2023年湖北省荊州市統(tǒng)招專升本高數(shù)自考真題(含答案)

2023年湖北省荊州市統(tǒng)招專升本高數(shù)自考

真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(20題)

1.

1-1-COS(72y2)

I"】1,、?/?,、\/

LO(支“十y)sin(j?v)

y-*0

A.0B.3C.eD.oo

2.

設(shè)y=/(sin；/),/為可導(dǎo)函數(shù).則單=()

ax

A.sin./f(sina2)B.cos>r2f(sinr2)

C.2.rsin.7'/"(sin.r2)D.2,rcos.if(sin.1')

3.

,函數(shù)/(x)=--e-的一個(gè)原函數(shù)是()

A.F(.r)=c'—c~'B.F(.i)=c'4-c-'

r

C.FQ-)=e"—e"D.F(T)=—e—e”

4.

設(shè)當(dāng)J—0時(shí)，/Q)與*(.r)均為“?的同階無(wú)窮小量，則下列命題正確的是()

A./(工)+)一定是x的高階無(wú)窮小

B.,/(.r)-g(j)一定是J的高階無(wú)窮小

C.一定是了的高階無(wú)窮小

D.牛?(g(.r)聲0)一定是1的高階無(wú)窮小

*(H)

5.

1

函數(shù)1y=(―8v1<H-oo)是)

ln(\/1+z2—J-)

A.偶函數(shù)B.奇函敦C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函教

6.

下列四組函數(shù)中*/(1)與g(.r)表示同一個(gè)函數(shù)的是()

A.f(jc)=.r—1.g(、r)=——rB.f(x)=M.g(.r)=(7z)4

彳一1

C./(.r)=j,2.g(.r)=D./(I)=1.g(a)=,r°

7.

下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是

8

A.三(一1尸七B.S]

n=IVHH=1〃ln/1+--

1

gsin一00

C.>1+(-1)?！猑產(chǎn)D.2](?>2)

??=1w

8.

定積分小臂：&的值為)

TLX+COS1

A.0B.1C.-1D.2

9.

設(shè)為可導(dǎo)函數(shù).則*=

)

,22

A.sinj/(sin.r)B.COSJ2『(sina2)

C.2.rsinj2/z(sin.r2)D.2.iCOSJ2//(sin.r2)

10.

微分方程，一2z—3.r-=0滿足、丫=1的特解為)

A.A'=L/+.7,"+1B.y=大.*+JJ+-1

C.、=>+D.y=>+C

11.

sinr?arctan—h-ln(l+3/),一丁V」r<0,

已知函數(shù)fix')=xx3在父=0處連續(xù).

J?

1[a,i20

則a=()

A.OB.1C.3D.4

12.

函數(shù)N=1V”+1.”=0.±1,±2,…的值域?yàn)?)

A.{0,1.2.3.…〉B.{1.2.3.-yC.(-e.+z)D.{0.±1.±2.-}

13.

?下列等式中不正確的是()

z

A.(x)d.r)=/(jr)B.d(f(.j)d.r)=f(JC)d.r

C.[/"(1)dr=/(x)D.|=/(j->+C

14.

設(shè)y=,則其反函數(shù).r=q(y>在y=0處導(dǎo)數(shù)為()

A.4B.3C.-3D.—4

15.

[3e"zV0,

若函數(shù)/(i)=J在i=0處連續(xù),則a的值為()

[2.r+a?.r20

A.OB.3C.-J-D.1

16.

r

已知向量組?=(1.0,2.3尸.a?=(1.1.3.5).a:)=(1.-1.a+2.1),的秩為2.則

a=()

A.OB.1C.-1I).2

17.

設(shè)丫=ln(l+上).則

A(―1尸(〃-1)]B.?

(1+x)-

T\/___1\?—i(〃1)!

C.(-1尸D-(D(1+.4-)-

(1+"

18.

/(3/Q一八一

設(shè)/(J-)在1=0處可導(dǎo)?則limh)_)

/?-02h

2v

A.|r(o)B.-=-r(o)

J

C.2/(0)D./(O)

19.

,X2

.設(shè)小)在(0,+8)上連續(xù).且y(/)d/=八則/⑵=)

B.3D-l

20.

已知曲線》=土?與曲線y=ar?+〃在點(diǎn)(2，)處相切，則

A.a=一1仁一.B.?=_[b=4

164164

C.?=±,6=-lD.a=上山=4

164164

二、填空題(10題)

2|設(shè)/(J)=x(x—1)(.?,—2)(w—3)dr—4),則/'(4)一

”在［一1上任取一點(diǎn)X，則該點(diǎn)到原點(diǎn)距離不超過(guò)！的概率為

22.3

23積分匚

幕級(jí)數(shù)之4的收斂域?yàn)?/p>

24.?=i"

25.

