大學(xué)物理學(xué)(下)

習(xí)題八

8-1電量都是夕的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).試問：(1)

在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡

(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零)？(2)這種平衡與三角形

的邊長有無關(guān)系？

解：如題8T圖示

(1)以/處點(diǎn)電荷為研究對象，由力平衡知：/為負(fù)電荷

2^-^-00830°=———

(2)與三角形邊長無關(guān).

題8T圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是相，都用長為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電

量，靜止時(shí)兩線夾角為26，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可

以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量.

解：如題8-2圖示

Tcos。=mg

1

Fe=/

Tsin。

'4兀4(2/sin0\

解得q=21sin47rAmgtan8

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E=—^亍，當(dāng)被考察的場點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近（r

一0）時(shí)，則場強(qiáng)一8,這是沒有物理意義的，對此應(yīng)如何理解？

解：后=—^德僅對點(diǎn)電荷成立，當(dāng)尸f0時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電

4n￡0r

荷，再用上式求場強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶

電體上的分布求出的場強(qiáng)不會(huì)是無限大.

8-4在真空中有N,8兩平行板，相對距離為d,板面積為S,其帶電量分

2

別為+4和.則這兩板之間有相互作用力/,有人說/=q,，又有人

4?！辍２?/p>

2

說，因?yàn)閒=qE,E=4~,所以/=幺一.試問這兩種說法對嗎?為什么?

￡（）S￡（）S

/到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說法均不對.第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對

的，第二種說法把合場強(qiáng)￡=/二看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場強(qiáng)

￡（）S

也是不對的.正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場為E=—1—,另一板受它的作用

2eQS

2

力f=q4一=上一,這是兩板間相互作用的電場力.

24s2s0S

8-5一電偶極子的電矩為?=勿\場點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為尸，矢量尸

與7的夾角為氏（見題8-5圖），且尸》/.試證糜的場強(qiáng)E在〃方向上的分

量Er和垂直于r的分量Eo分別為

E_pcosOpsm.0

E廣

’2f34乃￡(/'

證：如題8-5所示，將萬分解為與尸平行的分量psind和垂直于尸的分量

psmO.

'：r?I

二場點(diǎn)尸在r方向場強(qiáng)分量

_pcosO

）

''2n￡0r

垂直于r方向，即。方向場強(qiáng)分量

題8-5圖題8-6圖

8-6長/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度4=5.0x1。-七.小的

正電荷.試求：（1）在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距《=5.0cm處P點(diǎn)的場強(qiáng);

（2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距出=5.0cm處0點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元小，其上電量dq在尸點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為

dEp=———

4兀4(a-x)

?dr

EP=J"=V；4(-X)2

^-[―1------—]

4必。a，a+L

22

兀%(4Q2-/2)

用/=15cm,丸=5.0x10"C?m”,a=12.5cm代入得

=6.74x102N-C-1方向水平向右

⑵同理dE0=」一一少二方向如題8-6圖所示

4兀4x+d：

由于對稱性\AEQx=0,即后。只有y分量,

山1成d2

dx

d22

EQy%2

4兀冬5(/+也必

2/

271￡02+4d；

以4=5.0x10-9c.cmT,/=15cm,d2=5cm代入得

2-1方向沿.軸正向

EQ=E&=14.96X10N-C,

8-7一個(gè)半徑為火的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為/I,求環(huán)心處O點(diǎn)的場

強(qiáng).

dq=/ld/=H/ld9,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為

也=_9”向沿半徑向外

4兀4火2

14

貝ij(\EX=dfsin0=--------sin(pA(p

4兀4火

-2

d￡v=d￡cos(乃一°)=------cos喝0

4n8QR

4MoR2%R

、攵—A

Ev----------cos0d0=0

)4兀

2

E=Ex=——-—,方向沿x軸正向.

2n￡0R

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為/,總電量為17.(1)求這正方形軸

線上離中心為r處的場強(qiáng)E；(2)證明：在尸>>/處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷夕產(chǎn)生

的場強(qiáng)￡.

