個(gè)特殊位置——把X想象成服從標(biāo)

如圖，圖2—1(1)中陰影部分的面積為歹(-a),圖2—1(2)中陰影部分的面積為尸伍)，據(jù)此很容易選

出(B)為正確答案.下面給出證明：

證由分布函數(shù)的定義得

產(chǎn)(一。)=「/(x)dx

利用積分的可加性，有

ar-a

f(x)dx=AJ)f(x)dx+￡f(x)dx(2.2.1)

而由密度函數(shù)性質(zhì)r

￡=1

又因?yàn)?(-x)=/(x),所以

1=Vf{x}dx=2ff(x)dx=＞「f(x)dx=0.5(2.2.2)

J-QOJ-COJ-00

在積分「/(x)dx中作變量替換，令X=-t,則

「/(x)dx=j/(T)?(―力)==一ff(x)dx(2.2.3)

將(222)與(2.2.3)式代入(2.2.1)式，得

F(-a)-0.5—Jf(x)dx

故正確選項(xiàng)為(B).

注：這種轉(zhuǎn)化過程，其實(shí)利用的就是由“一般”退到“特殊”以利于尋求答案，待得到答案后再完

成由“特殊”進(jìn)到“一般”的嚴(yán)格推導(dǎo)的辯證思維.這一思想，尤其是在解決選擇題上最常用.

4.設(shè)隨機(jī)變量X與丫均服從正態(tài)分布，X~N(出42),y~N(〃,52)Hdp1=P{X4〃-4},

p2=P[Y>//+5],則[1

(A)對任何實(shí)數(shù)〃，都有P1=p2(B)對任何實(shí)數(shù)〃，都有p[<p2

(C)只對"個(gè)別值，才有P1=p2(B)對任何實(shí)數(shù)〃，都有P|>p2

解：由于X~N(〃,42),Y~N(〃,52),因此土2.~N(0,1),匕幺~N(O,1),于是有

45

P1=P{^^<-1}=O(-1)

P2=P{^->1}=P{^-<-1)=①(-1)

所以對任何實(shí)數(shù)〃，都有P1=p2,故正確選項(xiàng)為(A).

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(O,1),對給定的ae(o,1),數(shù)％滿足P{X>%}=a,若

P{|X|<x}=a,則x等于[]

(A)(B)a士(C)々￡(D)u}_a

2~r-2

解：由于X~N(O,1),因此

a=P{|X|<x}=2O(x)-l

于是有

①(x)=^―2

從而

1—a

P{X>x}=l-O(x)=；-

又P{X>(}=￡,所以X=〃「a，故正確選項(xiàng)為(B).

~2~

6.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布隨機(jī)變量丫服從正態(tài)分布N(〃2，b；)，且

P{|x-〃,|<i}>p{|y-A2|<i}

則必有[]

,

(A)a1<a2(B)>cr2(C)Al<〃2①)>〃2

~N(〃2，。；)，因此上必一N(O,1),上二"~N(O,1),于是有

解：由于X~N卬㈤),Y

P[\X-^2\<\}=

)

又

P{|x—聞<1}>P{?—聞<1}

所以

2of—kl>2of—'一1

\a2>

從而、

①國>①

即

\1

—>—

CT]<72

所以<71<。2，故正確選項(xiàng)為(A).

7.某人向同?目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(O<p<l),則此人第4次射擊恰

好是他第2次命中目標(biāo)的概率為[]

(A)3/?(1-p)2(B)6p(l-p)2(C)3P“l(fā)-p):(D)6/?2(l-p)2

解：此人第4次射擊恰好是他第2次命中目標(biāo)，即此人前三次射擊中只有一次命中且第四次命中目標(biāo),

設(shè)X表示“此人前三次射擊中的命中次數(shù)”，則X~8(3,p).另設(shè)A表示“此人前三次射擊中只有一次

命中"，8表示''第四次命中目標(biāo)”，于是有

P(A)=尸{X=1}=C；p(l—pl=3p(l-p)2,P(B)=p

因此所求為

P(A8)=P(A)P(B)=3p2(l—p)?

故正確選項(xiàng)為(C).

