全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)選修4-5不等式選講2備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1選修4-5不等式選講1.〖2021晉南高中聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在圖1坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫(xiě)出f(x)的值域;(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范圍.圖12.〖2021長(zhǎng)春市高三質(zhì)監(jiān)〗已知a>0,b>0,a+b=4.(1)求證:a2+b(2)求證:1a+2+2b3.〖2021蓉城名校聯(lián)考〗已知m>n>0,函數(shù)f(x)=|x+1n((1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;(2)求證:f(x)≥4-|x-m2|.4.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)〗已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)當(dāng)a=-4時(shí),求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.〖2020河南安陽(yáng)高三第一次調(diào)研考試〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1時(shí),f(x)≤3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范圍,并寫(xiě)出相應(yīng)的最小值.6.〖2019四省八校聯(lián)考〗已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)>4;(2)若?x1∈R,?x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.〖2021貴陽(yáng)市四校第二次聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.(2)當(dāng)m≥-1時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+|x-m|的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;(2)若關(guān)于x的方程f(x)-k2+3k=0有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.9.〖2021陜西百校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)≥12(x(2)若函數(shù)f(x)的最大值為n,且2a+b=n(a>0,b>0),求2a+10.〖2020惠州市一調(diào)〗已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1時(shí),不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范圍.11.〖2020四川五校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求證:a+1+b12.〖2020安徽安慶二模〗已知a>0,b>0,且a2+b2=1.(1)若對(duì)任意的正數(shù)a,b,不等式|2x-1|≤1a2+(2)證明:(1a+1b)(a5+答案選修4-5不等式選講1.(1)由題設(shè)知,f(x)=-4,x圖D4由圖可得f(x)的值域?yàn)椤?4,4〗.(2)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x+a|的大致圖象,當(dāng)y=|x+a|的圖象過(guò)點(diǎn)(1,4)時(shí),a=3或-5,由圖D5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,則a≥3.圖D52.(1)因?yàn)閍>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥a2+b2+2ab2,所以a2+b2≥22(2)因?yàn)閍+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)×a+2+b6=163.(1)依題意,得f(x)=|x+12則f(x)>2?|x+12|>2?x+12>2或x+解得x>32或x<-52,故不等式f(x)>2的解集為{x|x>32或x(2)依題意,f(x)≥4-|x-m2|?|x+1n(m-n)因?yàn)閨x+1n(m-n)|+|x-m2|≥|x+1n(m-nm=n+(m-n)≥2n(m-n)故m2+1n(m-n)≥m2+4m2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)m4.(1)當(dāng)a=-4時(shí),f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,即x≤2,4-x+2-解得x≤0或x∈?或x≥6,所以原不等式的解集為(-∞,0〗∪〖6,+∞).(2)f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗等價(jià)于f(x)≤|x-3|在〖0,1〗上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在〖0,1〗上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在〖0,1〗上恒成立,所以-1≤a≤0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為〖-1,0〗.〖?xì)w納總結(jié)〗解含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用的方法是零點(diǎn)分段法.解答本題第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題,然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題.5.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x+2|=-2當(dāng)x≤-2時(shí),f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;當(dāng)-2<x<-1時(shí),f(x)≤3即1≤3,恒成立;當(dāng)x≥-1時(shí),f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.綜上可得f(x)≤3的解集為〖-3,0〗.(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(當(dāng)-(a+1)>0,即a<-1時(shí),f(x)無(wú)最小值;當(dāng)-(a+1)=0,即a=-1時(shí),f(x)有最小值-1;當(dāng)-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1時(shí),f(x)min=f(-1)=a;當(dāng)-(a+1)<0且a-1>0,即a>1時(shí),f(x)min=f(-2)=1.綜上,若f(x)有最小值,則a的取值范圍為〖-1,+∞),且當(dāng)-1≤a≤1時(shí),f(x)min=f(-1)=a,當(dāng)a>1時(shí),f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.當(dāng)x<-2時(shí),-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;當(dāng)-2≤x≤12時(shí),-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<-當(dāng)x>12時(shí),2x-1-(x+2)>4,解得x>7綜上,不等式f(x)>4的解集為{x|x<-53或x(2)因?yàn)?x1∈R,?x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因?yàn)閒(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以可得f(x)的值域?yàn)椤?52易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域?yàn)椤?|2a+1|,|2a+1|〗,所以-|2a+1|≥-52,即|2a+1|≤52,則-52≤2a+1≤52,-74≤a≤347.(1)由題意知,原不等式等價(jià)于x≤-1,-2x-2-5≥1-解得x≤-8或?或x≥2,綜上,不等式f(x)≥|x-1|的解集為(-∞,-8〗∪〖2,+∞).