數(shù)學(xué)（人教版選修22）練習(xí)活頁(yè)作業(yè)（八）

活頁(yè)作業(yè)(八)生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例1．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，A.eq\f(20,3)cm B．10cmC．15cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)．V′＝eq\f(π,3)(400－3x2)，令V′＝0得x＝eq\f(20\r(3),3)，又當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0；eq\f(20\r(3),3)<x<20時(shí)，V′<0，∴當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．答案：D2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1.答案：C3．一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積為S，為使窗戶周長(zhǎng)最小，用料最省，圓的半徑應(yīng)為()A.eq\r(\f(3S,π＋4)) B.eq\r(\f(S,π＋4))C.eq\r(\f(2S,π＋4)) D．2eq\r(\f(S,π＋4))解析：設(shè)圓的半徑為x，矩形的高記作h，那么窗戶面積S＝eq\f(π,2)x2＋2hx.窗戶周長(zhǎng)為l(x)＝πx＋2x＋2h＝eq\f(π,2)x＋2x＋eq\f(S,x).令l′(x)＝eq\f(π,2)＋2－eq\f(S,x2)＝0，解得x＝eq\r(\f(2S,π＋4))(舍去負(fù)值)．∵l(x)只有一個(gè)極值，且為極小值，∴x＝eq\r(\f(2S,π＋4))為最小值點(diǎn)．答案：C4．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_____萬(wàn)元．解析：設(shè)甲地銷(xiāo)售x輛，則乙地銷(xiāo)售(15－x)輛．總利潤(rùn)L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(15≥x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴當(dāng)x＝10時(shí)，L有最大值45.6.答案：45.6萬(wàn)元5．某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150件的訂購(gòu)合同，每件售價(jià)為200元，對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同，每超過(guò)一件則每件售價(jià)比原來(lái)減少1元，當(dāng)公司的收益最大時(shí)訂購(gòu)件數(shù)為_(kāi)_____．解析：設(shè)銷(xiāo)售額為y，銷(xiāo)售件數(shù)為x，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200xx≤150，x∈N，,x·[200－x－150]x>150，x∈N.))當(dāng)x≤150且x∈N時(shí)，y的最大值為200×150＝30000.令g(x)＝x·[200－(x－150)]＝350x－x2，g′(x)＝350－2x.解g′(x)＝0，得x＝175.易知，當(dāng)x＝175時(shí)，g(x)有最大值30625.∵30625＞30000，∴當(dāng)x＝175時(shí)，y取得最大值30625.答案：1756．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距am．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為xm的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)a＝640m時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y解：(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝a.則n＝eq\f(a,x)－1.∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－1))＋eq\f(a,x)(2＋eq\r(x))·x＝eq\f(256,x)a＋aeq\r(x)＋2a－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256a,x2)＋eq\f(1,2)ax－eq\f(1,2)＝eq\f(a,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)．∴f(x)在x＝64處取得最小值．此時(shí)n＝eq\f(a,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。?．正三棱柱體積是V，當(dāng)其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)a為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：設(shè)正三棱柱的高為h，則V＝eq\f(1,2)a2sin60°·h＝eq\f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq\f(4V,\r(3)a2).所以正三棱柱的表面積S＝2·eq\f(\r(3),4)a2＋3ah＝eq\f(\r(3),2)a2＋3a·eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，∴S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2).令S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).答案：C8．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400))，則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)量是()A．100 B．150C．200 D．300解析：設(shè)Q(x)表示產(chǎn)量為x時(shí)的總利潤(rùn)則Q(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400,60000－100x，x>400))當(dāng)0≤x≤400時(shí)，Q′(x)＝300－x，令Q′(x)＝0，則x＝300，當(dāng)0≤x<300時(shí)，Q′(x)>0，當(dāng)300<x≤400時(shí)，Q′(x)<0，∴當(dāng)x＝300時(shí)，Q(x)max＝Q(300)＝25000.當(dāng)x>400時(shí)，Q′(x)＝－100<0，∴Q(x)單調(diào)遞減Q(x)<Q(400)．綜上Q(x)max＝Q(300)．故選D.答案：D9．海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30nmile/h，當(dāng)速度為10nmile/h時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)都是每小時(shí)400元．如果甲、乙兩地相距800海里，那么要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為_(kāi)_________nmile/h.解析：設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)z與航速x滿足關(guān)系式z＝ax3(0≤x≤30)．∵25＝a·103，∴a＝eq\f(1,40).設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v，費(fèi)用為y，則y＝av3×eq\f(800,v)＋eq\f(800,v)×400＝20v2＋eq\f(320000,v).由y′＝40v－eq\f(320000,v2)＝0，得v＝20<30.答案：2010．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬(wàn)元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元，則產(chǎn)量定為_(kāi)_____件時(shí)，總利潤(rùn)最大．解析：設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為p萬(wàn)元，根據(jù)已知，可設(shè)p2＝eq\f(k,x)，其中k為比例系數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x＝100時(shí)，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝eq\f(250000,x)，p＝eq\f(500,\r(x))，x>0.設(shè)總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y＝eq\f(500,\r(x))·x－1200－eq\f(2,75)x3＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200.求導(dǎo)數(shù)得，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.令y′＝0得x＝25.故當(dāng)x<25時(shí)，y′>0；當(dāng)x>25時(shí)，y′<0.因此，當(dāng)x＝25時(shí)，函數(shù)y取得極大值，也是最大值．答案：2511．某商場(chǎng)預(yù)計(jì)2015年1月份起前x個(gè)月，顧客對(duì)某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，x≤12)．該商品第x月的進(jìn)貨單價(jià)q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是：q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＋2x，x∈N*，且1≤x≤6，,185－\f(160,x)，x∈N*，且7≤x≤12.))(1)寫(xiě)出2015年第x月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問(wèn)商場(chǎng)2015年哪個(gè)月銷(xiāo)售該商品的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時(shí)，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x·(41－2x)＝－3x2＋40x，驗(yàn)證x＝1時(shí)也符合，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)該商場(chǎng)預(yù)計(jì)第x月銷(xiāo)售該商品的月利潤(rùn)為g(x)，則g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋40x35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,－3x2＋40x·\f(160,x)，x∈N*，且7≤x≤12，))即g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x3－185x2＋1400x，x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6400，x∈N*，且7≤x≤12.))當(dāng)1≤x≤6，且x∈N*時(shí)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5，或x＝eq\f(140,9)(舍去)．當(dāng)1≤x<5時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)5<x≤6時(shí)，g(x)′<0，此時(shí)g(x)max＝g(5)＝3125；當(dāng)7≤x≤12，且x∈N*時(shí)，g(x)＝－480x＋6400是減函數(shù)，當(dāng)x＝7時(shí)，g(x)max＝g(7)＝3040，綜上，商場(chǎng)2015年5月份的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3125元．12．(2017·高考浙江卷)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(3,2))).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)設(shè)直線AP的斜率為k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，因?yàn)椋璭q\f(1,2)＜x＜eq\f(3,2)，所以直線AP斜率的取值范圍是(－1,1)．(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).因?yàn)閨PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