山西省2025屆高三數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性試題理二模含解析

PAGE19-山西省2025屆高三數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性試題理（二模）（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x∈Z||x|﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，則A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意zi＝2+i，則|z|＝（）A． B． C．2 D．43．已知a＝，b＝，c＝，則（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為100，數(shù)據(jù)0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差為（）A．0.1 B．1 C．10 D．1005．橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若＝2，?＝0，則C的方程為（）A． B． C． D．6．如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，則下列命題不正確的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．平面PAB⊥平面ABC C．平面PAC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面ABC7．在△ABC中，已知?＝3，△ABC的面積為2，則邊BC的長有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最大值2 D．最小值28．三國時(shí)期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明白勾股定理（西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”）．如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角α為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方形面積S2之比為1：25，則cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣9．已知F為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓與C的漸近線相切于點(diǎn)P（，t），則C的離心率為（）A． B． C．2 D．310．（1+）5（1+）5的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．1 B．32 C．192 D．25211．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2sinC＝，則△ABC外接圓面積的最小值為（）A． B． C． D．π12．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）時(shí)，若f（x）≥1恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．14．若曲線y＝ln（3x﹣8）與曲線y＝x2﹣3x在公共點(diǎn)處有相同的切線，則該切線的方程為．15．在銳角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB＝3，AC＝，且BCsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，則AD＝．16．欲將一底面半徑為cm，體積為3πcm3的圓錐體模型打磨成一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體相切的模具，如圖所示，則打磨成的圓柱體和球體的體積之和的最大值為cm3．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿意a1+a2+a3＝9，且a2是a1與a3+4的等比中項(xiàng)．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝an?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．18．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PB＝PD＝AB＝2，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD＝60°．（1）證明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的大小．19．為了適應(yīng)教化改革新形勢，某試驗(yàn)中學(xué)新建試驗(yàn)樓、置辦試驗(yàn)儀器、開設(shè)學(xué)生愛好課堂，將分子生物學(xué)學(xué)問和技術(shù)引入其中，激發(fā)了廣高校生的學(xué)習(xí)和科研熱忱．現(xiàn)已知該生物科研愛好小組共有9名學(xué)生．在一次制作熒光標(biāo)記小鼠模型時(shí)，將9名學(xué)生分成3組，每組3人．（1）若將試驗(yàn)進(jìn)程分為三個(gè)階段，各個(gè)階段由一個(gè)成員獨(dú)立完成．現(xiàn)已知每個(gè)階段用時(shí)1小時(shí)，每個(gè)階段各成員勝利率為．若隨意過程失敗，則該試驗(yàn)須重新起先．求一個(gè)組在不超過4個(gè)小時(shí)完成試驗(yàn)任務(wù)的概率；（2）現(xiàn)某小組3人代表學(xué)校組隊(duì)外出參與生物試驗(yàn)競賽，其中一項(xiàng)賽程為小鼠灌注試驗(yàn)．該賽程規(guī)則為：三人同時(shí)進(jìn)行灌注試驗(yàn)，但每人只有一次機(jī)會(huì)，每個(gè)隊(duì)員勝利的概率均為．若單個(gè)隊(duì)員試驗(yàn)勝利計(jì)2分，失敗計(jì)1分．①設(shè)小組總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②主辦方預(yù)料通過該賽程了解全國生物愛好課程的開設(shè)狀況．現(xiàn)從全部參賽隊(duì)員中抽取n人成果計(jì)入總得分，若總得分大于n的概率為Kn，求數(shù)列{Kn}的前15項(xiàng)和．20．已知P為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，定點(diǎn)Q（3，1）在C的內(nèi)部，若|PQ|+|PF|的最小值為4．（1）求C的方程；（2）不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，且圓心在直線y＝﹣1上．