(2)當(dāng)m=-1時(shí),g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此時(shí)g(x)的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,滿足題意;當(dāng)m>-1時(shí),g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3則函數(shù)g(x)在(-∞,-1〗上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,要使函數(shù)g(x)的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,則g解得32≤m<4綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍為〖32,4)∪{-1}8.(1)原不等式等價(jià)于x>12,解得12<x≤74或-32≤x≤12或-所以不等式的解集為{x|-114≤x≤7(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有實(shí)數(shù)解,即函數(shù)y=f(x)與y=k2-3k的圖象有交點(diǎn),只需k2-3k≥4,解得k≤-1或k≥4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤-1或k≥4}.9.(1)由已知得f(x)=x∴當(dāng)x<1時(shí),x-2≥12(x當(dāng)1≤x≤32時(shí),3x-4≥12(x-1)?75≤x當(dāng)x>32時(shí),-x+2≥12(x-1)?32<x綜上所述,不等式的解集為〖75,53(2)由(1)可知f(x)max=f(32)=n=12,∵2a+b=n=12(a∴2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba故2a+10.(1)解法一當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.當(dāng)x<-1時(shí),-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;當(dāng)-1≤x<0時(shí),x+1-x≥3,無(wú)解;當(dāng)x≥0時(shí),x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.綜上,不等式f(x)≥3的解集為(-∞,-2〗∪〖1,+∞).解法二當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x|=-2當(dāng)x<-1時(shí),-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;當(dāng)-1≤x<0時(shí),1≥3顯然不成立;當(dāng)x≥0時(shí),2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.綜上,不等式f(x)≥3的解集為(-∞,-2〗∪〖1,+∞).(2)解法一當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,則g(x)的圖象為過(guò)定點(diǎn)(1,1)且斜率為a的直線.數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)a≥0時(shí),|ax-a+1|≥1在〖1,+∞)上恒成立.所以,所求a的取值范圍為〖0,+∞).解法二當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.所以ax-a+1≤-1或ax-a+1≥1,即a(x-1)≤-2或a(x-1)≥0.當(dāng)x≥1時(shí),?a∈R,不等式a(x-1)≤-2不恒成立,當(dāng)x≥1時(shí),要使不等式a(x-1)≥0恒成立,需a≥0.所以,所求a的取值范圍為〖0,+∞).11.解法一(1)因?yàn)閒(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x≤0,1-3x,0<x<12,x-1,解得x≤-1或x∈?或x≥3,所以不等式的解集為(-∞,-1〗∪〖3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,要證a+1+b只需證(a+1+b+1)2≤(2即證a+b+2+2(a只需證(a+1)(因?yàn)閍>0,b>0,所以根據(jù)基本不等式得(a+1)(b+1)≤(a+1)+(解法二(1)因?yàn)閒(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-作出函數(shù)g(x)=f(2x)-f(x+1)的圖象與直線y=2(如圖D6),圖D6因?yàn)橹本€y=2和函數(shù)g(x)圖象的交點(diǎn)為A(-1,2),B(3,2),所以不等式g(x)≥2的解集為(-∞,-1〗∪〖3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,又a>0,b>0,所以2·a+1≤a+32,2·b故2·a+1+2·b所以a+1+b+1≤22成立(當(dāng)且僅當(dāng)a故命題得證.〖方法總結(jié)〗含絕對(duì)值的不等式的解法有兩種:一是零點(diǎn)分段法,即運(yùn)用分類討論思想求解;二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解,即運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解.12.(1)因?yàn)閍2+b2=1,所以1a2+1b2=(1a2+1b即1a2+1b2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b又對(duì)任意的正數(shù)a,b,不等式|2x-1|≤1a2+1b2恒成立,所以|2x-1|≤4,即-4≤2x-1≤4,解得故實(shí)數(shù)x的取值范圍是〖-32,5(2)(基本不等式)因?yàn)閍>0,b>0,且a2+b2=1,所以(1a+1b)(a5=a4+b4+b=(a2+b2≥(a2+b2)2=(a2+b2)2+2a2=(=1.選修4-5不等式選講1.〖2021晉南高中聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在圖1坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫(xiě)出f(x)的值域;(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范圍.圖12.〖2021長(zhǎng)春市高三質(zhì)監(jiān)〗已知a>0,b>0,a+b=4.(1)求證:a2+b(2)求證:1a+2+2b3.〖2021蓉城名校聯(lián)考〗已知m>n>0,函數(shù)f(x)=|x+1n((1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;(2)求證:f(x)≥4-|x-m2|.4.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)〗已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)當(dāng)a=-4時(shí),求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.〖2020河南安陽(yáng)高三第一次調(diào)研考試〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1時(shí),f(x)≤3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范圍,并寫(xiě)出相應(yīng)的最小值.6.〖2019四省八校聯(lián)考〗已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)>4;(2)若?x1∈R,?x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.〖2021貴陽(yáng)市四校第二次聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.(2)當(dāng)m≥-1時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+|x-m|的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.〖2021安徽省示范高中聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;(2)若關(guān)于x的方程f(x)-k2+3k=0有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.9.〖2021陜西百校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)≥12(x(2)若函數(shù)f(x)的最大值為n,且2a+b=n(a>0,b>0),求2a+10.〖2020惠州市一調(diào)〗已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1時(shí),不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范圍.11.