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷殳在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)曲「方向如圖，大

cos%=-cos。］

題8-8圖

由于對稱性，尸點(diǎn)場強(qiáng)沿。尸方向，大小為

4協(xié)

Ep=4義d￡±

???殷"

4/

EP=------------"2方向沿而

4兀4(/+：)，/+g

8-9(1)點(diǎn)電荷鄉(xiāng)位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場中穿

過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)

頂點(diǎn)上,這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*⑶如題8-9(3)圖所示，在

點(diǎn)電荷夕的電場中取半徑為R的圓平面.q在該平面軸線上的/點(diǎn)處，求：

通過圓平面的電通量.(a=arctanK)

X

-4百.dS=-^―

解：(1)由高斯定理JsP

b0

立方體六個(gè)面，當(dāng)4在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

①q

各面電通量6co

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長2。的立方體，使q處于邊長2。的

立方體中心，則邊長2。的正方形上電通量①q

6^0

對于邊長。的正方形，如果它不包含g所在的頂點(diǎn)，則①e二七

如果它包含,所在頂點(diǎn)則中。=0

如題8-9(a)圖所示.

題8-9(b)圖題8-9(c)圖

⑶?.?通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為ylR2+x2的球冠面

的電通量，球冠面枳*

2%

S=2兀(火2+%)[1一-.]

①=%---1-----=_JL[i___]

4K(7?2+x2)24J-2+/

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

27irsina?rda

=2兀/2[sinackz

=2兀12(1—cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2X10一5c?

求距球心5cm,8cm,12cm各點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理((后-dS=立，E4itr2=Si

￡?！?。

當(dāng)尸=5cm時(shí)，>夕=0,后=0

?、47r

r=8cm時(shí),￡q=P~Y⑴_喟)

娉(f)

???￡=」——--“3.48xIO’N.C，方向沿半徑向外.

4兀"

.47r

,?=12cm時(shí)，Z4=P~(成一臉

夕?(.一埼)

E=—------?4.10xl04N-C-'沿半徑向外.

4冗4尸z

8-11半徑為居和氏2(尺2>與)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別

帶有電量4和-4,試求：⑴r<與；(2)7?1<r</?2；(3)處各點(diǎn)

的場強(qiáng).

解：高斯定理，后

取同軸圓柱形高斯面,側(cè)面積S=2TlM

則-d5=Elnrl

對⑴r<&￡q=O,E=O

⑵7?!<r<R2>q=I九

：.E=」一沿徑向向外

2兀

(3)r>7?2'q=0

E=0

?8-12圖

8-12兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為6和a2,

試求空間各處場強(qiáng).

解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為3與a2，

-1

兩面間,F(…歷

-1

6面外,E=--—(cr,+(T)?

2%2

_1_

面夕卜，E=『91+%)〃

2%

n：垂直于兩平面由b1面指為4面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為p,若在球內(nèi)挖去一塊半

徑為A的小球體，如題8-13圖所示.試求：兩球心O與O'點(diǎn)的場強(qiáng)，

并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電P的均勻球與帶電一2的均勻小球的組合，見

題8T3圖(a).

(1)+°球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場員°=0,

43

-p球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場=」——TOO'

204兀33

。點(diǎn)電場20=廣^■);

_刎「一

(2)+/?在O'產(chǎn)生電場go.=三——.00'

4兀4d

一夕球在O'產(chǎn)生電場百20,=0

O'點(diǎn)電場E0.=-^-OO'

⑶設(shè)空腔任一點(diǎn)尸相對。'的位矢為尸，相對。點(diǎn)位矢為干(如題8-13(b)

圖)

則“k

&=&。+房叱=善(尸一尸)=竟°°,=薩

腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的.

8-14-電偶極子由q=l.0X10t的兩個(gè)異號點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離

d=0.2cm,把這電偶極子放在1.0X103N，C'的外電場中，求外電場作用于

電偶極子上的最大力矩.