證明：直線l與C在點(diǎn)A處的切線垂直．21．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，a∈R．（1）探討f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f′（x）的最小值為﹣e（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求a的值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線C1：（t為參數(shù)），曲線C2：ρ＝ρcos2θ+cosθ．（1）求C1的一般方程與C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C1，C2的公共點(diǎn)為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．[選修4-5：不等式選講]23．（1）證明：≥；（2）若a＞0，b＞0，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A＝{x∈Z||x|﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，則A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：B．2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意zi＝2+i，則|z|＝（）A． B． C．2 D．4解：因?yàn)閦i＝2+i，所以z＝＝，則|z|＝＝．故選：B．3．已知a＝，b＝，c＝，則（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a解：∵20＞a＝＞2﹣1＝，∴＜a＜1，b＝＝log34＞log33＝1，c＝＜3﹣1＝，∴b＞a＞c．故選：C．4．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為100，數(shù)據(jù)0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差為（）A．0.1 B．1 C．10 D．100解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為100，∴數(shù)據(jù)0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差為：0.12×100＝1．故選：B．5．橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若＝2，?＝0，則C的方程為（）A． B． C． D．解：由?＝0，知AF2⊥F1F2，∴A（1，），又∵＝2，∴B（﹣2，），∴且a2﹣b2＝1，解得a2＝5，b2＝4，故選：D．6．如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，則下列命題不正確的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．平面PAB⊥平面ABC C．平面PAC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面ABC解：由PA＝1，AC＝，PC＝，即PA2+AC2＝PC2，可得PA⊥AC，又PA⊥BC，AC∩BC＝C，所以PA⊥平面ABC，PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故B正確；PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故D正確；由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AB，而PA＝1，PB＝，所以AB＝1，又BC＝1，AC＝，所以AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，則BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，故A正確；若平面PAC⊥平面PBC，過A作AH⊥PC，垂足為H，可得AH⊥平面PBC，則AH⊥BC，又BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，則BC⊥AC，與BC⊥AB沖突，故C錯(cuò)誤．故選：C．7．在△ABC中，已知?＝3，△ABC的面積為2，則邊BC的長有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最大值2 D．最小值2解：?＝bccosA＝3①，∵S△ABC＝bcsinA＝2，∴bcsinA＝4②，由①②得＝，且sinA＞0，cosA＞0，又∵sin2A+cos2A＝1，∴sinA＝，cosA＝，∴bc＝5，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣6≥2bc﹣6＝10﹣6＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)取等號(hào)，∴a2的最小值為4，即BC的最小值為2，無最大值．故選：D．8．三國時(shí)期，吳國數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明白勾股定理（西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”）．如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角α為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方形面積S2之比為1：25，則cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣解：設(shè)大正方形的邊長為a，則正方形的面積，直角三角形的面積為：，由題意可得：，且：，∴，從而：．故選：D．9．已知F為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓與C的漸近線相切于點(diǎn)P（，t），則C的離心率為（）A． B． C．2 D．3解：由題意，F(xiàn)（c，0），不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝，則F到y(tǒng)＝的距離為＝1，直線FP所在直線方程為y＝，聯(lián)立，解得x＝，∴，得c＝，則a＝．∴e＝．故選：A．10．（1+）5（1+）5的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．1 B．32 C．192 D．252解：（1+）5（1+）5＝，它表示5個(gè)因式（2++）的乘積，故當(dāng)其中有一個(gè)因式取，一個(gè)因數(shù)取，其余的3個(gè)因式都取2；或其中有2個(gè)因式取，2個(gè)因式取，剩下的一個(gè)因式取2，或全部的因式都取2，即可得到綻開式中的常數(shù)項(xiàng)．故綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為??23+??2+25＝160+60+32＝252，故選：D．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2sinC＝，則△ABC外接圓面積的最小值為（）A． B． C． D．π解：因?yàn)?sinC＝＝＝a+b+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a+b＝1時(shí)取等號(hào)，所以sinC≥1，又sinC≤1，故sinC＝1，又＝，所以c2＝，所以△ABC外接圓面積即最小值．故選：A．12．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）時(shí)，若f（x）≥1恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）解：函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞），f（1）＝1．f′（x）＝ex﹣1﹣﹣a＝g（x），x∈[1，+∞），可得函數(shù)g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（1）＝﹣a，令f′（1）＝﹣a≥0，解得a≤0．∴函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（1）＝1，滿意題意．令f′（1）＝﹣a＜0，解得a＞0．存在x0＞1，使得f′（x0）＝0，∴函數(shù)f（x）在x∈[1，x0）上單調(diào)遞減，∴f（x0）＜f（1）＝1，不滿意題意，舍去．綜上可得函數(shù)f（x）的取值范圍為（﹣∞，0]．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣1，2）．解：約束條件作出可行域如圖，直線kx﹣y+2＝0過定點(diǎn)（0，2），而不等式kx﹣y+2≥0表示的平面區(qū)域與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同側(cè)，則要使不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．14．若曲線y＝ln（3x﹣8）與曲線y＝x2﹣3x在公共點(diǎn)處有相同的切線，則該切線的方程為y＝3x﹣9．解：曲線y＝ln（3x﹣8）與曲線y＝x2﹣3x的公共點(diǎn)為P（m，n），兩曲線在公共點(diǎn)處相同的切線的斜率為k，因?yàn)閥′＝[ln（3x﹣8）]′＝，（x2﹣3x）′＝2x﹣3，則k＝＝2m﹣3，解得m＝3或m＝，又3m﹣8＞0，故m＝3，代入n＝m2﹣3m得n＝0，所以k＝2×3﹣3＝3，于是該切線的方程為y﹣0＝3（x﹣3），整理得，y＝3x﹣9，故答案為：y＝3x﹣9．15．在銳角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB＝3，AC＝，且BCsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，則AD＝．解：因?yàn)锽CsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，即asinBcosC+csinBcosA＝b，由正弦定理得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA＝sinB，因?yàn)閟inB＞0，所以sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝，所以sinB＝，由題意得B為銳角，B＝60°，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣ac，即7＝a2+9﹣3a，解得a＝1或a＝2，因?yàn)殇J角三角形中，a2+b2＞c2，a＝1時(shí)明顯不滿意題意，故a＝2，BD＝1，所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BDcosB＝9+1﹣2×＝7，所以AD＝．故答案為：．16．欲將一底面半徑為cm，體積為3πcm3的圓錐體模型打磨成一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體相切的模具，如圖所示，則打磨成的圓柱體和球體的體積之和的最大值為cm3．解：如下軸截面圖所示：設(shè)球的半徑為r，圓錐的高為h，由圓錐的底面半徑為3cm，所以，解得h＝3cm．則△ABC，△AFG為等邊三角形，故可得FH＝，，，∵B＝，∴，∴圓錐體與球體體積之和為：V＝＝，則V′＝﹣23πr2+18πr，令V′＝0，解得r＝cm∴0＜r＜時(shí)，V′＞0，r＞時(shí)，V′＜0，∴r＝cm時(shí)，cm3，故答案為：．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿意a1+a2+a3＝9，且a2是a1與a3+4的等比中項(xiàng)．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝an?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)公差為d（d＞0）的等差數(shù)列{an}，由a1+a2+a3＝9，可得3a1+3d＝9，即a1+d＝3，①由a2是a1與a3+4的等比中項(xiàng)，可得a22＝a1（a3+4），即為（a1+d）2＝a1（a1+2d+4），②聯(lián)立①②，可得a1＝1，d＝2，則an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）bn＝an?＝（2n﹣1）?4n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝1?4+3?42+5?43+...+（2n﹣1）?4n，4Sn＝1?42+3?43+5?44+...+（2n﹣1）?4n+1，兩式相減可得﹣3Sn＝4+2（42+43+...+4n）﹣（2n﹣1）?4n+1＝4+2?﹣（2n﹣1）?4n+1，化簡可得Sn＝?4n+1+．18．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PB＝PD＝AB＝2，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD＝60°．（1）證明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的大?。窘獯稹浚?）證明：設(shè)AC交BD于O，連接PO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC，O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)镻B＝PD，所以BD⊥OP，又因?yàn)锳C∩OP＝O，AC、OP?平面PAC，所以BD⊥平面PAC．