新高考數學二輪復習重難點05 導數?？冀浀鋲狠S小題全歸類【十大題型】（舉一反三）（解析版）

重難點05導數?？冀浀鋲狠S小題全歸類【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數切線問題】 3【題型2導數中函數的單調性問題】 4【題型3導數中函數的極值問題】 6【題型4導數中函數的最值問題】 9【題型5函數零點（方程根）個數問題】 12【題型6利用導數解不等式】 16【題型7導數中的不等式恒成立問題】 19【題型8任意存在性問題】 22【題型9函數零點嵌套問題】 26【題型10雙變量問題】 30導數是高考數學的必考內容，是高考?？嫉臒狳c內容，主要涉及導數的運算及幾何意義，利用導數研究函數的單調性，函數的極值和最值問題等，考查分類討論、數形結合、轉化與化歸等思想.從近三年的高考情況來看，導數的計算和幾何意義是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題形式考查，難度較??；利用導數研究函數的單調性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題，解題時要靈活求解．【知識點1切線方程的求法】1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：①求出函數y=f(x)在x=x0處的導數，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：①設出切點坐標T(x0,f(x0))(不出現y0)；②利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③將已知條件代入②中的切線方程求解.【知識點2導數中函數單調性問題的解題策略】1.確定函數單調區(qū)間的步驟；(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.2.含參函數的單調性的解題策略：(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數的正負及兩根的大??；若不能因式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.3.根據函數單調性求參數的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：y=f(x)在(a,b)上單調，則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.【知識點3函數的極值與最值問題的解題思路】1.運用導數求函數f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側值的符號；(5)求出極值.2.根據函數極值求參數的一般思路：

已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.3.利用導數求函數最值的解題策略：(1)利用導數求函數f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數在(a,b)內的極值；②求函數在區(qū)間端點處的函數值f(a)，f(b)；③將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.【知識點4導數的綜合應用】1.導數中函數的零點（方程的根）的求解策略(1)利用導數研究方程根（函數零點）的技巧①研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等．②根據題目要求，畫出函數圖象的走勢規(guī)律，標明函數極（最）值的位置．③利用數形結合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現．(2)已知函數零點個數求參數的常用方法①分離參數法：首先分離出參數，然后利用求導的方法求出構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．②分類討論法：結合單調性，先確定參數分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各小范圍并在一起，即為所求參數范圍．2.導數中恒成立、存在性問題的求解策略恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數法，轉化為求具體函數的最值問題．如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論，利用函數性質求解，常見的是利用函數單調性求解函數的最大、最小值；當不能用分離參數法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數圖象來求解，即利用數形結合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應先構造函數，結合函數圖象，利用導數來求解．【題型1函數切線問題】【例1】（2023·全國·模擬預測）若曲線y=1?xex有兩條過點Aa,0的切線，則a的取值范圍是（

）A．?∞,?1C．?∞,?3【解題思路】根據題意，由導數的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計算，即可得到結果.【解答過程】設切點為x0,1?x0切線方程為y?1?∵直線過點Aa,0，∴?化簡得x0∴Δ=a+12?4>0，則故選：D.【變式1-1】（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知函數fx=1ex?1，則曲線A．ex+y+1=0 B．C．ex+y?1=0 D．【解題思路】先由導數求切線的斜率，再求出切點，結合點斜式方程寫出即可.【解答過程】由fx=1所以f′?1=?故曲線y=fx在點?1,f?1處的切線的方程為y?e故選：A.【變式1-2】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）若直線y=kx與曲線y=lnx相切，則k=（A．1e2 B．2e2【解題思路】利用導數的幾何意義計算即可.【解答過程】設切點為x0,ln所以1x故選：C.【變式1-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）函數fx=12x2+aA．?2,1 B．?2,?1 C．?2,0 D．?3,?2【解題思路】利用導數的幾何意義結合導函數的單調性計算即可.【解答過程】由fx不妨設這兩條相互垂直的切線的切點為x1,f若a≥0，則f′所以a<0，此時易知y=f要滿足題意則需f'故選：D.【題型2導數中函數的單調性問題】【例2】（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間0,+∞上單調遞增的是（