/300]

.已知A=140.E為三階單位矩陣，則A—2E的逆矩陣（A-2E）

003

八+M,則y（j）=

27與向量（一3,4.1）平行的單位向量是

d/

。，1+八

極限lim

28.，-。

廣義積分

29.

30.

設(shè)區(qū)域D=｛（1.》）I0W1<1?—1W?41》,則］（.丫一合）d.rd_y=

I）

三、判斷題（10題）

31.

3e'.40,

若函數(shù)/(])=，arcianer,在丁=0處連續(xù).則a=2e.()

--------------Fa,.r>0

A.否B.是

一設(shè)J(J)=J?*，則函數(shù)fCr)有1個(gè)間斷點(diǎn).八才口目

32.A.pqB.TE：

極限lim普：=2.

33.2s,n4jrA.否B.是

34.

6.設(shè)函數(shù)/(i)=sinx*6[〃/].由拉格朗日中值公式得存在E6(〃而,使sin〃一sin”

=cos??(6—a).()

A.否B.是

lim(j-2—3/)=lim/2—3linrr=8-8=0.

__x*0工-?<>x*0-———t—.

35.A.否B.是

("=e2\

36.A.否B.是

二確定，唬=

已知函數(shù)v=.y(.r)由參數(shù)方程2t-1.

37.A.

否B.是

1-2-N—3/+2_2

a?！璊*?-4-r+33

3o.A.否B.是

39如果/(-r)在［a，M上單調(diào)增加,則/(G是極小值JU)是極大值.A

否B.是

40.

微分方程U十也=0的通解為./+V=

C.)

y'

A.否B.是

四、計(jì)算題（5題）

§1皿

.求不定積分cLr.

siru+COSJ

41.

42.

2:

計(jì)算二重積分!y/R'—J'-y'd3,?D：J-+<R.0<y<J>o.

ln(l+/)山

43求極限外Jk.

設(shè)f'(In.z)=1+a、,求_/(w).

44.

求不定積分「,廠+5L.

45aJ3-21一、廣

五、證明題（2題）

證明不等式:gVinmVg.其中〃V〃，為正整數(shù).

in〃

46.n

47.

設(shè)/（Z）在［a，b］二階可導(dǎo)，且f（6）=0,又設(shè)FCr）=（工一。//（1）,證明在（明份內(nèi)

至少存在一點(diǎn)M使/（§）=0.

六、應(yīng)用題（5題）

48.

設(shè)一物體其下端為直圓柱形.其上端為半球形,如圖所示.如果此物體的體積為v.問(wèn)

這物體的尺寸各是多少時(shí).才能使其表面積最?。?/p>

49.

求由兩條曲線v=cos.r.v=sin/及兩條直線,=0,.r=?所圍成的平面圖形繞

0

『軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

50.

半徑10cm的金屬圓片加熱后，半徑伸長(zhǎng)了0.05cm,向其面積增大了多少？

51.

求由曲線），=.r-2.r+9與該曲線過(guò)原點(diǎn)的兩條切線所圍成圖形的面積.

52.

已知曲線v=uV＞（a＞0）與曲線＞=In77在點(diǎn)Qu，y＞）處有公切線?試求:

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)（”,，%）;

（2）兩曲線與上軸圍成的平面圖形的面積S.

參考答案

1.A

【精析】使用無(wú)窮小的等價(jià)代換可得原式=lim￡=1lim注

JC-*O2T-ox+y

y-*0y-*0

而04一2<1,limj-2=0,所以lim飛—0,故原式—0.

f-yx-*ox-*oj：/+y

y-*Oy-*0

2.D

［答案］D

【精析】翌=1/(sin/)］'=/'(sirtr，)?(sina")'=2?rcos〉/'(sirLi").

d.r

3.B

4.C

［答案］C

【精析】由題意知.lim42"=4Jim)=〃,故7(0)=g(0)=0.對(duì)于選項(xiàng)(：?

,r*0JC/t。JT

lim/(")**(")=［im￡(")?lirng(x)=aX0=0,即/<x)g(.r)一定是x的高階無(wú)窮小.

t?力上*上一。JT

其他三項(xiàng)都不能保證一定是“的高階無(wú)窮小.故應(yīng)選C.

5.B

【精析】令./<.r)=——-.~-則

z)

__________1__________

/(—JC)=

ln(+M+_r),r(yi+.r2)2-.r21

L7TT7r-1J

1

2

1,J.■...----\ln(</1+.r—J.)