解：V電偶極子"在外場后中受力矩

M-pxE

"max=PE=q化代入數(shù)字

-6354

Mmm=1.0xl0x2xl0-xl.0xl0=2.0xl0-N-m

8-15兩點(diǎn)電荷%=1.5X10'C,42=3.0X10(,相距八=42cm,要把它們之

間的距離變?yōu)長2=25cm,需作多少功？

解：

丸￡4?！?/4兀/〃丫2

=-6.55x10^J

外力需作的功/'=—/=—6.55x10"j

題8T6圖

8-16如題8-16圖所示，在2,8兩點(diǎn)處放有電量分別為+4,-q的點(diǎn)電荷,

AB間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷外從。點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到。點(diǎn),

求移動(dòng)過程中電場力作的功.

解：如題8T6圖不

1

Uc=二q

4^037?R~6-R

q°q

Aqo(uo—uc

兀

6sQR

8-17如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為2的正電荷，兩直

導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的場強(qiáng)和電勢.

解：(D由于電荷均勻分布與對稱性，和段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)

互相抵消，取d/=Ad。

則=產(chǎn)生。點(diǎn)dE如圖，由于對稱性，。點(diǎn)場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

[sin(--)-sin-]

，

47l￡0T?22

-2

2n%R

(2)Z8電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生電勢，以。8=。

Adx「金=上］地

4兀qx卜4neQx4?！?

2

同理CO產(chǎn)生U=—ln2

2471%

r兀R丸2

半圓環(huán)產(chǎn)生J1=------=---

4兀4%

2

U°=U\+U[+U3In2+----

Zr44%

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2X10'm?s'的勻速率作圓周運(yùn)

動(dòng).求帶電直線上的線電荷密度.（電子質(zhì)量加o=9.1X10"kg,電子電量

e=l.60X1019C）

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為九，在電子軌道處場強(qiáng)

4

E=

2ns0r

電子受力大小Fe=eE=--------

2兀分尸

.”v2

??-------=m——

2兀尸r

得人出貯=i2.5xl0*CmT

e

8-19空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為E=30kV?cnf',超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣

要發(fā)生火花放電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=0.5cm,求此

電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場

二t/=Ed=1.5xlO4V

8-20根據(jù)場強(qiáng)E與電勢U的關(guān)系E=,求下列電場的場強(qiáng)：（1）點(diǎn)電

荷q的電場；（2）總電量為q,半徑為火的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*（3）偶

極子p=q/的r〉＞/處（見題8-20圖）.

解：（1）點(diǎn)電荷。=一幺

4兀

E=-^r0=—^-r07為r方向單位矢量.

dr4ji￡0r

(2)總電量4,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢

.e_dUr-qxT

&4兀%(爐+爐)

(3)偶極子萬=在r>>/處的一點(diǎn)電勢

U_qi11]_qlcosd

4兀%(一《os6)(l+；cos6)4兀￡(/

..dUpcosd

..Er=---=---------

dr2itsor

?1dUpsin。

rdOAHEQP

8-21證明：對于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相

向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，

電荷的面密度總是大小相等而符號相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體4、8的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度

依次為力，a2,a3,cr4

題8-21圖

(1)則取與平面垂直且底面分別在Z、8內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有

但西=(%+CT3)A5=0

??b2+b3=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反；

(2)在N內(nèi)部任取一點(diǎn)尸，則其場強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)

生的場強(qiáng)疊加而成的，即

_2_2_d=o

又cr24-<73=0

,?

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同.

8-22三個(gè)平行金屬板Z,8和C的面積都是200cm2,/和3相距4.0mm,A

與。相距2.0mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使Z板帶正電3.0

X107C,略去邊緣效應(yīng)，問8板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢

為零，則N板的電勢是多少？

解：如題8-22圖示，令/板左側(cè)面電荷面密度為巧，右側(cè)面電荷面密度為

⑴UAC=UAB,即

?,^AC^AC=^AB^AB

?2_E_d__

??ACAB-----------------/

%EABd/0

且

12s

of

得%

3s

2

而%=_%S=_不從=-2xl0-7C

7

qB=—(T2S=—lx10C

3

⑵UA=EACdAC=^-dJC=2.3xl0V

8-23兩個(gè)半徑分別為鳥和尺(與＜氏2)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼

帶電+q,試計(jì)算：

(1)外球殼上的電荷分布及電勢大?。?/p>

(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及

電勢；

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變

量.