8.隨機(jī)變量x的概率密度為/(x)=—L廠(―8<x<+8),則y=2x的概率密度為f]

萬(1+1)

(A)----——7-(B)-------—(C)----?——(D)-arctanx

1(1+4尤2)萬(4+/)萬(1+/)JI

解：Y=2X的分布函數(shù)

y

Fy(y)=P(Y<y)=PQXKy)=P(XW斗=ff(x)dx

yJ-<x>

所以y=2x的概率密度為

川)=k(y)=(嗎)=二屆高

T+M

也可以寫成

4(%)=^477]

故正確選項(xiàng)為(B).

9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)尸(x)=--一,xe(-oo,+oo),則k=[1

1+e

(A)1(B)e~'(C)e~2(D)e

解：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)：F(+oo)=limF(x)=1,于是有

XT+8

1=limF(x)=lim-------=k

XT+XXT+81+eI

即々=1,故正確選項(xiàng)為(A).

10.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布是

X-2-1012

p1/502/51/51/5

則y=x2的概率分布是()

Y=X241014

(A)

P1/502/51/51/5

Y^X2014

(B)

P4/250+1/251/25+1/25

Y=X241014

p1/2504/251/251/25

Y^X2014

(D)---------------------------------

P2/51/52/5

解：由題設(shè)知y=x2的所有可能取值為o,i,4,且

叩=0}=pX2=O}=P{X=0}=2/5

P{y=1}=P{X2=l}=p{x=1}+P{X=—l}=(+0=1/5

,11

P{y=4}=P{X?=4}=P{X=2}+P{X=-2}=-+-=2/5

從而得y=x?的概率分布為

y|oi4

Pk2/51/52/5

故正確選項(xiàng)為(A).

三、解答題

1.分別用隨機(jī)變量表示下列事件

(1)觀察某電話總機(jī)每分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，試用隨機(jī)變量表示事件“收到呼喚3次”、“收到呼喚次

數(shù)不多于6次”：

(2)抽查一批產(chǎn)品，任取一件檢查其長度，試用隨機(jī)變量表示事件“長度等于10cm”、“長度在10cm到

10.1cm之間”；

(3)檢查產(chǎn)品5件，設(shè)A為至少有一件次品，B為次品不少于兩件，試用隨機(jī)變量表示事件

A,B,B,A+B,AB

6

解：(1)事件“收到呼喚3次”表示為{X=3},“收到呼喚次數(shù)不多于6次”表示為{XW6}=U(X=身；

k=0

(2)事件“長度等于10cm”表示為{X=10}；"長度在10cm到10.1cm之間”表示為{10<X<10.1}

(3)事件N={沒有次品}={X=0}

吊={次品少于兩件}={X<2}

6={次品不少于兩件}={X22}

A+8={至少有一件次品}={%>1)

AB={次品數(shù)不到兩件}={X<2}

2.一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號

碼，寫出X的分布律及分布函數(shù).

解：由題設(shè)得

P{x=3}=與=-J-,P{X=4}=與=2，P{x=5}=與=9

C：1010C；10

從而得X的分布律為

X345

136

Pk

101010

X的分布函數(shù)為

0,x<3

1

3<x<4

F(x)=<

4<x<5

5

1,x>5

3.汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達(dá)目的地.設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)

的概率都是0.6；停止前進(jìn)(即遇到紅燈)的概率為0.4,求汽車首次停止前進(jìn)(即遇到紅燈，或到達(dá)目的地)

時(shí)，已通過的信號燈的個(gè)數(shù)的分布律.

解：設(shè)X表示“汽車在停止前進(jìn)時(shí)已通過的信號燈數(shù)”，則隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

又設(shè)A,表示事件“汽車將通過時(shí)第i盞信號燈開綠燈”(i=1,2,3,4),則由題意尸(AJ=0.6,P(Ai)=0.4

{X=0}表示{已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈)},故

P{X=0}=2國}=0.4

{X=1}表示{已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈)，故

P{X=1}=P(A1A2)=P(A1)P(^2)=0.6X0.4

同理P{X=2]=P(A]&入3)=P(AJP(4)P(吊)=06x0.4

P{X=3]=P(A]A2A3N4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(3)=0.63X0.4

4

P{X=4}=P(A,A2A3A4)=P(A,)P(A2)P(A3)P(A4)=0.6

于是X的分布律為

06x0.4,*=0,l,2,3

P{X=k}=

0.64,A=4

即

X01234

0.40.240.1440.08640.1296

Pk

4.假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

2x,0<x<1

/*)={n甘加

[0,其他

現(xiàn)在對X進(jìn)行〃次獨(dú)立重復(fù)觀測，以匕表示觀測值不大于0.1的次數(shù).試求隨機(jī)變量匕的概率分布.

