新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專題（精講+精練）14 平面向量中等和線的應(yīng)用（含解析）

素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應(yīng)用（精講+精練）一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、平面向量共線定理已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則A，B，C三點(diǎn)共線，反之亦然.二、等和線平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)直線AB在點(diǎn)O與等和線之間時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k=0；若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k互為相反數(shù).三、證明步驟如圖1，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上一點(diǎn)，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，由平面向量基本定理知：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0下面根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和SKIPIF1<0的值=1\*GB3①若SKIPIF1<0時(shí)，則射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無交點(diǎn)，由SKIPIF1<0知，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0=2\*GB3②若SKIPIF1<0時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右側(cè)時(shí)，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的相似比為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0三點(diǎn)共線可知：存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（ii）當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左側(cè)時(shí)，射線SKIPIF1<0的反向延長線與SKIPIF1<0有交點(diǎn)，如圖1作SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)SKIPIF1<0，由（i）的分析知：存在存在SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0綜合上面的討論可知：圖1中SKIPIF1<0用SKIPIF1<0線性表示時(shí)，其系數(shù)和SKIPIF1<0只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0邊的垂線SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的符號由點(diǎn)SKIPIF1<0的位置確定)，因此只需求出SKIPIF1<0的范圍便知SKIPIF1<0的范圍一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長度比計(jì)算最值.二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于此時(shí)等和線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例2】如圖，四邊形SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）【解析】當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練-刷模擬】一、單選題1.已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）【解析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0則SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0,而三角形SKIPIF1<0的外接圓的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.2.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A.3B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.2【解析】：根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)距離最大時(shí)SKIPIF1<0有最大值，此時(shí)SKIPIF1<0，過A點(diǎn)作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則SKIPIF1<0答案：A4.在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，若存在實(shí)數(shù)m和n，使得SKIPIF1<0，則m+n=（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0 ，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0答案：C5.已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則m+n的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)?shù)群途€相切于拋物線時(shí)SKIPIF1<0有最小值，過C作兩等和線的垂線，垂足分別為T、S，則SKIPIF1<0由拋物線方程為SKIPIF1<0可得直線AB方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故切點(diǎn)為SKIPIF1<0，此時(shí)切線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0答案：A6.在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心且與SKIPIF1<0相切的圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為()SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】：如圖所示：過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，高線最長，即SKIPIF1<07.已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（不含邊界），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0所以O(shè)為SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，SKIPIF1<0最小，此時(shí)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當(dāng)M與C重合時(shí)，SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即SKIPIF1<0所以選B8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵BC//EF，∴設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A.二、填空題1.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量SKIPIF1<0的模分別為1，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則m+n=______.【解析】連接AB，過C點(diǎn)作AB的平行線，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由題意可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，根據(jù)三角形張角定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0答案：32.已知P是SKIPIF1<0內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則y+2x的取值范圍是_____.【解析】SKIPIF1<0（D為AB中點(diǎn)）所以當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)B時(shí)，y+2x有最大值SKIPIF1<0,當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)A時(shí)，y