(/r+Tr-j-)

=-f(JT),

即y=為奇函數(shù).故選B.

6.C

【精析】A項(xiàng)中"(n)=1—1的定義域?yàn)镽,g(、r)=—―-的定義域?yàn)閧wI//

a—1

故A項(xiàng)中人］)與耳1)表示的不是同一個(gè)函數(shù)：B項(xiàng)中?/(/)=/的定義域?yàn)镽，H(I)

=O的定義域?yàn)榫轎』?》0},故B項(xiàng)中八彳)與gGr)表示的不是同一個(gè)函數(shù):C項(xiàng)

中,/(4)=x2?gQ)=，3=M?且兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R,故C項(xiàng)中/(l)與g(x)

表示的是同一個(gè)函數(shù)：D項(xiàng)中，/Q)==1°=l(、r/0)?故兩個(gè)函數(shù)的定義域

不同.故D項(xiàng)中/(j)與g(j)表示的不是同一個(gè)函數(shù).故選C.

7.B

［答案］B

1

sin——

【精析】A項(xiàng)由萊布尼茨判別法知條件收斂;C項(xiàng).當(dāng)“f8時(shí).一工?;.所以收

〃ir

斂；D項(xiàng)中￡—=Y^-.p>2.即4>1.故級(jí)數(shù)收斂；而B項(xiàng)中.

?=1(v/T)”=】/

Hm--------.....-=lim------^―：—=1并0.故發(fā)散.

一〃ln(l+—)tt

nn

8.A

［答案1A

【精析】zWcos/在1—1,1］上是偶函數(shù)?tan_z在［-1.1］上是奇函數(shù),所以

小胃_在［-M］上是奇函數(shù)，故該定積分的值為0.

LX十COST

9.D

［答案］D

【精析】牛=L/(sinj2)=/"(sin/)?(siru：)'=2.rcos.r2/^(sinx2).

10.B

［答案］B

【精析】分離變量可得dy=(2『+3/)d,.兩邊枳分可得y=>+>+C.又由

2

y=1可得C=1.故特解為y=J-'+J-+1.

ll.C

［答案1C

【精析】要使函數(shù)/(x)在1=0處連續(xù)，必有l(wèi)imy(.r)=lim/(J)=/(0),所以a=

sinx.arctan1+ln(1+3/)limsiru1?arcian'+lim,上■■如)=0+3=

一。-工…-]

3,故當(dāng)a=3時(shí)，/(jr)在/=0處連續(xù).

12.D

［答案］D

【精析】函數(shù)夕=［I］=〃為取整函數(shù).值域即"的取值范圍,即{0,土1.±2,…}.

【精析】［/(jr)cLr=/(?r)+C.

13.C

14.D

［答案1I)

【精析】t=］吧‘口一J(oW工《。r=o時(shí)得才=河沙'(-)=J,所以

(3十sin/)Z\4/4

7—e(y)在y=。處的導(dǎo)數(shù)為-------=14?故選D.

w刀)

15.B

［答案］B

T

【精析】lim/(J)=lim3e=3?lim/(x)=lim(2x+a)=a>/(0)=a?由/(/)在

.1-??I4

X=0處連續(xù)可得lim/Q)=lim/Q)=/(O).因此〃=3.故選B.

u-D-.，-<>?

16.C

?若r(ai.a?

【精析】＜ai-a2?。3)=2

as)=2,則a+1=0?

17.A

［答案］A

f11”1?21(?-D!

【精析】y==(-i)i

F+7^-(T+77^=?TG'…(1+?!.)"

應(yīng)選A.

18.C

【精析】lim/(3.工/(一%)=隔/(3力)：/(一八).2=2/(0),故選C.

A-0LilA-04/1

19.D

【精析】方程兩邊同時(shí)對(duì)/求導(dǎo)./匚/(1+/門?(21+3/)=］.

令工=1.貝IJ/(2)?5=l,f(2)=!■.故應(yīng)選D.

0

20.B

［答案］B

【精析】曲線V=《與曲線=&/+〃在（24）處相切，故

“（2）=2（2）,且，（2）=，（2）,

1

4a+〃,

一16

叫T1

~1

21.

4!

［答案］4;

［精析］/(4)=lim/⑺一/⑷=lim-才一1”二一2)Q；3)(.r—4)一°二

Ix-4?-*i.7—4

linu(J—I)(.?—2)(彳-3)=4!.

?—I

22.

4

5

【精析】由題意知.x?u(—i.i).則P(-4-<4)==4-.

5□」T25

23.