A．y=1x2 B．y=e【解題思路】求導判斷函數單調性，并結合偶函數的定義逐一判斷即可.【解答過程】對于A選項：當x∈0,+∞時，y=1所以y=1x2對于B選項：當x∈0,+∞時，y=e所以y=e?2x在對于C選項：當x∈0,+∞時，y=?x所以y=?x2+1對于D選項：當x∈0,+∞時，y=lg所以y=1x2又函數y=lgx的定義域為?∞故選：D.【變式2-1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數fx=2x?1ex?xA．0 B．1e C．e【解題思路】結合導數，將fx在R上單調遞增轉化為f′x=2xe【解答過程】由題意可得f′因為fx在R上單調遞增，所以f即a≤2xe設gx=2xe令?x=2x+2當x<?2時，?′x<0，x>?2故?x在?∞,?2故?xmin=?x→?∞時，?故當x<0時，g′x<0，當x>0則gx在?∞,0故g(x)min=g故選：A.【變式2-2】（2023·全國·模擬預測）已知x=ln56，y=2425A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【解題思路】設函數fx=xlnx，利用函數單調性，比較x，y的大小，再結合lnx≤x?1【解答過程】設fx=xlnx（x>0），則f'x=lnx+1>0又1e<45<56所以f設gx=lnx?x+1，則g'x=1x?1=1?x所以gx≤g1=0，故lnx?x+1≤0?ln所以ln56≤故選：A.【變式2-3】（2023·河南·模擬預測）已知函數fx=exx+ax在A．0,+∞ B．C．?∞,?4【解題思路】由導函數f′(x)≥0在【解答過程】f′x=exx2+ax?ax2，因為函數fx=exx+ax在0,+∞上單調遞增，所以當x∈0,+∞時，f′x=exx2+ax?ax2故選：D．【題型3導數中函數的極值問題】【例3】（2023·四川成都·校考模擬預測）已知函數fx=x3?2ax2A．1 B．3 C．1或3 D．?1或3【解題思路】由fx在x=1處有極小值可知，f′1【解答過程】因為fx所以f′因為函數fx=x所以f′1=3?4a+a2當a=1時，f′當f′x>0時，x<13或x>1fx在x=1當a=3時，f′當f′x>0時，x<1或x>3，當ffx在x=1綜上：a的值為1.故選：A.【變式3-1】（2023·全國·模擬預測）函數f(x)=2x?tanx?π在區(qū)間?A．π2+1，?π2C．3π2?1，?π【解題思路】求出f′x，由f′【解答過程】由題意，得f′當x∈?π2,?π當x∈?π4,π所以f(x)在?π2,?π4當x=?π4時，f(x)取得極小值，為當x=π4時，f(x)取得極大值，為故選：D．【變式3-2】（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎瘮礷x=ex+x22?A．x1>x2 B．x【解題思路】根據題目條件求出x1∈1【解答過程】fx=ef′x=ex+x?1所以?x1∈所以當0<x<x1時f′x<0，當x>x1時f則fx在x=x1?x=lnx2x當x∈0,e時，?′x>0故?x=lnx2x即x2=1故選：A.【變式3-3】（2023·廣東廣州·廣州?？寄M預測）設函數fx=sinωx+π5(ω>0)A．ω的取值范圍是12B．fx在0,C．若x=3π25是fx在D．若x=3π25是fx在0,2π【解題思路】選項A，利用函數有5個零點，根據整體思想，可得答案；選項B，根據正弦函數的單調性，利用整體思想，結合選項A，求其最值，可得答案；選項C，根據正弦函數零點的計算公式，建立方程，可得答案；選項D，先求直線與三角函數的公共點，根據導數的幾何意義，可得答案.【解答過程】∵fx=sinωx+ππ5≤ωx+π5≤2當0<x<π10時，當ω=2910時，若x=3π25是fx在0,2π由C得fx=sin52點M在fx上，f′x所以直線y=?52x+故選：C.【題型4導數中函數的最值問題】【例4】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）函數fx=x2+a?1x?3A．?32C．?43【解題思路】求出f′(x)=2x2+(a?1)x?3x，設g(x)=2【解答過程】f′設g(x)=2x2+(a?1)x?3，因為Δ又g(0)=?3<0，因此g(x)=0兩根一正一負，由題意正根在(1,2)內，所以g(1)=2+(a?1)?3<0g(2)=8+2(a?1)?3>0，解得?故選：A．【變式4-1】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預測）若函數f(x)=2x3?ax2+1(a∈R)在A．1 B．?4 C．?3 D．5【解題思路】分類參數可得a=2x+1x2x>0，構造函數?x=2x+1x2【解答過程】函數f(x)=2x3?a即方程f(x)=2x3?a分離參數可得a=2x+1令?x則函數y=?x?′當0<x<1時，?′x<0，當x>1所以函數?x在0,1上單調遞減，在1,+所以?x又當x→0時，?x→+∞，當x→+如圖，作出函數?x由圖可知a=3，所以f(x)=2x3?3當?1<x<0時，f′x>0，當0<x<1所以函數fx在?1,0上單調遞增，在0,1又f?1所以f(x)在[?1,1]上的最大值為1，最小值為?4，所有f(x)在[?1,1]上的最大值與最小值之和為1?4=?3.故選：C.【變式4-2】（2023·廣東湛江·?？寄M預測）已知函數f(x)=ex+x3A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．(?【解題思路】f'x在0,1上遞增，根據fx在0,1上有最小值，可知f【解答過程】∵f'xf'這時存在x0∈(0,1)，使得f(x)在區(qū)間(0,x0)上單調遞減，在區(qū)間[所以a的取值范圍是?e,2.故選：A.【變式4-3】（2023·浙江嘉興·?？寄M預測）已知函數fx=xlnx，gx=xex，若存在A．2?ln4 B．2+ln4【解題思路】由題設知f(x1)=f(ex2)=t，研究f(x)的單調性及最值，畫出函數圖象，數形結合確定y=t>0、f(x)【解答過程】由題設x1lnx由f′(x)=1+lnx，則(0,1e)上f′(x)<0f(x)≥f(1e)=?1e