〖2020四川五校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求證:a+1+b12.〖2020安徽安慶二?！揭阎猘>0,b>0,且a2+b2=1.(1)若對(duì)任意的正數(shù)a,b,不等式|2x-1|≤1a2+(2)證明:(1a+1b)(a5+答案選修4-5不等式選講1.(1)由題設(shè)知,f(x)=-4,x圖D4由圖可得f(x)的值域?yàn)椤?4,4〗.(2)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x+a|的大致圖象,當(dāng)y=|x+a|的圖象過(guò)點(diǎn)(1,4)時(shí),a=3或-5,由圖D5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,則a≥3.圖D52.(1)因?yàn)閍>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥a2+b2+2ab2,所以a2+b2≥22(2)因?yàn)閍+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)×a+2+b6=163.(1)依題意,得f(x)=|x+12則f(x)>2?|x+12|>2?x+12>2或x+解得x>32或x<-52,故不等式f(x)>2的解集為{x|x>32或x(2)依題意,f(x)≥4-|x-m2|?|x+1n(m-n)因?yàn)閨x+1n(m-n)|+|x-m2|≥|x+1n(m-nm=n+(m-n)≥2n(m-n)故m2+1n(m-n)≥m2+4m2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)m4.(1)當(dāng)a=-4時(shí),f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,即x≤2,4-x+2-解得x≤0或x∈?或x≥6,所以原不等式的解集為(-∞,0〗∪〖6,+∞).(2)f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗等價(jià)于f(x)≤|x-3|在〖0,1〗上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在〖0,1〗上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在〖0,1〗上恒成立,所以-1≤a≤0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為〖-1,0〗.〖?xì)w納總結(jié)〗解含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用的方法是零點(diǎn)分段法.解答本題第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題,然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題.5.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x+2|=-2當(dāng)x≤-2時(shí),f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;當(dāng)-2<x<-1時(shí),f(x)≤3即1≤3,恒成立;當(dāng)x≥-1時(shí),f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.綜上可得f(x)≤3的解集為〖-3,0〗.(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(當(dāng)-(a+1)>0,即a<-1時(shí),f(x)無(wú)最小值;當(dāng)-(a+1)=0,即a=-1時(shí),f(x)有最小值-1;當(dāng)-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1時(shí),f(x)min=f(-1)=a;當(dāng)-(a+1)<0且a-1>0,即a>1時(shí),f(x)min=f(-2)=1.綜上,若f(x)有最小值,則a的取值范圍為〖-1,+∞),且當(dāng)-1≤a≤1時(shí),f(x)min=f(-1)=a,當(dāng)a>1時(shí),f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.當(dāng)x<-2時(shí),-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;當(dāng)-2≤x≤12時(shí),-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<-當(dāng)x>12時(shí),2x-1-(x+2)>4,解得x>7綜上,不等式f(x)>4的解集為{x|x<-53或x(2)因?yàn)?x1∈R,?x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因?yàn)閒(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以可得f(x)的值域?yàn)椤?52易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域?yàn)椤?|2a+1|,|2a+1|〗,所以-|2a+1|≥-52,即|2a+1|≤52,則-52≤2a+1≤52,-74≤a≤347.(1)由題意知,原不等式等價(jià)于x≤-1,-2x-2-5≥1-解得x≤-8或?或x≥2,綜上,不等式f(x)≥|x-1|的解集為(-∞,-8〗∪〖2,+∞).(2)當(dāng)m=-1時(shí),g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此時(shí)g(x)的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,滿足題意;當(dāng)m>-1時(shí),g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3則函數(shù)g(x)在(-∞,-1〗上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,要使函數(shù)g(x)的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,則g解得32≤m<4綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍為〖32,4)∪{-1}8.(1)原不等式等價(jià)于x>12,解得12<x≤74或-32≤x≤12或-所以不等式的解集為{x|-114≤x≤7(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有實(shí)數(shù)解,即函數(shù)y=f(x)與y=k2-3k的圖象有交點(diǎn),只需k2-3k≥4,解得k≤-1或k≥4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤-1或k≥4}.9.(1)由已知得f(x)=x∴當(dāng)x<1時(shí),x-2≥12(x當(dāng)1≤x≤32時(shí),3x-4≥12(x-1)?75≤x當(dāng)x>32時(shí),-x+2≥12(x-1)?32<x綜上所述,不等式的解集為〖75,53(2)由(1)可知f(x)max=f(32)=n=12,∵2a+b=n=12(a∴2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba故2a+10.(1)解法一當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.當(dāng)x<-1時(shí),-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;當(dāng)-1≤x<0時(shí),x+1-x≥3,無(wú)解;當(dāng)x≥0時(shí),x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.綜上,不等式f(x)≥3的解集為(-∞,-2〗∪〖1,+∞).解法二當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x|=-2當(dāng)x<-1時(shí),-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;當(dāng)-1≤x<0時(shí),1≥3顯然不成立;當(dāng)x≥0時(shí),2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.綜上,不等式f(x)≥3的解集為(-∞,-2〗∪〖1,+∞).(2)解法一當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,則g(x)的圖象為過(guò)定點(diǎn)(1,1)且斜率為a的直線.數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)a≥0時(shí),|ax-a+1|≥1在〖1,+∞)上恒成立.所以,所求a