1—ln(1+c)

c-2『r-?i

【精析】-----d.r=------；d(1—e1)=—(In|1—ev1)

J-i1—eJ-i1—e

=ln(e-1)—1—ln(e-1)+2

=1—Ind—e).

24.

(-8.+OO)

（〃+1）田

【精析】p—lim=lim（一^）"?lim—!—=lim---——?lim---

。一?81-8）1+1L0O7/~r1L8（］-8"I1

n

=(),所以R=+8.故幕級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-8.4-00).

25.

100>

001

rl00

（A-2E）/

【精析】A-2E=120\A-2E|=2?（A-2E）T

|A-2E\

001

/100,

11

———uA

22

001

26.

［答案］

T

【精析】由于/(5)=]+無(wú)匚/=++ji+T

于是/（＞=]+Jl+1.

27.

w

_1x/26y/26回、

【精析】向精的模為，（一3尸+/+12=質(zhì).

故與之平行的單位向量為士(-全忘扁.

28.1

［精析］lim---"'廣，-=lim---;=lim［=1.

L。彳L02x+、/L0+「

29.1n2

［答案］ln2

【精析】|T-7---d-i=ln(lie*)=ln2—limln(1:J)=ln2—0=ln2.

J.1+e*-1-，

30.

【精析】由題意知積分區(qū)域D=Kx,y)|1,-14丁41},則

(y_jrDdidy=jdy\(y-x2)dx=j.y—1-jdv

=(耳T)L一系

31.N

［答案］x

【精析】lim/(.?)=lim3c*=3,limf(.r)=lim(?rctanej+a)=c—a,/(0)=3,

,rr.r??,r?<t"1"

由/(JC)在z=0處連續(xù)可得lim/(ar)=lim/(.r)=/'(0),因此a=3—e.

32.Y

【精析】函數(shù)八%)為落指函數(shù)?故底數(shù)/>o?且1?則函數(shù)定義域?yàn)?o.i)U

(1.+8),故可知函數(shù)f(x)有一個(gè)間斷點(diǎn)J：=1.

sin2j,_1.2/_1

【精析】lim=如47=7-

33.N…siivli

34.Y

【精析】:/(/)=sinj*,/./(T)在［a,6］上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且fC)=cosa,

A由拉格朗日中值公式得存在?6(a,6),使普二^吆=cos&即sin6-sin?

b-a

cos^?(()—a)

35.N

【精析】因?yàn)閘imz'=0-linu=0.所以limlr'—3/)=0—0=0.

4-0

【精析】(eZrV=e”.(2_r)'=2e".

36.N

dv

【精析】由=dr

dv

dz

37.Y

【精析】當(dāng)/f0時(shí).2/—31+2f2.F—4丁+3f3.

則lim丁=2

38Y?,。1—。3

39N【精析】火笛是最小值./(〃)是最大值.

40.Y

［答案］V

【精析】分離變量可得一了山=」，山,兩邊積分可得［Jdy=廿心.解得一1?，

+G=。.即M+V=C.

41.

?注4?匚.1Isin-r+COSJ—cos.r+sirur.

［精析］原式=亍--------：-T------------dx

LJsiiu*+cos/

=1f(1+-cos-r+sin^)dj

cJsin.z+cos.r

1-g1-....}-----d(siiiz+cos.r)

=-JC

22Jsiru+COST

1

=T］---ln|sirtr+cos.r|+C.

42.

【精析】由被積函數(shù)及積分區(qū)域特點(diǎn)可知選擇極

坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)便?如圖所示.區(qū)域D的去示式

為|臼＜?

=][VR:-

JR?rdr.ltf

=Id(7jr\/'R"-rdr

J<?J"

二f?(一?)/VR:-rd(R-廣)

4ZJo

43.

jln(l+/)df-r1?9x9

【精析】原式=limJ--=limmay■2=1.

…春⑵尸…

44.

【精析】令I(lǐng)n.r=t?則.r=e'?由//(In.r)=1+.r得//(/)=1+e'?積分得/(/)

=/+c'+C,故/(、r)=x+c4+C.

45.

【精析】，3+2才一才,=i/4—(J1)'?

令_r—1=2sii”,一卷<PV段■,則才=1+2sinr.dr=2coszdz.故有

乙Lt

(64-2sinf)dz=6r—2cos/+C

=6arcsinL.!-J3+—+C.

46.

【證明】設(shè)/Q)=Imr,易知/Q)在區(qū)間「”.〃門上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.

即至少存在一點(diǎn)WG(〃.,〃).使得

\nm—Inn_1

--------———.

m-n3

又因?yàn)?V,故,v3VL,從而有

HlF〃

1)In/H-Inn1-1

—<--------=—<—?

mm-nfn