解：(D內(nèi)球帶電+q；球殼內(nèi)表面帶電則為一夕，外表面帶電為+q,且均

勻分布，其電勢

題8-23圖

U=「后?#==

丸孔4兀4尸之4兀&R

⑵外殼接地時(shí)，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為

-q.所以球殼電勢由內(nèi)球+q與內(nèi)表面一夕產(chǎn)生：

U=—&--------里—=0

4兀4號4兀

⑶設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為/；則外殼內(nèi)表面帶電量為外殼外表面帶

電量為-q+/（電荷守恒），此時(shí)內(nèi)球殼電勢為零，且

￡-+二4+乙0

4兀￡0&4兀￡0火24?！辏ǎ┗?

得q1=§q

“2

外球殼上電勢

UR=q'_q'+_q+q'=

B,

4JI￡07?24n￡nR24n￡nR24its0Rl

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為

d=3火處有一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為。，則球接地時(shí)電勢。。=0

由電勢疊加原理有：

總+備=。

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號電荷，相距甚遠(yuǎn)，

其間的庫侖力為五（）.試求：

（1）用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫

侖力；

（2）小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫侖力.

解：由題意知F=

o4兀/2

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

，=專

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

“3

q=4q

：.此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

32

4=產(chǎn)=—至乙

2

4?！?尸4ns0r8

⑵小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量均為名.

3

22

W4

二小球1、2間的作用力用一乙

47r-9

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為d,分別

維持電勢U/=U，UB=°不變.現(xiàn)把一塊帶有電量4的導(dǎo)體薄片平行地放在

兩極板正中間，片的面積也是S,片的厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢.

解：依次設(shè)/,C,8從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為與，a?，

%，/，%，?如圖所示.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持=〃

可得以下6個(gè)方程

4

題8-26圖

巧+；C0U=

SSa

q

%+/=s

J

QB￡QU

Sa

%+%=0

/+q=0

cr,=%+%+*+q+cr6

解得q

bk)=廣=--------q-

d2S

%=一%=m+&

45d25

工工

所以C8間電場E23

d2￡°S

提)

注意：因?yàn)?。片帶電，所以若c片不帶電，顯然

8-27在半徑為居的金屬球之外包有一層外半徑為R2的均勻電介質(zhì)球殼,

介質(zhì)相對介電常數(shù)為金屬球帶電0.試求:

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢；

⑶金屬球的電勢.

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理弧祖6

⑴介質(zhì)內(nèi)(與＜r＜此)場強(qiáng)

力=4%4=4"3

4nr'4n￡0￡rr

介質(zhì)外（r＜與）場強(qiáng)

方普，羸=/

4兀廠47c￡0尸

⑵介質(zhì)外&〉&）電勢

8干A--Q

U=E外?dr=-

4兀￡o〃

介質(zhì)內(nèi)（R［〈7v段）電勢

U=「后內(nèi)?（!『+「瓦卜-df

=—十^

4兀rR24兀/%

=q（』+q

4?！?￡,.rR2

⑶金屬球的電勢

=「Qdr?pQdr

“4兀￡o￡」「*24兀

4兀4￡,7?1火2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為

￡,.的電介質(zhì).試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度

的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強(qiáng)為22,真空部分場強(qiáng)為瓦，自

由電荷面密度分別為a2與o']

山寸DdM=￡q0得

=cy??>

而。［￡QE\,E)2EQSrE2

題8-28圖題8-29圖

8-29兩個(gè)同軸的圓柱面，長度均為/,半徑分別為凡和為(火2>/)，且

l?R2-R],兩柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等

量異號電荷。和-。時(shí)，求:

⑴在半徑r處(&<，?<&=,厚度為dr,長為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電

場能量密度和整個(gè)薄殼中的電場能量；

⑵電介質(zhì)中的總電場能量；

(3)圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為r的同軸圓柱面(S)

則-d5=InrlD

當(dāng)(與＜尸＜火2)時(shí)，1q=Q

D=-^—

2兀〃

D202

(1)電場能量密度W--

2￡8兀

薄殼中d%=wdt?=—27rrdrl=°"

8TT2g02,/2,例"/

(2)電介質(zhì)中總電場能量

r,?1*202drQ-.R,

W=\dlV7=———=—

J'加4n￡rlAnsiRI

⑶電容：：W支

2C

.c=Q2=2兀.

