大學(xué)物理實驗講義

大學(xué)物理實驗講義

南陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院

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《大學(xué)物理實驗》是面向高等學(xué)校理工科學(xué)生的重要實踐課程，對于培養(yǎng)學(xué)生

的從事科學(xué)研究的基本素養(yǎng)、鍛煉學(xué)生的動手能力、觀測能力、數(shù)據(jù)處理與分析能

力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與科研開發(fā)能力，具有不可替代的重要作用。我們根據(jù)目

前我國高等院校大學(xué)物理實驗開設(shè)的情況，制定了我院的《大學(xué)物理實驗》培養(yǎng)方

案與目標，對照實驗室的儀器設(shè)備配置，據(jù)此組織編寫了這本實驗進義，可供我學(xué)

院所有理工科專業(yè)的學(xué)生使用。

本講義由張國芳主持編寫，緒論、誤差理論與數(shù)據(jù)處理，實驗一、實驗五由鄭

長波編寫，實驗二由楊興強編寫，實驗三、實驗四由肖紹武編寫，實驗六、實驗八、

實驗十由張萍編寫，實驗九由侯晨霞編寫，實驗七山劉克濤編寫。

本講義在編寫過程中，參考了許多其他高等師范院校的實驗教材,得到了我院許

多長期從事實驗教學(xué)工作教師的大力支持，在此表示感謝！本教材難免有不妥之處,

懇請讀者批評指正。

目錄

緒論誤差理論與數(shù)據(jù)處理....................................3

實驗一密度的測量.............................................61

實驗二牛頓第二定律的驗證（氣墊導(dǎo)軌法）.....................69

實驗三楊氏彈性模量的測定（拉伸法）........................78

實驗四扭擺法測剛體的轉(zhuǎn)動慣量...............................87

實驗五金屬線脹系數(shù)的測定....................................94

實驗六二極管伏安特性的測定.................................101

實驗七電表改裝與校準（設(shè)計性實驗）..........................105

實驗八示波器的使用...........................................108

實驗九霍耳效應(yīng)...............................................118

實驗十等厚干涉現(xiàn)象的研究.....................................134

緒論誤差理論與數(shù)據(jù)處理

物理學(xué)是一門實驗科學(xué)，在物理學(xué)的建立和發(fā)展中，物理實驗起到了直接的推

動作用。從經(jīng)典物理到近代、現(xiàn)代物理，物理實驗在發(fā)現(xiàn)新事物、建立新規(guī)律、檢

驗理論、測量物理量等諸多方面發(fā)揮著巨大作用。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平的高度發(fā)

展，物理實驗的思想、方法、技術(shù)與裝置己廣泛地滲透到了自然學(xué)科和工程技術(shù)的

各個領(lǐng)域，解決了一大批生產(chǎn)和科研問題。

大學(xué)物理實驗是一門重要的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生進入大學(xué)后系統(tǒng)地接受科學(xué)實驗

方法和實驗技能訓(xùn)練的開端。通過學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生用實驗手段發(fā)現(xiàn)、分析和解

決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力，培養(yǎng)和增強獨立開展科學(xué)研究的素

質(zhì)。

一、大學(xué)物理實驗課的主要任務(wù)

1.通過對實驗現(xiàn)象的觀察分析和對物理量的測量，使學(xué)生掌握物理實驗的基本

知識、基本方法和基本技能。運用物理學(xué)原理和物理實驗方法研究物理規(guī)律，加深

對物理學(xué)原理的理解。

2.培養(yǎng)與提高學(xué)生從事科學(xué)實驗的能力。主要包括：

(1)自學(xué)能力。能夠自行閱讀實驗教材與參考資料，正確理解實驗內(nèi)容，做好

實驗前的準備工作。

(2)動手能力。能借助教材與儀器說明書，正確調(diào)整和使用儀器，制作樣品，

發(fā)現(xiàn)和排除故障。

(3)思維判斷能力。運用物理學(xué)理論，對實驗現(xiàn)象與結(jié)果進行分析和判斷。

(4)書面表達能力。能夠正確記錄和處理實驗數(shù)據(jù)，繪制圖表，分析實驗結(jié)果,

撰寫規(guī)范、合格的實驗報告或總結(jié)報告。

(5)綜合運用能力。能夠?qū)⒍喾N實驗方法、實驗儀器結(jié)合在一起，運用經(jīng)典與

現(xiàn)代測量技術(shù)和手段，完成某項實驗任務(wù)。

(6)初步的實驗設(shè)計能力。根據(jù)課題要求，能夠確定實驗方法和條件，合理選

擇、搭配儀器，擬定具體的實施步驟。

3.培養(yǎng)學(xué)生從事科學(xué)實驗的素質(zhì)。包括理論聯(lián)系實際、實事求是的科學(xué)作風(fēng)；

嚴肅認真的工作態(tài)度；不怕困難、勇于探索的創(chuàng)新精神；遵章守紀、愛護公物的優(yōu)

良品德；團結(jié)協(xié)作、共同進取的作風(fēng)。

二、大學(xué)物理實驗課的基本程序

1.實驗預(yù)約

目前，大學(xué)物理實驗課程大多采用開放式教學(xué)方式，即學(xué)生可在實驗室提供的

上課時間和開設(shè)的實驗項目內(nèi)，根據(jù)自己的專業(yè)特點、興趣愛好及時間安排，自己

選擇實驗項目和實驗時間。因此，做好上課前的預(yù)約工作是至關(guān)重要的。實驗預(yù)約

主要通過計算機網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)，學(xué)生在預(yù)約時應(yīng)仔細閱讀實驗室（或中心）關(guān)于開放實

驗的有關(guān)管理規(guī)定和預(yù)約指南，合理地安排好自己的實驗課表，保證實驗課的順利

進行。

2.實驗前的預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)是訓(xùn)練和提高自學(xué)能力的極好途徑，為了在規(guī)定時間內(nèi)高質(zhì)量地完成實驗

內(nèi)容，必須做好預(yù)習(xí)工作。預(yù)習(xí)時，通過閱讀實驗教材及參考資料，重點考慮三方

面問題：做什么（最終目的）；根據(jù)什么去做（實驗原理和方法）；怎樣做（實驗方

案、條件、步驟和關(guān)鍵要領(lǐng)）。在此基礎(chǔ)上寫好預(yù)習(xí)報告，報告主要內(nèi)容是：實驗名

稱，簡單實驗原理（如主要計算公式、線路圖等），實驗內(nèi)容（需觀察的現(xiàn)象或需測

量的物理量，數(shù)據(jù)記錄表格），遇到的問題及注意事項。

每次實驗前，教師將檢查預(yù)習(xí)情況。

3.實驗中的觀測

實驗操作與觀測是動手能力、思維判斷能力和綜合運用能力訓(xùn)練的過程，也是

培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)實驗素質(zhì)的主要環(huán)節(jié)。在教師指導(dǎo)性講解的基礎(chǔ)上，主要做到以下幾

方面要求：

（1）弄清實驗內(nèi)容的具體要求和注意事項。

(2)熟悉儀器，并進行調(diào)整測試，符合要求后，方可進行正式操作、測量.