（2）解：取AC中點(diǎn)M，連接MB、MD，因?yàn)镻B＝AB＝BC，所以PC⊥MB，同理PC⊥MD，于是∠BMD為二面角B﹣PC﹣D的平面角，因?yàn)镺P＝OA＝OC，所以AP⊥PC，PC＝，PM＝，MD＝MB＝，由余弦定理得，所以∠BMD＝90°，故二面角B﹣PC﹣D的大小為90°．19．為了適應(yīng)教化改革新形勢，某試驗(yàn)中學(xué)新建試驗(yàn)樓、置辦試驗(yàn)儀器、開設(shè)學(xué)生愛好課堂，將分子生物學(xué)學(xué)問和技術(shù)引入其中，激發(fā)了廣高校生的學(xué)習(xí)和科研熱忱．現(xiàn)已知該生物科研愛好小組共有9名學(xué)生．在一次制作熒光標(biāo)記小鼠模型時(shí)，將9名學(xué)生分成3組，每組3人．（1）若將試驗(yàn)進(jìn)程分為三個(gè)階段，各個(gè)階段由一個(gè)成員獨(dú)立完成．現(xiàn)已知每個(gè)階段用時(shí)1小時(shí)，每個(gè)階段各成員勝利率為．若隨意過程失敗，則該試驗(yàn)須重新起先．求一個(gè)組在不超過4個(gè)小時(shí)完成試驗(yàn)任務(wù)的概率；（2）現(xiàn)某小組3人代表學(xué)校組隊(duì)外出參與生物試驗(yàn)競賽，其中一項(xiàng)賽程為小鼠灌注試驗(yàn)．該賽程規(guī)則為：三人同時(shí)進(jìn)行灌注試驗(yàn)，但每人只有一次機(jī)會(huì)，每個(gè)隊(duì)員勝利的概率均為．若單個(gè)隊(duì)員試驗(yàn)勝利計(jì)2分，失敗計(jì)1分．①設(shè)小組總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②主辦方預(yù)料通過該賽程了解全國生物愛好課程的開設(shè)狀況．現(xiàn)從全部參賽隊(duì)員中抽取n人成果計(jì)入總得分，若總得分大于n的概率為Kn，求數(shù)列{Kn}的前15項(xiàng)和．解：（1）一個(gè)組失誤0次的概率為，僅第一步失誤一次的概率為，則一個(gè)組在不超過4小時(shí)完成任務(wù)的概率為P＝P0+P1＝；（2）①X的可能取值為3，4，5，6，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝，所以X的分布列為：X3456PE（X）＝．②總分大小n的概率為，所以{Kn}的前15項(xiàng)和為．20．已知P為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，定點(diǎn)Q（3，1）在C的內(nèi)部，若|PQ|+|PF|的最小值為4．（1）求C的方程；（2）不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，且圓心在直線y＝﹣1上．證明：直線l與C在點(diǎn)A處的切線垂直．解：（1）過P作C的準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足為N，連接NQ，由拋物線的定義，可得|PN|＝|PF|，則|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PN|≥|NQ|，當(dāng)N，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|NQ|取得最小值，所以3+＝4，解得p＝2，則拋物線的方程為y2＝4x；（2）證明：設(shè)直線l的方程為x＝my+n（n≠0），且直線l與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2﹣4my﹣4n＝0，則△＝16m2+16n＞0，即m2+n＞0，又y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，可得x1+x2＝m（y1+y2）+2n＝4m2+2n，x1x2＝＝n2，所以圓心坐標(biāo)為（2m2+n，2m），因?yàn)閳A心在直線y＝﹣1上，所以2m＝﹣1，即m＝﹣．又因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），所以?＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＝n2﹣（4m2+2n）+1﹣4n＝0，化簡可得n2﹣6n＝0，可得n＝6（0舍去），所以直線l的方程為x＝﹣y+6，即2x+y﹣12＝0，且直線l的斜率為k1＝﹣2，由解得A（4，4），因?yàn)楫?dāng)y＞0時(shí)，拋物線y2＝4x在x軸上方曲線方程為y＝2，所以y′＝，則拋物線y2＝4x在A處的切線的斜率為k＝＝，因?yàn)橹本€l與切線的斜率的乘積為﹣2×＝﹣1，所以直線l與拋物線在A處的切線垂直．21．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，a∈R．（1）探討f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f′（x）的最小值為﹣e（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求a的值．解：（1）f′（x）＝xex﹣2ax＝x（ex﹣2a），（i）當(dāng)a≤0時(shí)，ex﹣2a＞0，f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，（ii）當(dāng)0＜a＜時(shí)，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＜0，f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln（2a））上單調(diào)遞增，在（ln（2a），0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，（iii）當(dāng)a＝時(shí)，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＝0，f（x）在R上單調(diào)遞增，（iV）當(dāng)a＞時(shí)，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＞0，f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，ln（2a））上單調(diào)遞減，在（ln（2a），+∞）上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)0＜a＜時(shí)，f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln（2a））上單調(diào)遞增，在（ln（2a），0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＝時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞時(shí)，f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，ln（2a））上單調(diào)遞減，在（ln（2a），+∞）上