一2%-ln(&/RJ

*8-30金屬球殼Z和8的中心相距為r,Z和8原來都不帶電.現(xiàn)在Z的

中心放一點(diǎn)電荷小,在8的中心放一點(diǎn)電荷/，如題8-30圖所示.試求:

(1)/對g2作用的庫侖力，見有無加速度;

⑵去掉金屬殼8，求名作用在紜上的庫侖力，此時(shí)%有無加速度.

解：(D/作用在以的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

產(chǎn)二1

4兀4r2

但仍處于金屬球殼中心，它受令力為零，沒有加速度.

⑵去掉金屬殼8,小作用在42上的庫侖力仍是F=1，但此時(shí)%

4兀r

受合力不為零，有加速度.

A

Ct

B

B

g

C3

題8-30圖題8-31圖

25

8-31如題8-如圖所示,G二0?〃F,C2=0.15//F,G=0?20〃F.G上

電壓為50V.求：UAB.

解：電容G上電量

=C"

電容。2與。3并聯(lián)。23=。2+。3

其上電荷。23=9

.43525x50

..U）=-----=-------=---------

。23。2335

25

%=5+4=50（1+行）=86V

8-32。和。2兩電容器分別標(biāo)明"20。pF、500V”和“300pF、900V",把它

們串聯(lián)起來后等值電容是多少?如果兩端加上1000V的電壓，是否會(huì)擊穿?

解：（1）G與。2串聯(lián)后電容

。

C'&=200x30"0pF

G+G200+300

（2）串聯(lián)后電壓比

2=4=3,而。|+。2=1。00

1

U2G2

U\=600V,t/2=400V

即電容G電壓超過耐壓值會(huì)擊穿，然后。2也擊穿?

8-33將兩個(gè)電容器G和02充電到相等的電壓。以后切斷電源，再將每一

電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián).試求:

(1)每個(gè)電容器的最終電荷：

⑵電場能量的損失.

解：如題8-33圖所示,設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為0,q2

題8-33圖

CU-CU

71+%=00一夕20y2

則4%_G5

q?。2。2

uh

解得⑴q—~'-U=——"-U

x2

c,+c2G+G

⑵電場能量損失

\w=w^-w

8-34半徑為為=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有?同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半

徑分別為火2=4.0cm和&=5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷。=3.0X10%時(shí)，求：

(1)整個(gè)電場儲存的能量；

(2)如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲存的能量；

⑶此電容器的電容值.

解：如圖，內(nèi)球帶電0,外球殼內(nèi)表面帶電-。，外表面帶電0

（1）在/〈居和7?2＜r＜火3區(qū)域

E=0

在凡＜r＜此時(shí)

4?！?0〃

r＞火3時(shí)

47150廠

.,.在鳥＜r＜/?2區(qū)域

=禺，。兀知

'JI/VOQf

屯。2"_O?11

%8兀8兀/&R2

在廠〉火3區(qū)域

億=『，￡（）（—2—尸4仃2”=g-1_

_k24兀/尸8兀4R3

總能量w=w,+w,=-^―(-——-+—)

'28兀4與R2R3

1.82X10-4J

(2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有與＜r＜凡時(shí)2=上二三，憶=0

471^r

n2ii

??.W=W.=-^—(----------)=1.01x10-4J

8兀4R[R2

2W11

⑶電容器電容C=—=4兀￡()/(--------)

2

Q°&R2

=4.49x10*p

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電

荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向？

解：在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因?yàn)榇艌鲎饔糜谶\(yùn)動(dòng)電

荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān),

即磁力方向并不是唯一由磁場決定的，所以不把磁力方向定義為月的方向.