(3)科學(xué)地、實事求是地記錄下實驗中觀察到的各種現(xiàn)象和測量數(shù)據(jù)，同時記

錄與實驗結(jié)果有關(guān)的實驗條件，如環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)、主要儀器(名稱、

型號、規(guī)格、準確度等)，記錄數(shù)據(jù)要注意有效數(shù)字和單位準確。

(4)實驗完畢，將實驗結(jié)果記錄情況交任課老師審閱簽字，確認無誤后方可整

理儀器結(jié)束實驗。

4.實驗后的報告

實驗報告是實驗工作的全面總結(jié)和深入理解的一個環(huán)節(jié)。一份完整的實驗報告，

應(yīng)是在完善預(yù)習(xí)報告的基礎(chǔ)上，增加：

(1)實驗現(xiàn)象與數(shù)據(jù)，獲得數(shù)據(jù)的條件(如儀器、環(huán)境等)。

(2)數(shù)據(jù)處理方法，結(jié)果表達。

(3)實驗現(xiàn)象及誤差分析，結(jié)果討論、結(jié)論，對實驗的體會與建議等。

(4)教師簽字的原始數(shù)據(jù)。

書寫實驗報告時，要簡明扼要，文字通順，字跡端正，圖表規(guī)范；獨立完成實

驗報告并及時上交。

三、大學(xué)物理實驗課的成績評定

平時每個實驗項目的成績主要采用“三段式能力考核”方式進行評定，即通過

考核預(yù)習(xí)情況檢驗學(xué)生的自學(xué)能力，通過操作檢驗學(xué)生的動手能力與理論聯(lián)系實際

能力，通過實驗報告考核學(xué)生綜合分析、處理數(shù)據(jù)和書面表達能力。教師在每一堂

實驗課的教學(xué)過程中，將根據(jù)實驗項目評分標準對實驗的每個環(huán)節(jié)嚴格評定，充分

掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。實驗成績?yōu)轭A(yù)習(xí)成績、操作成績、報告成績?nèi)咧汀?/p>

課程總成績主要為各實驗項目平均成績與所做實驗個數(shù)的加權(quán)平均值，必要時

在學(xué)期末進行實驗基本理論知識和實驗基本技能考試。

第一章誤差理論與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識

在科學(xué)研究和實驗過程中，往往離不開對某個物理量的測量。物理實驗除了定

性地觀察物理現(xiàn)象外，也需要對物理量進行定量測量，并確定各物理量之間的關(guān)系。

由于測量設(shè)備、環(huán)境、人員、方法等方面諸多因素的影響，使得測量值與真實

值并不完全一致，這種差異在數(shù)值上表現(xiàn)為誤差。隨著科學(xué)水平的提高和人們的經(jīng)

驗、技巧、專門知識的豐富，誤差雖然可以被控制得越來越小，卻始終不能把它消

除。因此，對實驗中測量獲得的數(shù)據(jù)，要選擇合適的方法進行處理，并對其可靠性

做出評價，否則，測量結(jié)果是沒有價值的。

誤差與數(shù)據(jù)處理理論已發(fā)展為一門學(xué)科，它涉及的內(nèi)容豐富，且較為復(fù)雜。在

此，將簡單介紹大學(xué)物理實驗中常用的一些初步和基本知識。

1.1幾個基本概念

1.1.1測量（Measurement）

一、定義

所謂測量，就是借助于專門設(shè)備，通過一定的實驗方法，以確定物理量值為目

的所進行的操作。它是一個實驗比較的過程，即把一個量（待測量）與另外一個量

（標準量）相比較。

測量由測量過程與測量結(jié)果組成。

測量過程是執(zhí)行測量所需的一系列操作。包括建立單位、設(shè)計工具、設(shè)計測量

方法、研究分析測量結(jié)果、尋找減小誤差的途徑等方面。

測量結(jié)果表示由測量所獲得的待測量的值，一般由數(shù)值、單位和精度評定三部

分組成。

二、分類

從不同的角度考慮，測量有不同的分類法。

按照測量結(jié)果獲得方法的不同，測量分為直接測量和間接測量。

用預(yù)先校對好的測量儀器或量具對被測量進行測量，直接讀取被測量數(shù)值的大

小，稱為直接測量（Directmeasurement）（,例如,用米尺測物體的長度,用秒表測

時間，用天平與硅碼測物體的質(zhì)量，用電壓表（或電流表）測電壓（或電流）等都

屬于直接測量，相應(yīng)的被測物理量稱為直接測量量。

如果待測量的量值是山若干個直接測量量經(jīng)過一定的函數(shù)運算獲得的，這種測

量稱為間接測量(Indirectmeasurement)。例如，體積、密度等物理量的測量往往

采用間接測量，相應(yīng)的被測物理量稱為間接測量量。

實際測量中多數(shù)為間接測量，但直接測量簡單、直觀，是一切間接測量的基礎(chǔ)。

按照測量條件的不同，測量可分為等精度測量和非等精度測量。

在相同的測量條件下(同一測量水平的觀測者，同一精度的儀器，同樣的實驗

方法和環(huán)境等)對某一待測量所做的重復(fù)性測量，稱為等精度測量。等精度測量獲

得的所有數(shù)據(jù)的可信賴程度是相同的，在數(shù)據(jù)處理過程中地位相同，應(yīng)一視同仁。

盡管實際測量中，很難保證所有條件不變，但由于等精度測量數(shù)據(jù)處理方法相

對簡單，因此只要測量條件變化不大，?般都可近似為等精度測量。大學(xué)物理實驗

學(xué)習(xí)階段，主要考慮等精度測量。

在不同的測量條件下對某一待測量所做的重復(fù)性測量，稱為非等精度測量。非

等精度測量獲得的所有數(shù)據(jù)的可信賴程度是不同的，在數(shù)據(jù)處理過程中應(yīng)按精度高

低，區(qū)別對待。

按照被觀測對象在測量過程中所處的狀態(tài)，可分為靜態(tài)測量和動態(tài)測量。

如果待測量在測量過程中是固定不變的，這時所進行的測量為靜態(tài)測量。靜態(tài)

測量不需要考慮時間因素對測量結(jié)果的影晌，應(yīng)把被測量或誤差作為隨機變量進行

處理。

如果待測量在測量過程中隨時間不斷變化，這時所進行的測量為動態(tài)測量。動

態(tài)測量需考慮時間因素對測量結(jié)果的影響，應(yīng)把被測量或誤差作為隨機過程來進行

處理。

1.1.2誤差(Error)

一、定義

誤差是指測量值與被測量的真值(Truevalue)之差。用式子表示為

誤差0)=測量值(x)-真值(X。)(1-1-1)

