2022年廣東省廣州仲元中學高三下學期聯(lián)考數學試題含解析

2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則實數的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．22．若函數滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．3．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，若低于60分的人數是18人，則該班的學生人數是（）A．45 B．50 C．55 D．604．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米5．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．847．記單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．49．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．1010．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數是（）A． B． C． D．11．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．12．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數為()A．60 B．80 C．90 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為正實數，若則的取值范圍是__________．14．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.15．在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，，則_______.16．拋物線的焦點到準線的距離為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.18．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.19．（12分）已知函數．（1）若不等式有解，求實數的取值范圍；（2）函數的最小值為，若正實數，，滿足，證明：．20．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為：（其中為參數），直線的參數方程為（其中為參數）（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，點的坐標為，求的值.22．（10分）已知函數，設的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實數a，b，使得，？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求出函數的導數，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數的導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．2．A【解析】

由推導出，且，將所求代數式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數的單調性可得出其最小值.【詳解】函數滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數在區(qū)間上為增函數，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數式最值的計算，涉及對數運算性質、基本不等式以及函數單調性的應用，考查計算能力，屬于中等題.3．D【解析】

根據頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據樣本容量求出班級人數.【詳解】根據頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題4．D【解析】

根據題意，是一個等比數列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據題意，這是一個等比數列模型，設，所以，解得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.5．B【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.6．B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7．C【解析】

先利用等比數列的性質得到的值，再根據的方程組可得的值，從而得到數列的公比，進而得到數列的通項和前項和，根據后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數列）.故，.故選C.【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.8．A【解析】

根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．9．C【解析】

根據復數模的性質計算即可.【詳解】因為，所以，，故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的定義及復數模的性質，屬于容易題.10．B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當內角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎題.11．A【解析】

由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A．12．B【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數，，即，故表示直線與截距的倍，根據圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據，可得，進而，有，而，令，得到，再用導數法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當時，，當時，所以當時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，14．4【解析】

根據流程圖依次運行直到，結束循環(huán)，輸出n，得出結果.【詳解】由題：，，，結束循環(huán)，輸出.故答案為：4【點睛】此題考查根據程序框圖運行結果求輸出值，關鍵在于準確識別循環(huán)結構和判斷框語句.15．9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,難度一般.16．【解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用（1）的結論，進一步利用一元二次方程根和系數的關系式的應用求出結果.【詳解】解：（1）直線的參數方程為（為參數），轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為，轉換為直角坐標方程為.（2）直線的參數方程為（為參數），轉換為標準式為（為參數），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標系與參數方程的公式，及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路．18．（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化簡并結合,可求得三者間的關系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再結合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】（1）因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積公式的應用,屬于基礎題.19．（1）（2）見解析【解析】

(1)分離得到，求的最小值即可求得的取值范圍；（2）先求出，得到，利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解：（1）設，∴在上單調遞減，在上單調遞增．故．∵有解，∴．即的取值范圍為．（2），當且僅當時等號成立．∴，即．∵．當且僅當，，時等號成立．∴，即成立．【點睛】此題考查不等式的證明，注意定值乘變化的靈活應用，屬于較易題目.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當時，，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據題意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴當時，.又，∴，∴，∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題21．（1）（2）5【解析】

（1）首先消去參數得到曲線的普通方程，再根據，，得到曲線的極坐標方程；（2）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，利用直線的參數方程中參數的幾何意義得解；【詳解】解：