2024-2025學年北京市海淀區(qū)交大附中高三下學期復習檢測試題一（一模）數(shù)學試題含解析

2024-2025學年北京市海淀區(qū)交大附中高三下學期復習檢測試題一（一模）數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．2．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢3．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．5．已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．6．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．7．根據(jù)散點圖，對兩個具有非線性關系的相關變量x，y進行回歸分析，設u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln28．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數(shù)進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數(shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．17649．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．10．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．111．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．14．在中，已知，，則A的值是______.15．的展開式中，的系數(shù)為____________.16．在四面體中，分別是的中點．則下述結(jié)論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.19．（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，．現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護小島，段設計成與圓相切．設．（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線相交于，，求的值．21．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知圓：和拋物線：，為坐標原點．（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點，且滿足，求直線的方程；（2）過拋物線上一點作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點，若直線的斜率為，求點的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=2．D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.3．B【解析】

設出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標原點，平面上過點垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關系的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．4．C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.5．B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件．【詳解】解：函數(shù)，，為的零點，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當時，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．6．D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構，條件分支結(jié)構，屬于中檔題.7．B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當時，取到最大值2，因為在上單調(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.本題考查了非線性相關的二次擬合問題，考查復合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎題,.8．A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學文化，屬于基礎題.9．C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．10．C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.11．B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B本題考查了復數(shù)的除法的運算法則，考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.12．D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意容積，求導研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點，此時.故答案為：本題考查了導數(shù)在實際問題中的應用，考查了學生數(shù)學建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)正弦定理，由可得，由可得，將代入求解即得.【詳解】，，即，，，則，，，，則.故答案為：本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎題.15．16【解析】

要得到的系數(shù)，只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【詳解】的系數(shù)為.故答案為：16此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎題.16．①③④．【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補圖成長方體設其邊長為，，解得補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關鍵在于熟練掌握點線面位置關系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對函數(shù)進行求導，由題意知,為增函數(shù)等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯推理能力；利用導數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.18．（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”．（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應的概率，可列出分布列并進一步求出的數(shù)學期望．試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”．（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3，，，，．∴的分布列為：1123∴．19．（1），定義域是．（2）百萬【解析】

（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設，利用直線與圓相切得到，再代入這一關系中，即可得答案；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系．設，則，，．因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當時，，設銳角滿足，則，所以關于的函數(shù)是，定義域是．（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最小．令，得，設銳角，滿足，得．列表：0減極小值增所以時，，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元．本題考查三角函數(shù)模型的實際應用、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.20．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結(jié)合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設，兩點對應的參數(shù)分別為，則，．不妨設，，∴．本題考查簡單曲線