其中，誤差可正可負，反映了測量值偏離真值的程度；測量值是通過測量得到

的被測量的值；真值是某一物理量在一定條件下所具有的客觀的、不隨測量方法改

變的真實數(shù)值。?般情況下，真值是未知的，所以誤差的概念只具有理論意義。只

是在某些特殊情況下，真值可認為是已知的，主要包括：

1.理論真值：通過理論方法獲得的真值。例如，三角形內(nèi)角之和為180°；理

想電容或電感構(gòu)成的電路，電壓與電流的相位差為90°等。

2.計量學(xué)的約定真值：國際計量機構(gòu)內(nèi)部約定而確定的真值。例如，7個SI

基本單位量的確定，即長度單位米（m）、時間單位秒（s）、電流強度單位安培（A）、

質(zhì)量單位千克（kg）、熱力學(xué)單位開爾文（K）、物質(zhì)的量的單位摩爾（mol）,發(fā)光強

度單位坎德拉（cd）。

3.標準器的相對真值：當高一級的標準器的誤差小于低一級的標準器或普通計

量儀器的誤差一定程度后，高一級標準器的指示值可以作為級別低的儀器的相對真

值。

二、誤差的分類

根據(jù)誤差的性質(zhì)，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和疏失誤差三類。

1.系統(tǒng)誤差（Systematicerror）

在同一測量條件下，多次測量同一物理量時，大小和符號保持恒定或隨條件的

改變而按某一確定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。一個完整的測量系統(tǒng)，通常由

實驗源、實驗體、觀測系統(tǒng)、實驗環(huán)境4部分組成，因此系統(tǒng)誤差來源可以歸納為

以下幾個方面：

（1）儀器設(shè)備、裝置誤差

①標準器誤差

標準器是作為與被測量相比較時提供標準值的器具。例如，標準電池、標準量

塊、標準電阻等。山于使用條件或制作不夠完善等原因，標準器本身也會產(chǎn)生附加

誤差。

②儀器誤差

測量儀器是指能將被測量轉(zhuǎn)化為可直接觀測的指示值或等效信息的計量器具。

例如，天平、電橋等比較儀器；溫度計、秒表、檢流計等指示儀器。儀器設(shè)計制造

不完善、調(diào)節(jié)使用不當、老化等原因都會造成測量誤差。

③附件誤差

為使測量方便進行而使用的各種輔助配件，均屬測量附件。例如，開關(guān)、導(dǎo)線、

電源等各種輔助配件也會引起誤差。

(2)環(huán)境誤差

由于各種環(huán)境因素，如溫度、濕度、壓力、震動、電磁場等，與要求的標準狀

態(tài)不?致而引起的測量裝置和被測量本身的變化所造成的誤差。

(3)方法誤差

由于測量方法或計算方法不完善、不合理等原因引起的誤差。例如，瞬時測量

時取樣間隔不為零；用單擺測量重力加速度時，公式8=4%2乙/72的近似性；用伏

安法測電阻時，忽略電表內(nèi)阻的影響等。

(4)人員誤差

由測量人員分辨力有限，感官的生理變化，反應(yīng)速度及固有習(xí)慣等原因引起的

誤差。例如，測量滯后與超前、讀數(shù)傾斜等。

從不同角度，系統(tǒng)誤差又可分為不同種類。

按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)

誤差的大小和符號是可以確定的，如千分尺、電表的零位誤差，伏安法測電阻電表

內(nèi)阻引起的誤差等。這類誤差可以修正。未定系統(tǒng)誤差是大小和符號不能確定，只

能估計出大小變化范圍的系統(tǒng)誤差，如儀器誤差。

按誤差的變化規(guī)律，系統(tǒng)誤差又可分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差。不變系

統(tǒng)誤差的大小和符號保持恒定不變。變化系統(tǒng)誤差的大小和符號按某一確定規(guī)律變

化，如線性、周期性等規(guī)律。

2.隨機誤差(Randomerror)

在同測量條件下，多次測量同?物理量時，誤差的絕對值時大時小，符號時

正時負，以不可預(yù)知的方式變化，這種誤差稱為隨機誤差。隨機誤差是由測量過程

中一些隨機的或不確定的因素引起的。例如，人的感官靈敏度及儀器精度有限，實

驗環(huán)境(溫度、濕度、氣流等)變化，電源電壓起伏，微小振動等都會導(dǎo)致隨機誤

差。由于引起隨機誤差的因素復(fù)雜，又往往交叉在一起，不能分開，因此，隨機誤

差是無法控制的，無法從實驗中完全消除，一般通過多次測量來達到減小的目的。

從一次測量來看，隨機誤差是隨機的。但當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差服從

一定的統(tǒng)計規(guī)律，可按統(tǒng)計規(guī)律對誤差進行估計。

3.粗大誤差(Grosserror)

粗大誤差又稱疏失誤差，它是由于工作人員疏失、儀器失靈等原因造成的超出

規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。含有粗大誤差的測量值明顯偏離被測量的真值，在數(shù)據(jù)處

理時，應(yīng)首先檢驗，并將含有粗大誤差的數(shù)據(jù)剔除。

應(yīng)當指出，系統(tǒng)誤差是測量過程中某一突出因素變化所引起的，隨機誤差是測

量過程中多種因素微小變化綜合引起的，兩者不存在絕對的界限，變化的系統(tǒng)誤差

數(shù)值較小時與隨機誤差的界限不明顯。隨機誤差和系統(tǒng)誤差有時可以相互轉(zhuǎn)化。

三、誤差的表示形式

1.絕對誤差(Absoluteerror)

用絕對大小給出的誤差定義為絕對誤差。用式子表示為

誤差⑻=測量值(x)-真值(X。)(1-1-2)

絕對誤差是帶有單位的數(shù)，可正可負。絕對誤差反映測量值偏離真值的大小與

方向。

2.相對誤差(Relativeerror)

絕對誤差與被測量真值的比值稱為相對誤差(E)o用式子表示為

相對誤差優(yōu))=絕對誤差/真值(1-1-3)

由于一般情況下真值未知，通常用測量值代替真值。相對誤差是無量綱數(shù)，通

常用“獷表示。相對誤差可以反映測量的精度高低。

例ITT測量兩個長度量，測量值分別為4=100.0mm,￡2=8。。"?,其測

量誤差分別為&=0.8mm,2=0.7mm。試比較兩個測量結(jié)果精度的高低。

解：6=2x100%=-^-xl00%=0.8%,

L、100.0

en/7

E,=^-xl00%=-xl00%=0.9%

2

L280.0

從絕對誤差的角度看，第一個量測量值的誤差大于第二個量的誤差；但從相對

誤差的角度來看，第一個量的測量精度卻高于第二個量。

3.引用誤差(Fiducialerror)

引用誤差定義為絕對誤差與測量范圍上限(或量程)的比值，即

引用誤差=絕對誤差/測量范圍上限(1T-4)

引用誤差通常用“獷表示，主要用于儀器誤差的表示，實際是一種簡化和使用

方便的儀器儀表的相對誤差。儀表量程或測量范圍內(nèi)各點的引用誤差一般不相同，

其中最大的引用誤差稱為引用誤差限，去掉引用誤差的正負號及“獷后，稱為儀器

的準確度等級(Accuracyclass)。電工儀表的準確度等級分別規(guī)定為0.05、0.1、

0.2、0.3、0.5、1.0、05、2.0、2.5、。。和5.0等11級。

例1T-2檢定2.5級，上限為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V分度點的示值誤差為

2V,并且比其它各點的誤差大,試問該電表的最大引用誤差為多少？該表是否合格？

解：由引用誤差定義可知，該表的最大引用誤差為工=2%。根據(jù)準確度等

ioor

級的含義，2%<2.5%,顯然該電表合格。

1.1.3精度(Trueness)