解：事件“觀測值不大于0.1"，即事件{X40.1}的概率為

p=P{x<0.1}=/(x)dx-2xdx=0.01

每次觀測所得觀測值不大于0.1為成功，則匕作為幾次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)，服從參數(shù)為(〃,0.01)的

二項(xiàng)分布，即匕的概率分布為

P(y?=k)=C(0.0—(0.99)"-"(k=0,1,2,…,〃)

5.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為，的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(f)服從參數(shù)為力的泊松分布.(1)求相

繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；(2)求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8

小時(shí)的概率6.

解：(1)由題設(shè)可知

P[N(t)=k}=^-e-A,,k=0,1,2,-

k!

同時(shí)易見T是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，當(dāng)”0時(shí)，尸⑺=尸(7q)=0;當(dāng)f20時(shí)，事件{7>f}

與{N(f)=O}等價(jià).于是有

F(t)=I一尸(7>力=1-P{N(t)=0}=l-e―

故T的分布函數(shù)為

即T服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.

(2)由于指數(shù)分布具有“無記憶”性，因此

e=P[T>16p>8}=P{T>8}=e⑹

0_4{7W16,T28}_尸{T216}_.一

P{T>8}—-P{T>8}—e*

6.假設(shè)測量的隨機(jī)誤差X~/V(0,102),試求在100次獨(dú)立重復(fù)測量中，至少有三次誤差絕對值大于

19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值(要求a數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字).

解：設(shè)p為每次測量誤差的絕對值大于19.6的概率，則

p=p{x|>19.6}=24>1.96>=2[1—①(1.96)J=2[1-0.975]=0.05

設(shè)y為io。次獨(dú)立重復(fù)測量中事件{|x|>i9.6}出現(xiàn)的次數(shù)，則y服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為

〃=100,p=0.05,所以

a=P(yN3)=1-(O.95)100-*

k=Q

山泊松定理知，y近似服從參數(shù)為4=〃p=100x0.05=5的泊松分布，故所求為

25A

a^]-Y—e-5=0.875

一人!

7.某商品的次品率是0.01.現(xiàn)從一大批該商品中任取500個(gè)，問次品數(shù)X不超過5個(gè)的概率.要求:

(1)寫出二項(xiàng)分布計(jì)算公式；(2)用泊松分布計(jì)算結(jié)果.

解：由題設(shè)知X?8(500,0.01),即

P(X=A)=C；00goi)“0.99)50°-*女=0,1,???,500

所以

(1)次品數(shù)X不超過5個(gè)的概率為

55

A5(X,-A

P(X?5)=Z「(X=火)=^C500(0.01)(0.99)

k=0&=0

(2)由泊松定理知，X近似服從參數(shù)為2=500x0.01=5的泊松分布，故所求為

k

55

P(X45)。Z—eT=0.616

*=ok!

8.在電源電壓不超過200伏、在200-240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分

別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252),試求：⑴該電子元件損壞的概率a；

(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200—240伏的概率夕.

解：設(shè)A表示“電壓不超過200伏”，A2表示“電壓在200—240伏”，&表示“電壓超過240伏”;

8表示“電子元件損壞”.

又乂~N(220,25?),所以

Y_220、

(———<-0.81=①(-0.8)=1-①(0.8)=0.212

v_22()、

[-0.8<---<0.81=2①(0.8)-1=0.576

X—220、

(———>0.8)=1-①(0.8)=0.212

⑴由題設(shè)可知：=O.I,P(B|A2)=o.ooi,F(B|A3)=0.2,于是由全概率公式有

3

a=P(B)=ZP(A,)尸(⑼4)=0.212x0.1+0.576x0.001+0.212x0.2=0.0642

/=1

(2)由條件概率公式(或貝葉斯公式)得所求為

P(4)P(豳)=

”尸㈤⑻

P(B)0.0642

9.設(shè)電流/是一個(gè)隨機(jī)變量，它均勻分布在9安~11安之間.若此電流通過2歐姆的電阻，在其上消

耗的功率為W=2〃，求卬的概率密度.