由圖知：t∈(0,+∞)時，x1=ex2令?(x)=x?2lnx且x∈(1,+∞1<x<2時，?′(x)<0，?(x)遞減；x>2時，?′所以?(x)min=?(2)=2?2ln2=2?故選：A.【題型5函數零點（方程根）個數問題】【例5】（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知函數fx=x3+2x2A．?∞,?1C．?∞,0【解題思路】零點個數問題轉化為根的個數問題，進而轉化為兩個函數交點個數問題，通過對k討論，進而得到k的取值范圍.【解答過程】當x≥0，f(x)=x3+2因為x≥0，f′所以當x≥0時，f(x)單調遞增，若函數gx則fx即y=fx與y=?(x)=當k=0時，y=fx與y=

兩圖象只有兩個交點，不符合題意，當k<0時，y=kx2?4x與x軸相交與兩點當x=2k時，函數y=k當x=2k時，函數y=?2x的函數值為所以兩圖象有四個交點，符合題意，

當k>0時，y=kx2?4x與x圖象如下：

在[0,4只需要y=x3+2x2因為x>4k，所以所以有x3+2x即kx2=所以在k=x+5x+2因為y=x+5x+2≥2所以4k<5且k>2綜上所述，k的取值范圍為(?∞故選：D.【變式5-1】（2023·海南省直轄縣級單位·校聯考二模）已知函數fx=ex,x≥0?3x,x<0，若函數A．1 B．3 C．4 D．5【解題思路】本題首先通過函數奇偶性求出g(x)=3x?ex【解答過程】當x>0時，?x<0，f當x<0時，?x>0，f∴g(x)=f(?x)?f(x)=3x?g(?x)=f(x)?f(?x)=?g(x)，且定義域為R，關于原點對稱，故gx所以我們求出x>0時零點個數即可，g(x)=3x?ex,x>0，g′(x)=3?故gx在0,ln3且g(ln3)=3ln3?3>0，而g2g13=1?e1故gx在0,+∞上有2個零點，又因為其為奇函數，則其在?∞,0上也有2個零點，且故選：D.【變式5-2】（2023·陜西商洛·陜西?？寄M預測）已知函數fx=xex,x<0?x2A．?∞,?1e B．?【解題思路】求導分析函數fx的單調性及極值，作出函數fx的圖象，把方程f2【解答過程】因為當x<0時，fx=xe所以當x∈?∞,?1時，f當x∈?1,0時，f′x>0，fx又因為當x≥0時，fx所以fx在x∈0,1時單調遞增，在x∈1,+所以作出函數fx