精度又稱為精確度，用來描述測量結(jié)果與真值的接近程度。它是一個定性的概

念，不能用數(shù)值大小來表示，只能講高低。主要分為

一、精密度（Precision）

精密度用來描述測量結(jié)果中隨機誤差的大小程度，即在一定條件下，進行多次

重愛測量時，各測量值之間的接近程度。精密度反映隨機誤差大小的程度。

二、正確度（Validity）

正確度用來描述測量結(jié)果與真值的偏離程度，它反映系統(tǒng)誤差的大小程度。

三、準確度（精確度）（Accuracy）

準確度反映系統(tǒng)誤差與隨機誤差綜合大小程度。準確度高說明測量結(jié)果既精密

又正確。

通過圖1T打靶彈著點的分布圖，可以形象地說明上述三個概念。圖中（a）表

示精密度高，正確度低；圖（b）表示正確度高，精密度低；圖（c）表示正確度與

精密度都高，即準確度高，或精度高。

圖1-1-1精度示意圖

由于真值的未知性，使得測量誤差的大小與正負難以確定。因此，在對測量結(jié)

果的質(zhì)量進行定量評定時，往往只是給出誤差以一定的概率出現(xiàn)的范圍。而這個用

來定量評定測量結(jié)果質(zhì)量的參數(shù)，即為測量不確定度。

一、定義

測量不確定度是表征合理賦予被測量值分散性的一個參數(shù)。

測量不確定度可以用標準差表示，稱為標準不確定度（Standarduncertainty）,

用符號U表示。如果是幾個不確定度的合成，稱為合成標準不確定度(Combined

standarduncertainty),用符號表示。有時也可以將合成標準不確定度乘以某一

倍數(shù)，即置信(包含)因子(Coveragefactor)k,這時稱為擴展不確定度(Expanded

uncertainty),用符號〃表示。

測量不確定度與測量結(jié)果相聯(lián)系，完整的測量結(jié)果表達中，應(yīng)包括測量不確定

度。例如，某一被測量x最佳估計值為F,測量的標準不確定度為u,則結(jié)果表示為

x=x+u?

測量不確定度有絕對不確定度和相對不確定度兩種表示形式。

誤差與不確定度是兩個不同的概念，不應(yīng)混淆。誤差是客觀存在的測量結(jié)果與

真值之差，是個確定的值。但由于真值往往無法知道，因此誤差一般不能準確得

到。而測量不確定度是說明測量值分散性的參數(shù)，可由人們分析和評定得到，與人

們的認識程度有關(guān)。一個測量結(jié)果可能誤差很小，但由于認識不足，評定得到的不

確定度可能較大；相反，可能測量結(jié)果誤差較大，由于認識或分析不足，給出的不

確定度卻較小。測量誤差與不確定度的區(qū)別可歸納為以下幾方面：

1.測量不確定度是一個無正負的參數(shù)，用標準差或標準差的倍數(shù)表示。而測量

誤差則可正可負，其值為測量結(jié)果減去被測量的真值。

2.測量不確定度表示測量值的分散性。誤差表示測量結(jié)果偏離真值的大小及方

向。

3.測量不確定度受人們對被測量、影響量及測量過程的認識程度影響。而測量

誤差是客觀存在的，不以人的認識程度而改變。

4.測量不確定度可由人們根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等信息進行評定，可以定量確

定。由于真值未知，測量誤差往往不能準確得到，只有用約定真值代替真值時，才

可以得到誤差的估計值。

5.評定測量不確定度各分量時一般不必區(qū)分其性質(zhì)，需要區(qū)分時應(yīng)表述為：“由

隨機效應(yīng)引入的不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度分量”。而測量誤差

按性質(zhì)分為隨機誤差與系統(tǒng)誤差兩類。

6.不能用不確定度對測量結(jié)果進行修正，對已修正的測量結(jié)果進行不確定度評

定時應(yīng)考慮修正不完善而引入的不確定度。而已知系統(tǒng)誤差的估計值時，可以對測

量結(jié)果進行修正，得到已修正的測量結(jié)果。

誤差與測量不確定度既有區(qū)別，又有聯(lián)系。誤差理論是估算不確定度的基礎(chǔ)，

不確定度是誤差理論的補充。

二、測量不確定度的來源

測量過程中影響不確定度的因素比較多，主要可以歸納為以下幾方面：

1.被測量的定義不完善及取樣代表性不夠所引起的測量不確定度。被測量在不

同條件下的值是不一樣的，在定義它時，必須考慮到具體的環(huán)境條件，否則會引起

由于定義不完整帶來的不確定度。例如，定義被測量是一根標稱值為1m的鋼棒的長

度，就屬于被測量的定義不完整。因為被測鋼棒的長度在測量精度要求比較高時受

溫度和壓力的影響比較明顯，而這些條件沒有在定義中說明。完整的定義應(yīng)為：標

稱值為1m的鋼棒在20.0C和97453Pa時的長度。另外，由于測量方法和儀器設(shè)備

的限制，往往只能取待測材料的一部分作為樣品進行測量，如果待測材料的均勻性

不好，則所取樣品的代表性可能不夠，山此會引起測量不確定度。例如，測量-批

銅棒的線電阻率時，銅棒的粗細不均勻，或材料的成分不均勻，因此，所取出的一

段樣品代表性可能不夠。

2.實現(xiàn)被測量定義的方法不理想。按照被測量定義的要求，實際測量中某些條

件達不到，只能采用近似或假定，這時必然會引起不確定度。例如，上述長度測量

中，由于溫度和壓力達不到定義中的要求，就會引起不確定度。再如，被測量表達

式的近似程度，電測量中由于測量系統(tǒng)不完善引起的絕緣漏電、引線電阻上的壓降

等，均會引起不確定度。

3.測量儀器計量性能的局限性。測量中使用的儀器，由于其靈敏度、鑒別力、

分辨力及穩(wěn)定性等方面的局限性，測量過程中都會引起不確定度。

4.作為計量標準的值不準確或引用的數(shù)據(jù)和參量不準確。通常測量是將被測量

與測量標準的給定值相比較來實現(xiàn)的。因此，作為測量標準的不確定度必然引入測

量結(jié)果。另外，測量中還常常要引用一些數(shù)據(jù)或參量，這些數(shù)據(jù)或參量的不確定度

也會影響結(jié)果。例如，用天平稱質(zhì)量，測量結(jié)果的不確定度包含有標準祛碼的不確

定度；再如，確定某一溫度下熱敏電阻的阻值，可以應(yīng)用已知的溫度系數(shù)及，該引

用值的不確定度會對結(jié)果產(chǎn)生影響。

5.被測量在表面上完全相同的條件下重復(fù)測量中的變化。實際工作中有時會發(fā)