解：由題意/的概率密度為

-,9<x<ll

/(%)=2

0,其它

卬=2〃，卬=2-，x=±欄,當(dāng)9<x<ll時(shí)，162<卬<242

co

對于卬〉0,Fw(w)=P[w<co]=-1<<￡}=

2

由于wNO,所以當(dāng)w<0時(shí)，其分布函數(shù)式w(M=。，故/(w)=K；(w)=」=

綜上,

—^--=—^,162<w<242

>0

=s2v2w24v2w

<00其它

10.設(shè)隨機(jī)變量X在［2,5］上服從均勻分布.現(xiàn)在對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大

于3的概率.

解：由題設(shè)知，X的分布函數(shù)為

0,x<2

x-2

F(x)=〈2<x<5

1,x>5

設(shè)p為每次觀測中觀測值大于3的概率,則

P=P{X>3}=1-F(3)=1-1=|

設(shè)y為3次獨(dú)立觀測中事件｛X>3｝出現(xiàn)的次數(shù)，則y服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為〃=3,p=4/5,故所

求為

1￡3T20

p(y>2)=1-^^

-

k=0327

11.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X012345

111121

Pi

12631299

求y=2(X—2)2的分布律.

1]_12j_

解：Pi

12631299

X012345

y=2(X-2)28202818

從而有

p(y=8)=^+|=ii/36,p(r=2)=1+^=i/4,p(y=o)=1,p(y=i8)=1

故V=2(X—2)2的分布律為

r02818

11111

Pi

34369

12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為/x(x)=――，求隨機(jī)變量y=i-齊的概率密度函數(shù)

萬(1+X)

fy(y)-

解：對任意實(shí)數(shù)y,根據(jù)定義隨機(jī)變量y的分布函數(shù)為

4(y)=P(yWy)=P(1-VFVy)=P{X2(1-y)3}=^}fx(x)dx

則有

fy(J)=PM=fx[(1-y)3]-3(1-y)2

即隨機(jī)變量y=i-VM的概率密度函數(shù)

川)=…

乃[l+(l-y)6]

13.假設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量V=e?x的概率密度/(y).

解：由題設(shè)知，X的密度函數(shù)為

1,1<x<2

fx(x)='

0,其它

對任意實(shí)數(shù)y,根據(jù)定義隨機(jī)變量V的分布函數(shù)為

2X

FY(y)=P(Y<y)=P(e<y)

⑴當(dāng)yKO時(shí),Fy(y)=O,則/(y)=F，(y)=()

(2)當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)(y)=P(X<-\ny)=f(x)dx,則

Y2x

/(y)=Fj(y)=/x(]”>4

22y

所以

1)當(dāng)1<—Iny<2即e-<y<e"時(shí)，f{y}=—?

22y

2)當(dāng)0<y<e?或y2/時(shí)，/(,)=()

綜上可得，隨機(jī)變量Y=e?x的概率密度為

[124

—,e<y<e

/(y)=J2y

0,其它

14.假設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1；P{X=-1)=1,P{X=1}=1;在事件{-1<X<1}出現(xiàn)

的條件下，X在(-1,1)內(nèi)的任一子空間上取值的條件概率與該子空間的長度成正比.試求X的分布函數(shù)

FCx)=P{X<x}.

解：由題設(shè)可知

F(-l<X<1)=1-P(X=-1)-P(X=1)=1」-』=3

848

1=P(-l<X<1卜1<X<1)=2knk=g

所以有

(1)當(dāng)x<-l時(shí)，F(xiàn)(x)=0

(2)當(dāng)一14為<1時(shí)

F(x)=P(X<-l)+P(X=-l)+P(-l<X<x)

=0+1+P(-l<X<x-1<X<1)

=-+P(-l<X<1)P(-1<X<x\-l<X<1)

8

15x+15x+7

=—i------=-----

88216

(3)當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)=1

綜上可得，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,x<—1

F(x)=J^±Z,-1<X<1

16

1,x>1

—f=r,xe[1,8]

is.設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為，/^(幻為x的分布函數(shù)，求y=F(X)的

0，其它

分布函數(shù).

