新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.9　空間動(dòng)態(tài)問題突破培優(yōu)課（原卷版）

§7.9空間動(dòng)態(tài)問題突破空間動(dòng)態(tài)問題，是高考常考題型，常以客觀題出現(xiàn)．常見題型有空間位置關(guān)系判定、軌跡問題、最值問題、范圍問題等．題型一空間位置關(guān)系的判定例1(1)已知P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．AB⊥PQB．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面體ABPQ的體積為定值D．AP∥平面CDD1C1(2)(多選)已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，M，N分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，將△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱錐A′－MNCB中，下列說法正確的是()A．直線MN∥平面A′BCB．當(dāng)四棱錐A′－MNCB體積最大時(shí)，平面A′MN⊥平面MNCBC．在折起過程中存在某個(gè)位置使BN⊥平面A′NCD．當(dāng)四棱錐A′－MNCB體積最大時(shí)，它的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為eq\f(39π,4)思維升華解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化．(2)建立“坐標(biāo)系”計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論一定成立的是()A．三棱錐A－A1PD的體積大小與點(diǎn)P的位置有關(guān)B．A1P與平面ACD1相交C．平面PDB1⊥平面A1BC1D．AP⊥D1C題型二軌跡問題例2(1)設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為底面正方形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若△APC1的面積S＝eq\f(1,2)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M∥平面CD1EF，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________．思維升華解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，斜線段AB與平面α所成的角為eq\f(π,4)，B為斜足．平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB＝eq\f(π,6)，則點(diǎn)P的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA＝r(0＜r＜eq\r(3))，記點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為f(r)，則f(1)＋f(eq\r(2))＝________.題型三最值、范圍問題例3(1)如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，則此時(shí)空間四面體ABCD′體積的最大值為()A.eq\f(16\r(3),27)B.eq\f(5\r(3),9)C．1D.eq\f(\r(3),4)(2)在三棱錐P－ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，D為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，PA＝AC＝2，AB＝3.當(dāng)BD與平面PAC所成角最大時(shí)，AD與平面PBC所成角的正弦值為________．思維升華在動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．跟蹤訓(xùn)練3(1)在四面體ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，則四面體ABCD體積的最大值是()A.eq\f(2\r(3),27)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(3),9)D.eq\f(\r(3),3)(2)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，P是底面A1B1C1D1上一點(diǎn)．若AP∥平面BEF，則AP長(zhǎng)度的最小值是________，最大值是________．課時(shí)精練1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且BM∥平面ACD1，則tan∠DMD1的最大值為()A.eq\f(\r(2),2) B．1C．2 D.eq\r(2)2．(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱DD1，BB1上的動(dòng)點(diǎn)(異于所在棱的端點(diǎn))．則下列結(jié)論正確的是()A．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線FC1可能與AE平行B．直線AC1與EF必然異面C．設(shè)直線AE，AF分別與平面A1B1C1D1相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)C1可能在直線PQ上D．設(shè)直線AE，AF分別與平面A1B1C1D1相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)C1一定不在直線PQ上3．點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2eq\r(5)的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn)，若滿足DP⊥BM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為()A．πB．2πC．4πD．2eq\r(5)π4．(多選)如圖，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分別是線段AB，AC上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且DE∥BC，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，當(dāng)D從B滑動(dòng)到A的過程中，下列選項(xiàng)中正確的是()A．∠A′DB的大小不會(huì)發(fā)生變化B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化C．三棱錐A′－EBC的體積先變小再變大D．A′B與DE所成的角先變大后變小5．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，正四面體P－ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是2，則|OP|的取值范圍是()A．[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1] B．[1,3]C．[eq\r(3)－1,2] D．[1，eq\r(3)＋1]6.已知正四面體D－ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱CD，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)EM＝x，則下列說法正確的是()A．直線DA與直線MB所成的角隨x的增大而增大B．直線DA與直線MB所成的角隨x的增大而減小C．直線DM與平面ABD所成的角隨x的增大而增大D．直線DM與平面ABD所成的角隨x的增大而減小7．(多選)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是()A．若MN與平面ABCD所成的角為eq\f(π,4)，則點(diǎn)N的軌跡為圓B．若MN＝4，則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC．若點(diǎn)N到直線BB1與到直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線D．若D1N與AB所成的角為eq\f(π,3)，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓8.如圖，在四棱錐P－ABCD中，頂點(diǎn)P在底面的投影O恰為正方形ABCD的中心，且AB＝eq\r(2)，設(shè)點(diǎn)M，N分別為線段PD，PO上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)AN＋MN取最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為PD的中點(diǎn)，則該四棱錐外接球的表面積為()A.eq\f(9π,2)B.eq\f(16π,3)C.eq\f(25π,4)D.eq\f(64π,9)9．在三棱錐A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6，定長(zhǎng)為l(l＜4)的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱AB上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在△ACD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，若線段MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積為eq\