現(xiàn)，無論如何控制環(huán)境條件或其它可能的影響因素，測量結(jié)果總有一定的分散性，

這種現(xiàn)象是客觀存在的，是由一些隨機效應(yīng)引起的。

6.環(huán)境條件對不確定度的影響。測量過程中，由于對環(huán)境影響的認識不全面，

或?qū)Νh(huán)境條件的測量與控制不好，會引入一定的不確定度。例如，鋼棒長度測量中，

不僅溫度和壓力會影響長度，還有一些其它因素被忽略。如濕度、支撐方式等都有

明顯影響，如果認識不足，測量中沒有采取措施，就會引起不確定度。

7.測量人員的人為因素。對非數(shù)字顯示的儀器，由于觀測者觀測位置、個人習(xí)

慣的不同及生理因素差別等原因，可能對同一狀態(tài)下的數(shù)值得到不同的讀數(shù)，這些

差異也將產(chǎn)生不確定度。

三、測量不確定度的分類

由上述歸納可知，測量不確定度的來源較多，因而測量不確定度是由許多分量

組成的。而評定各分量值的方法各不相同，按評定方法一般可將其分為兩大類：

1.A類分量

用統(tǒng)計方法評定的不確定度稱為不確定度A類分量，用口表示。

2.B類分量

用非統(tǒng)計方法評定的不確定度稱為不確定度B類分量，用?表示。

不確定度的分類是按評定方法進行的。它們都基于概率分布，都用方差或標準

差表征，稱為標準不確定度。其中A類標準不確定度由觀測列概率分布導(dǎo)出的概率

密度函數(shù)得到；B類標準不確定度由一個認定的或假定的概率分布函數(shù)得到。不確

定度的分類方法與誤差分類相比，避免了由于誤差之間界限不絕對，在判斷和計算

時不易掌握的缺點。評定不確定度時，不考慮影響不確定度因素的來源與性質(zhì)，只

考慮評定方法，從而簡化了分類，便于評定與計算。

1.1.5有效數(shù)字(Significantfigure)

一、定義

有效數(shù)字是指能正確表達某物理量數(shù)值和精度的一個近似數(shù)，由準確數(shù)字和可

疑數(shù)字組成。(如果該數(shù)值絕對誤差界是最末位數(shù)據(jù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)

左邊第一個非零數(shù)字起到最后?位數(shù)字止，都叫有效數(shù)字。)

為了便于理解，舉一例子加以說明。如圖1T-2所示，用最小刻度為1mm的米

尺測量一物體的長度，不同的測量者測得結(jié)果不同，可能為2.55cm,2.56cm,2.57cm

等。其中，前兩位數(shù)是根據(jù)米尺的刻度準確讀出的，不隨觀測者變化，是可靠的，

稱之為準確數(shù)字，最后一位數(shù)是在兩個刻度之間估計讀出的，隨觀測者個人情況可

能略有不同，顯然是不準確的，稱為可疑數(shù)字。盡管可疑數(shù)字不準確，但它能客觀、

合理地反映出該物體比2.5cm長，比2.6cm短的事實，是有效的。因此，測量結(jié)果

的有效數(shù)字是由若干位準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的。

。12345\

圖1-1-2長度測量示意圖

學(xué)習(xí)有效數(shù)字應(yīng)注意以下幾個問題：

1.有效數(shù)字與測量條件密切相關(guān)

從上面測量結(jié)果可以看出，測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由測量條件和待測量的大

小共同決定。對于大小已定的物理量，測量儀器的精度越高，有效數(shù)字位數(shù)越多，

因此，有效數(shù)字可以在某種程度上反映出測量儀器的精度。例如，上述物體的長度,

用米尺測量是3位有效數(shù)字，而采用1/50游標卡尺測量，可得4位有效數(shù)字，用千

分尺測量，可得5位有效數(shù)字；當測量條件?定時，待測量越大，有效數(shù)字位數(shù)越

多。

2.數(shù)字“0”在有效數(shù)字中的作用

“0”在數(shù)據(jù)中的位置不同，可能是有效數(shù)字,也可能不是有效數(shù)字。如,0.03020m

這個數(shù)中共有4個“0”，其中數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點位置，

不是有效數(shù)字，而其余兩個“0”是有效數(shù)字，即數(shù)字中間和末尾的“0”是有效的。

既然數(shù)字末尾的“0”是有效數(shù)字，那么就不能在數(shù)字的末尾隨意加0或去掉0,

否則物理意義將發(fā)生變化。要注意，一個物理量的測量值和數(shù)學(xué)上的一個數(shù)意義是

不同的。數(shù)學(xué)上,0.0302m與0.03020m沒有區(qū)別,但在物理上,0.0302mW0.03020m,

因為0.03020m中的“2”是準確測量出來的，是可靠的,而0.0302m中的“2”則是

可疑數(shù)字，是不準確的。

由于數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點位置，不是有效數(shù)字，那么

數(shù)字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效數(shù)字都是4位。因此，在十進制單位進行

換算時，有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。如，3.5A的電流值，若用mA單位表示，

不能寫成3500mA,而應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法，寫成3.5xl()3mA。

3.不確定度有效數(shù)字的確定

一般情況下絕對■不確定度只取1位有效數(shù)字，對重要的、比較精密的測量或其

他特殊情況，可取2位或2位以上有效數(shù)字，相對不確定度可取1?2位。本教材如

無特殊說明，絕對不確定度取1位有效數(shù)字，相對不確定度取2位有效數(shù)字。

4.有效數(shù)字的確定

對于直接測量，有效數(shù)字的確定，實際上就是如何讀數(shù)的問題。

由于測量結(jié)果的有效數(shù)字應(yīng)是由若干位準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的，因此,

從測量儀器上讀取數(shù)據(jù)時應(yīng)注意完整性，即除了讀取整刻度數(shù)值外，還應(yīng)進行整刻

度以下的估讀。特別是讀取的數(shù)據(jù)數(shù)值恰好為整數(shù)時，則需在后面補“0”，一直補

到可疑位為止。例如，上述物體的末端恰好與刻度25mm對齊時，則測量結(jié)果應(yīng)記為

2.50cm,而不能寫為2.5cm?？傊?，直接測量讀數(shù)的原則是：應(yīng)讀到儀器產(chǎn)生誤差

的那一位。

對于間接測量，間接測量量有效數(shù)字的確定，原則上應(yīng)遵循由不確定度來確定

測量量的有效數(shù)字，即間接測量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。例如，

為得到某一長方形面積S,直接測量其長度和寬度后，經(jīng)計算得到S=3.85025cm2,

絕對不確定度。$=0.02cm）則面積S的正確結(jié)果S=3.85cm:但在中間運算過程中，

由于參與運算的量可能很多，有效數(shù)字的位數(shù)可能不一致，使得數(shù)據(jù)計算顯得繁瑣

和復(fù)雜。

為了簡化運算過程，同時又不會造成過大的計算誤差，一般可采用以下規(guī)則進

行運算：

①進行加減運算時，應(yīng)以參與運算各數(shù)據(jù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的數(shù)據(jù)為準，其