B,

ar_____、b

叫iB,

II

--------jc

題9-2圖

9-2(1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度與

的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化(即磁場是否一定是均

勻的)？

(2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對？

解：(1)不可能變化，即磁場一定是均勻的.如圖作閉合回路abed可證明

A=B2

JB-dT-Bida-B2bc--0

=瓦

(2)若存在電流，上述結(jié)論不對.如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平

行直線，但月方向相反，即友W瓦.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場？

答：不能，因?yàn)橛邢揲L載流直導(dǎo)線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是穩(wěn)恒電

流，安培環(huán)路定理并不適用.

9-4在載流長螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部8=〃?！?,外面8=0,所

以在載流螺線管

外面環(huán)繞周(見題9-4圖)的環(huán)路積分

由月外?“=()

但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為

6瓦卜?d7=〃。/

這是為什么？

解：我們導(dǎo)出8內(nèi)=4〃/,8外=0有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于

螺線管軸線.這時(shí)圖中環(huán)路L上就一定沒有電流通過，即也是

4月外?d，=〃oZ/=o,與《瓦卜7/=40(7=0是不矛盾的.但這是導(dǎo)

線橫截面積為零，螺距為零的理想模型.實(shí)際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所

以使得穿過L的電流為/，因此實(shí)際螺線管若是無限長時(shí)，只是月外的軸向

分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量8工=幺包,尸為管外一點(diǎn)到螺線管軸

12"

題9-4圖

9-5如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒有

磁場?如果它發(fā)

生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場？

解：如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒有

磁場，也可能存在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場力與磁場力抵消所

致.如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著磁場，因?yàn)閮H有電場也可以

使電子偏轉(zhuǎn).

9-6已知磁感應(yīng)強(qiáng)度8=2.0Wb?m"的均勻磁場，方向沿x軸正方向，

如題9-6圖所示.試求：⑴通過圖中功〃面的磁通量；⑵通過圖中用左面

的磁通量；（3）通過圖中。見面的磁通量.

解：如題9-6圖所示

⑴通過“bed面積Sj的磁通是

0,=55,=2.0x0.3x0.4=0.24Wb

⑵通過6吩面積S2的磁通量

?=月5=o

⑶通過a卯面積S3的磁通量

--4

=5-S3=2x0.3x0.5xcos6=2x0.3x0.5x-=0.24Wb(或日

-0.24Wb)

題9-7圖

9-7如題9-7圖所示，AB、為長直導(dǎo)線，與。為圓心在。點(diǎn)的一段圓

弧形導(dǎo)線，其半徑為若通以電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-7圖所示，。點(diǎn)磁場由48、BC.C。三部分電流產(chǎn)生.其中

AB產(chǎn)生5,=0

CD產(chǎn)生&=",方向垂直向里

212火

CD段產(chǎn)生83=」^(sin90°—sin60°)=必(1—也)，方向_1向

4兀一成

2

里

?*-+曷=^^(1一］+令，方向，向里?

9-8在真空中，有兩根互相平行的無限長直導(dǎo)線乙和乙2,相距0」m,通有

方向相反的電流，/|=20.A,A=10A，如題9-8圖所示.A,8兩點(diǎn)與導(dǎo)線在

同一平面內(nèi).這兩點(diǎn)與導(dǎo)線心的距離均為5.0cm.試求4,8兩點(diǎn)處的磁感

應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.

Z,=20A

Z2=10A

XB題9-8圖

解：如題9-8圖所示，BA方向垂直紙面向里

_______________1_Ao^2

B=1.2x10-4T

A2^-(0.1-0.05)2%x0.05

⑵設(shè)月=0在4外側(cè)距離人為尸處

則一畫——4=0

21(r+0.1)271r

解得0.1m

題9-9圖

9-9如題9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的/,8兩點(diǎn)，并在

很遠(yuǎn)處與電源相連.已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心。的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-9圖所示，圓心。點(diǎn)磁場由直電流和臺8及兩段圓弧上電

流與A所產(chǎn)生，但和88在。點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。且

/1_電阻用_。

12~電阻舄一2兀一0

4產(chǎn)生四方向，紙面向外

B=〃o/i（2%-。）