解：F(x)=f(t)dt

當(dāng)x<l時(shí)，F(xiàn)(x)=0

當(dāng)l〈x<8時(shí)，F(xiàn)(x)==

J3肝

當(dāng)無28時(shí)，F(xiàn)(x)=1

綜上可得，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,x<1

F(x)=<Vx-1,1<x<8

1,x>8

對任意實(shí)數(shù)y,根據(jù)定義隨機(jī)變量y的分布函數(shù)為

Fr(y)=P(y<y)=P{F(X)<y)

當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)y(y)=O

當(dāng)0Wy<1時(shí)

K(y)=P(VF—14y)=P{XW(y+1)3}=尸[(y+l)3]=y

當(dāng)y21時(shí)，4(y)=l

于是，y=F(X)的分布函數(shù)為

0,y<0

^y(y)=,y,0<y<l

i,yNi

16.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，終調(diào)試后以

概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了“522)臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器

的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立).求：(1)全部能出廠的概率a；(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率/?；(3)其

中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率。.

解：對于新生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，設(shè)A表示“儀器需進(jìn)一步調(diào)試”，8表示“儀器能出廠”，則才表示“儀

器需進(jìn)一步調(diào)試”，A8表示“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”.

由題設(shè)可知，B=A+AB,P(A)=0.30,=0.80,從而有

P(AB)=P(A)P(B\A)=0.30x0.80=0.24

P(B)=P(I)+P(AB)=0.70+0.24=0.94

設(shè)X表示“所生產(chǎn)的〃臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)”，則X作為〃次獨(dú)立試驗(yàn)成功(儀器能出廠)

的次數(shù)，服從參數(shù)為5,0.94)的二項(xiàng)分布，因此

⑴a=P(X=〃)=0.94”

(2)，=P(X=〃—2)=C；?0.94'T.0.062

(3)6=尸(XW〃-2)=1-P(X=〃-1)-P(X=n)

=1—C：-0.94"T?0.06—0.94”

17.某種型號的電子管的壽命X的分布密度函數(shù)為

fl000…八

,%>1000

/(x)=jx2

0,x<1000

現(xiàn)從一大批中任取5只，問其中至少有兩只壽命大于1500小時(shí)的概率.

M(H-X10001000件8

解：P(X>1500)=r/(x)dx=「rdx=2/3

2

J5004500xx4500

設(shè)y表示“壽命大于1500小時(shí)的電子管只數(shù)”，則y?8(5,2/3),從而所求為

p(y>2)=1-p(y<2)=1-P(Y=o)-p(y=i)

=>立舟《嚴(yán)=23%3

k=0JJ

18.設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位：分)服從參數(shù)為工的指數(shù)分布.該顧客在窗口

5

等待服務(wù)超過io分鐘則離開.他一個(gè)月到銀行5次.以y表示未等到服務(wù)的次數(shù)，試求

(1)Y的概率分布；

(2)P(Y>1).

Z_5

解：P(X〉10)=fx(x)dx=￡1e=-e|=e=

(1)由題設(shè)y~B(5,e<),即y的概率分布為

p(y=A)=C；(e-2)"(l—e-)5YZ=0,1,…5

(2)p(y>1)=i-p(y<1)=i-p(y=o)=i-(i-e"y

19.設(shè)隨機(jī)變量K在[0,5]上服從均勻分布，試求一元二次方程4/+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概

ye(0,5)

解：由題設(shè)知K~{5)''從而所求為

0,其它

P(ANO)=P{16公一16伏+2)20}=P伙2—左一220)

=(kW—1)+P(ZN2)=￡'/,(y)dy+「/(y)dy

=0+「dy+「0dy=%

20.設(shè)隨機(jī)變量X在[0J上服從均勻分布，試求：(1)丫=”；(2)Y=-21nX的概率密度函數(shù).

解：由題設(shè)可知