余各數(shù)據(jù)在中間計算過程中向后可多取一位，最后結(jié)果與末位數(shù)數(shù)量級最大的那一

位對齊。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348

②進行乘除法運算時，以參與運算各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準，其余數(shù)

字在中間運算過程中可多取一位有效數(shù)字，最后結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最

少的那個數(shù)相同。例如，39.5X4.08437X0.0013=39.5X4.08X0.0013=0.21

乘方和開方運算規(guī)則與乘除法運算規(guī)則相同，即結(jié)果的有效數(shù)字與被乘方、開

方數(shù)的有效數(shù)據(jù)位數(shù)相同。例如，1.4。2=1.96,7200=14.1

③進行函數(shù)運算時，結(jié)果有效數(shù)字一般可根據(jù)間接測量不確定度計算公式進行

計算來確定（參見L4節(jié)）。對常用的函數(shù)，也可按簡單規(guī)則確定。如，對數(shù)函數(shù)

運算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點后面的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如，

lgl.983=0.2973；指數(shù)函數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點后面的位數(shù)與指數(shù)中小

數(shù)點后面的位數(shù)相同。例如，10625=].79X106。

④間接測量計算過程中，計算公式中還會遇到自然數(shù)與常量，例如，球體的面

積S與半徑R有關(guān)系式S=4成2。式中“4”是自然數(shù)，乃是常量。自然數(shù)不是測量

得到的，不存在誤差，故有效數(shù)字是無窮多位，而不是一位；常量在運算過程中有

效數(shù)字位數(shù)，不能少于參與運算的各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)據(jù)，一般可

以多取1位。

上述所述有效數(shù)字的運算規(guī)則，只是一個基本原則。實際問題中，為了防止取

舍所造成的誤差過大，常常在運算過程中多取幾位，特別是隨著計算機和計算器的

普及，這種處理不會帶來太多的麻煩，只是在最后結(jié)果根據(jù)不確定度所在位進行截

斷。

二、有效數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則

當數(shù)字位數(shù)較多而需要取舍時，應(yīng)按以F原則：

1.舍入部分的數(shù)值，如果大于保留部分末位的半個單位，則舍去后末位加1。

2.舍入部分的數(shù)值，如果小于保留部分末位的半個單位，則舍去后末位不變。

3.舍入部分的數(shù)值，如果等于保留部分末位的半個單位，則舍去后末位湊偶，

即當末位為奇數(shù)時末位加1,末位為偶數(shù)時保持不變。

例1T-3按照上述舍入規(guī)則，將下面各個數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字。

解：

原有數(shù)舍入后數(shù)據(jù)

3.171523.172

5.101505.102

5.102505.102

4.3765014.377

4.3764994.376

2.717292.717

1.2誤差的處理

1.2.1隨機誤差的處理

一、隨機誤差的分布及其數(shù)字特征

1.正態(tài)分布（Normaldistribution）及特點

盡管單次測量時隨機誤差的大小與正負是不確定的，但對多次測量來說卻服從

一定的統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差的統(tǒng)計分布規(guī)律有很多，正態(tài)分布是最常見的分布之一。

服從正態(tài)分布的隨機誤差的概率密度（Probabilitydensity）函數(shù)為

a2

(1-2-1)

(7—2乃

或

/（x）=——T=e2rT（1-2-T）

式中，X為測量值；X。為真值；6為誤差；/表示在3（或X）附近單位區(qū)間

內(nèi)，被測量誤差（或測量值）出現(xiàn)的概率。分布曲線如圖1-2T所示。

由圖可以看出，正態(tài)分布的隨機誤差具有以下特點：

①單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多；

②對稱性（抵償性）：大小相同，符號相反的誤差出現(xiàn)的機會相同；

③有界性：實際測量中，超過一定限度（如±3b）的絕對值更大的誤差一般不

會出現(xiàn)。

2.數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望與方差是定量描述統(tǒng)計規(guī)律分布的兩個重要參數(shù)。

根據(jù)式(1-2-1)或Q-2-1'),滿足正態(tài)分布的隨機變量3或x,其數(shù)學(xué)期望

為

后⑻=［為⑻db=0(1-2-2)

或

E(x)=^xf(x)dx=x0(1-2-2')

上式說明，對于無限次測量，測量值的數(shù)學(xué)期望等于真值，或誤差的數(shù)學(xué)期望

等于零，即隨機誤差具有抵償性。

根據(jù)式(1-2T)或(1-2T'),滿足正態(tài)分布的隨機變量6或X,方差。及標

準差(Standarderror)cr為

。⑹二二百⑻..(1-2-3)

或

D(x)=p(x-f(x)dx=er2<1-2-3')

標準差

b=y)D(x)(1-2-4)

方差與標準差反映測量值與真值的偏離程度，或各測量值之間的離散程度。標

準差或方差越小，離散程度越小，測量的精密度高；反之，離散程度越大。如圖-2-2

所示。

標準差b的物理意義也可以從下面這一角度理解：

根據(jù)概率密度函數(shù)的含義，誤差出現(xiàn)在忸6+dS］范圍內(nèi)的概率為了0卜5,則誤

差出現(xiàn)在區(qū)間［-。,句內(nèi)的概率為

尸=匕/0四=6&3%(1-2-5)

上式表示，在一組測量數(shù)據(jù)中，有68.3%的數(shù)據(jù)測量誤差落在區(qū)間［-so］內(nèi)。

也可以認為，任一測量數(shù)據(jù)的誤差落在區(qū)間［-6。］內(nèi)的概率為68.3%?把P稱作置

信概率(Confidenceprobability),而［-/日稱為68.3%的置信概率所對應(yīng)的置信

區(qū)間(Confidenceinterval),,

更廣泛地，置信區(qū)間可山［-3次同表示，X稱為包含因子(或置信因子)

(Coveragefactor),可根據(jù)需要選取不同大小的值。如，除了上述％=1的情況，

還經(jīng)常取k=2或3,這時的置信區(qū)間分別為［-2b,2日和［-3G3O|,對應(yīng)的置信概率

為95,為和99.7%?

可以看出，如果置信區(qū)間為［-30,3日，則測量誤差超出該區(qū)間的概率很小，只

有0.3%,即進行1000次測量，只有3次測量誤差可能超Hl［-3b,3可。對于有限次測

量(次數(shù)少于20次)，超出該區(qū)間的誤差可以認為不會出現(xiàn)，因此常將±3<r稱為極

限誤差(Limiterror)o

二、算術(shù)平均值與標準偏差

對真值為X。的某一量x做等精度測量，得到一測量列占?4，則該測量列的算

術(shù)平均值為

n

x=^—(1-2-6)

n

若測量數(shù)據(jù)中無系統(tǒng)誤差和粗大誤差存在，由正態(tài)分布隨機誤差的對稱性特點

和數(shù)學(xué)期望、標準差含義可知，在測量次數(shù)〃-8時，有算術(shù)平均值

n

X=lim2^—=x(1-2-7)

con0

測量列標準差

?(…)2

=--------d-2-8)

"TOO1〃

在實際測量中，測量次數(shù)總是有限的，且真值不可知。因此，對于等精度測量

列，可以用算術(shù)平均值作為真值的最佳估計值。而測量列標準差也需通過估計獲得。

估計標準差的方法很多，最常用的是貝塞爾法，即子樣標準差。公式為

ZU-X)2氏2

S=1-----------=1■tel—(1-2-9)

n—1In-1

式中q=Xj-五，稱為殘差（Residualerror）?

由于算術(shù)平均值也是一個

隨機變量，進行多組等精度重復(fù)

測量時得到的算術(shù)平均值具有

離散性。描述該離散性的參數(shù)是

算術(shù)平均值的標準差，由誤差理

論可以證明，算術(shù)平均值標準差

圖1-2-3測量次數(shù)對右的影響

與測量列（或單次測量）標準差

之間的關(guān)系為

a

忑(1-2-10)

由式（1-2-10）可看出，平均值的標準差比單次測量的標準差小。隨著測量次

數(shù)的增加，平均值的標準差越來越小，測量精密度越來越高。但當測量次數(shù)〃>10以

后，次數(shù)對平均值標準差的降低效果很小。如圖「2-3所示。所以，不能夠單純通

過增加次數(shù)來提高測量精度。在科學(xué)研究中測量次數(shù)?般取10?20次，而在大學(xué)物

理實驗中一般取5?10次。

當測量次數(shù)有限時，根據(jù)式（1-2-9）與式（1-2T0）,算術(shù)平均值的標準差可

山下式進行估計

本教材中，就是采用（『2-9）和（1-2-11）式來計算直接測量量的標準差。

1.2.2系統(tǒng)誤差的處理

任何測量誤差均山隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩部分組成。因此，為了提高測量精度,

在減少隨機誤差的同時，還應(yīng)考慮系統(tǒng)誤差的處理。研究系統(tǒng)誤差的重要性主要體

現(xiàn)在以下幾個方面：

①隨機誤差的基本處理方法是統(tǒng)計方法，它的基本前提是完全排除了系統(tǒng)誤差

的影響，認為誤差的出現(xiàn)純粹是隨機的。因此，實際測量中，必須設(shè)法最大限度的

消除系統(tǒng)誤差的影響，否則，隨機誤差的研究方法及由此而得出的精度評定就失去

了意義。

②系統(tǒng)誤差與隨機誤差不同，盡管有確定的變化規(guī)律，但往往隱藏于測量數(shù)據(jù)

中，不易被發(fā)現(xiàn)。又因系統(tǒng)誤差往往各自服從自己獨特的規(guī)律，在處理時，沒有一

種通用的處理方法，只能具體情況具體分析。處理方法是否得當，很大程度上取決

于測量者的經(jīng)驗、知識和技巧。所以，系統(tǒng)誤差雖然有規(guī)律，但處理起來要比隨機

誤差困難的多，必須認真研究。

③對于系統(tǒng)誤差的研究，可以發(fā)現(xiàn)一些新事物。例如，惰性氣體是通過對不同

方法獲取的實驗數(shù)據(jù)進行誤差分析而發(fā)現(xiàn)的。

一、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

系統(tǒng)誤差往往隱藏于測量數(shù)據(jù)中，不易被發(fā)現(xiàn)，也不能通過多次測量來消除。

因此，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差對后續(xù)的處理是致關(guān)重要的。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的常用方法有以下

幾種。

1.理論分析法

包括分析實驗所依據(jù)的理論和實驗方法是否完善；儀器的工作狀態(tài)是否正常，

要求的使用條件是否得到滿足；實驗人員在實驗過程中是否有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的心理

和生理因素等。

2.對比測量法

通過改變實驗方法、測量方法、實驗條件（如儀器、人員、參數(shù)等）等手段，

對測量數(shù)據(jù)進行比較，對比研究數(shù)據(jù)之間的符合性，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

3.數(shù)據(jù)觀察與分析法

在無其它誤差存在的情況下，隨機誤差是服從統(tǒng)計規(guī)律的，如果測量結(jié)果不符

合預(yù)想的統(tǒng)計規(guī)律，則可懷疑存在系統(tǒng)誤差。對于一測量列，可采用列表或作圖的

方法，觀察殘差隨測量順序的變化規(guī)律，如有明確的變化規(guī)律（如線性、周期性等），

則可判斷存在系統(tǒng)誤差，否則，無理由懷疑存在系統(tǒng)誤差。另外，也可以采用按統(tǒng)

計規(guī)律建立的方法進行判斷，如殘差校核法（又稱馬利科夫準則）、阿貝一赫梅特準

則等。

二、系統(tǒng)誤差的處理

1.從產(chǎn)生誤差根源上消除

測量之前，先對所采用的原理和方法及儀器環(huán)境等做全面的檢查和分析，確定

有無明顯能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施，不讓系統(tǒng)誤差在實驗過程中出

現(xiàn)。例如，為了防止系統(tǒng)誤差產(chǎn)生，對儀器設(shè)備的工作狀態(tài)進行調(diào)節(jié)、檢查測量方

法和計算方法是否合理、在穩(wěn)定的環(huán)境條件下進行測量等。

2.實驗過程中采取相應(yīng)措施消除

對難以避免的系統(tǒng)誤差，有時測量過程中也可以采用一些專門的測量技術(shù)或方

法使其減小或消除。常用的方法有：

①替代法

在一定條件下，對某?被測量進行測量后，不改變測量條件，再以一個標準量

代替被測量，并使儀器呈現(xiàn)與以前相同的狀態(tài)，此時的標準量即等于被測量值。這

樣就消除了除標準量本身的定值系統(tǒng)誤差以外的其它系統(tǒng)誤差。例如，用替代法測

量電阻。

②異號法

改變測量中的某些條件（例如改變測試部件左右移動的方向、變換接線端上的

接線、改變導(dǎo)線中電流方向等），保證其他條件不變，使兩次測量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差

的符號相反，通過求取平均值，可以消除系統(tǒng)誤差。例如，靈敏電流計（光點反射

式）測電流時，改變流經(jīng)電流計的電流方向，使指針左右偏轉(zhuǎn)，求平均可以消除起

始零點不準引入的系統(tǒng)誤差；拉伸法測量楊氏模量實驗中，采用加減祛碼的方法，

記錄不同拉力時的兩組讀數(shù)，最后對同一拉力的兩個讀數(shù)求平均，可以消除鋼絲形

變滯后效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差。

③交換法

交換法實質(zhì)也屬于異號法。它是將測量中的某個條件（如被測對象的位置等）

相互交換，使產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差相互抵消。例如，用天平稱量物體質(zhì)量時，可將待測

物與祛碼交換位置，以消除天平不等臂所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差?；€電橋測量電阻時，

可以交換被測電阻和標準電阻的位置，以消除接觸電阻產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。

④差值法

差值法是通過改變實驗參數(shù)（如自變量）進行測量，并對測量數(shù)據(jù)求差值來來

獲取未知量的方法。這種方法可以消除某些定值系統(tǒng)誤差。例如，伏安法測量電阻

實驗中，改變電壓讀取電流值，通過差值法可以消除電表零位不準帶來的系統(tǒng)誤差0

同樣，在差值法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的逐差法，也具有消除系統(tǒng)誤差的作用。

3.采用修正方法對結(jié)果進行修正

實驗后，如果系統(tǒng)誤差可以通過實驗或計算得到其符號和大小，那么在實驗結(jié)

果中可以引入修正值加以消除。例如，對儀器、標準件等事先做檢定，可以得到修

正曲線或修正值，然后修正實驗結(jié)果；某些量具或儀表的零點誤差的修正等。

上述只是給出了部分針對定值系統(tǒng)誤差的處理方法，如果系統(tǒng)誤差是變化的，

可根據(jù)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，采用合理的方法進行處理。例如，測量中還可用“對

稱測量法”消除線性變化的系統(tǒng)誤差；用“半周期偶次測量法”可以消除周期性變

化的系統(tǒng)誤差等。實際測量過程中，由于系統(tǒng)誤差的復(fù)雜性，處理系統(tǒng)誤差的方法

與措施是多種多樣的，這在很大程度上取決于實驗人員的經(jīng)驗和知識水平。對于未

定系統(tǒng)誤差，一般無法修正或消除，這時可估計出誤差限，在結(jié)果中予以表示。

1.2.3粗大誤差的處理

含有粗大誤差的測量值（稱為異常值或壞值）必然導(dǎo)致測量結(jié)果的失真，從而

使測量結(jié)果失去可靠性和使用價值，數(shù)據(jù)處理時應(yīng)設(shè)法從測量數(shù)據(jù)中剔除；另一方

面，測量數(shù)據(jù)含有隨機誤差和系統(tǒng)誤差是正?，F(xiàn)象，通常測量值具有一定程度的分

散性，因此不能隨意地將少數(shù)看起來誤差較大的測量值作為異常值剔除，否則，所

得結(jié)果是虛假的。因此，建立一些法則來判斷實驗數(shù)據(jù)的合理性是必要的，通常粗

大誤差的判別方法分為

一、物理判別法

在測量過程中，及時分析和研究測量的各環(huán)節(jié)，若發(fā)現(xiàn)某數(shù)據(jù)明顯不符合物理

規(guī)律，找出造成粗大誤差的原因，并將含有粗大誤差的數(shù)據(jù)及時剔除。這種通過直

觀分析、研究各測量環(huán)節(jié)來消除異常值的方法稱為物理判別法。

二、統(tǒng)計判別法

對于不明顯的粗大誤差，在測量中難以發(fā)覺，可在測量結(jié)束后，對所有的測量

數(shù)據(jù)用統(tǒng)計的方法進行判別檢驗。

統(tǒng)計判別法的基本思想是：在無系統(tǒng)誤差的前提下，根據(jù)隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律,

建立一個統(tǒng)計量，給定顯著水平（或置信概率），確定出該統(tǒng)計量的界限，凡是超過

這個界限的誤差，就認為不屬于隨機誤差范疇，而是粗大誤差，相應(yīng)的測量值為異

常值，應(yīng)剔除。如此反復(fù)，直至沒有異常值。例如，萊以達準則中，對測量次數(shù)超

過10的一測量列占,》2,…,X,,,以極限誤差±3b作為判斷標準，并根據(jù)公式（1-2-9）

計算出它的估計值±35。按照正態(tài)分布隨機誤差的特點，在有限次測量中，超出該

極限誤差的數(shù)據(jù)不會出現(xiàn)，如果出現(xiàn)則視為壞值，因此可以檢驗每一個測量值的殘

差，若卜-司＞3S,則可以確定七為壞值予以剔除。對剔除壞值后的測量列數(shù)據(jù)再

重復(fù)進行判斷，直到無壞值為止。除此之外，肖維勒準則、格拉布斯準則等，也都

是常用的判別粗大誤差的方法，在此不做詳細介紹。

需要注意，若應(yīng)用統(tǒng)計判別法判斷出的異常值過多，應(yīng)對樣本的代表性進行檢

驗，確認假設(shè)的統(tǒng)計分布規(guī)律是否合理，所采用的方法條件是否滿足。

1.2.4儀器誤差

1.儀器的極限誤差

儀器誤差屬于未定系統(tǒng)誤差，它是由多種因素引起的，規(guī)律比較復(fù)雜，一般只

給出最大允許誤差的估計值，這個估計值即為儀器的極限誤差，用△儀表示。儀器

的極限誤差，一般由計量部門檢定，具體數(shù)值可通過儀器說明書或標牌指示計算得

到。有些儀器的極限誤差或準確度等級無明確標示，這時，如果是數(shù)字式儀表，則

可取末位數(shù)1個單位為極限誤差，如果是通過刻度讀數(shù)的儀器，可以取最小分度的

一半作為極限誤差。

2.儀器誤差的分布

,、----|A|4△儀

/（△）=2A儀??僅(1-2-12)

,0W>△儀

圖-2-4給出均勻分布的曲線。

可以推導(dǎo)，均勻分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標準差為

數(shù)學(xué)期望￡（A）=0(1-2-13)

方差。（耳=爭

(1-2-14)

標準差<7=內(nèi)0=隼

(1-2-15)

1.3直接測量的數(shù)據(jù)處理

對某一量X做等精度直接測量，得到一測量列西、X2、…、X?,經(jīng)判斷無已定系

統(tǒng)誤差和粗差后，對該直接測量列的處理主要包括以下幾方面：

1.3.1最佳估計值

根據(jù)前面的討論，算術(shù)平均值

n

Xx,

x=^—(1-3-1)

n

可以做為直接測量量的最佳估計值。

1.3.2不確定度評定

一、A類評定(TypeAevaluation)

直接測量量的標準不確定度A類分量用算術(shù)平均值的標準差估計公式計算，即

?")2F

二、B類評定(TypeBevaluation)

本課程只考慮儀器誤差的影響，標準不確定度B類分量為

=。儀=(1-3-3)

J3

三、合成不確定度(Combineduncertainty)

假設(shè)不確定度各分量之間相互獨立，則合成標準不確定度為

根據(jù)需要，有時將合成標準不確定度乘以某一倍數(shù)，得到擴展不確定度為

U=kuc(1-3-5)

式中的片為包含因子，它在確定的分布下與某個置信概率相對應(yīng)，因此，在結(jié)

果表示時應(yīng)注明置信概率。一般精度要求不高時，可近似按正態(tài)分布處理，％取2?

3o

1.3.3測量結(jié)果的表示

在得到測量值和合成標準不確定度后，測量結(jié)果通常寫為

x=x±uc(W)(7^68.3%)(1-3-6)

相對不確定度為

￡'=生(或、100%)(1-3-7)

X

如果用擴展不確定度表示，則測量結(jié)果為

x=x+U(單位)(P=?)(1-3-8)

書寫測量結(jié)果時應(yīng)注意：

1.合成標準不確定度或擴展不確定度有效數(shù)字的取位

一般情況有效數(shù)字取1?2位，大學(xué)物理實驗階段，要求測量結(jié)果的不確定度有

效數(shù)字取1位，為減小計算誤差，中間過程的不確定度各分量有效數(shù)字可以多保留

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