由f2x?所以fx=2或fx=t，則數形結合可知?1故選：B.【變式5-3】（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？寄M預測）已知函數fx=x2?2xex，若方程fA．?1e,0 B．?2【解題思路】對fx求導，研究函數fx的單調性、極值等性質，利用fx的圖象求得x2的范圍，以及a與【解答過程】因為fx=x令f′x=0當x<?2或x>2時，f′(x)>0；故fx在?∞,?2單調遞增，在則fx的極大值為f?2=2+2∵fx∴當x<0時，f(x)>0；當0<x<2時，f(x)<0；當x>2時，f(x)>0，根據以上信息，作出fx由圖可知，直線y=a與函數y=f(x)的圖象有3個交點時，方程fx=a有3個不同的實根，則因為方程fx=a的3個不同的實根為x1又因為fx2故ax2?2令?x則?′x=x+1e當?2<x<?1時，?′當?1<x<0時，?′(x)>0，所以?(x)min=?(?1)=?1e，又?(?2)=?所以x∈?2,0時，?x∈故選：A．【題型6利用導數解不等式】【例6】（2023·陜西榆林·?？寄M預測）已知定義在0,+∞上的函數fx滿足f′x?fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．?【解題思路】構造函數gx=fxx?lnx，根據題意得gx【解答過程】設gx=f因為f′x?所以g′x>0，所以g不等式fex?又gex=即gex>g1，所以即不等式fex?故選：A．【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）若函數f(x)為偶函數，且當x≥0時，f(x)=x3+2x2+3．若A．[?23,4] B．[?4,2] C．[?2,4]【解題思路】利用導數判斷得f(x)在0,+∞上的單調性，再利用偶函數的性質得到a【解答過程】因為當x≥0時，f(x)=x3+2所以f(x)在0,+∞又f(x)為偶函數，f(?9)≥fa2?2a+1則a2?2a+1≤9，即?9≤故選：C．【變式6-2】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）設函數f′x是函數f(x)(x∈R)的導函數，f3=eA．0,3 B．1,3 C．?∞,3【解題思路】根據題意構造函數gx=fxex，求導后判斷其單調性，然后由【解答過程】令gx=fxex，則因為f3=e則fx?e即gx>g3所以不等式的解集為3,+∞故選：D.【變式6-3】（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）已知fx=lnx?ax3，gxA．ln327,ln28【解題思路】由已知得出g′x=x+1xex?1x，令?x=xex?1，根據其導數得出?x再x>0上單調遞增，設?x0=x【解答過程】gx=xeg′令?x=xex?1∴?x再x>0x從+∞趨向于0時，xex趨向于0，則?設?x0=x0則在x∈0,x0上?x∈∴在x∈0,x0上g′x∴gx在0,x0∴gx則fxgxfx=ln則fx>0，即lnx?a令jx=ln1?3lnx<0，解得x>e13則當x∈0,e13時，j′則jx=lnxx即jx的最大值在x=令jx=lnxx3=0函數jx=lnxx3當x由+∞當x由+∞→0時，lnx→+∞，x3→+∞作jx∴要使a<ln∴j4≤a<j3，解得故選：C.【題型7導數中的不等式恒成立問題】【例7】（2023·全國·模擬預測）已知函數f(x)=lnx2+1+x+ex?e?x【解題思路】構造函數g(x)，?(x)，利用導數討論g(x)，?(x)的單調性、奇偶性，進而構造函數F(x)=f(x)?3，將原不等式等價轉化Faex>F(lnx?ln【解答過程】令g(x)=lnx2+1+x，因為x∈R易知g(x)在R上單調遞增．同理令?(x)=ex?由于?′(x)=ex+因此f(x)=lnx2令F(x)=f(x)?3=gx+?x則F(x)是在R上單調遞增的奇函數．不等式faex故Faex>?F(ln即ex+lna則G′(x)=ex+1>0，G(x)在R則x+lna>ln令H(x)=lnx?x，則H′(x)=1令H′(x)<0，得x>1，故H(x)在(0,1)上單調遞增，在故H(x)max=H(1)=?1，故ln故實數a的取值范圍是1e故答案為：1e【變式7-1】（2023·陜西咸陽·咸陽?？寄M預測）已知fx,gx分別是定義域為R的偶函數和奇函數，且f(x)+g(x)=ex，若關于x的不等式2fx?ag2【解題思路】參變分離，將問題轉化為函數最值問題，利用導數研究單調性，結合換元法可解.【解答過程】因為fx,gx分別是定義域為R所以f(?x)+g(?x)=e?x，即聯立①②解得，fx因為y=ex,y=?所以y=ex?e?x故不等式2f令t=ex+e?x，因為當x∈所以2<t<5又ex所以ex因為y=t,y=?4t在2,52上都為增函數，所以所以4t?4t>409，所以故答案為:40【變式7-2】（2023·陜西咸陽·武功?？寄M預測）已知fx是定義在0,+∞上的可導函數，若xf′x?fx=xex，f【解題思路】由fx=x?fxx，求導，根據xf′x?fx=xe【解答過程】解：由于xf因為fxf′設gx則g′所以當x∈0,1時，g′x當x∈1,+∞時，g′所以gxmax=g故fx在0,+又由于x≥1時，f所以xe設y=x+ln故x≥1時，x+lnx?a>0，只需1?a>0又由于xex≥x+lnx?a設t=xex，由x≥1，得t≥e，故xe令?t=t?ln故當t∈e,+∞所以t∈e,+∞若使t?只需e?1+a≥0，即a≥1?e.綜上，故答案為：1?e【變式7-3】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）已知函數fx=ex+ax?2，其中a∈R，若對于任意的x1,x2∈【解題思路】根據題意轉化為fx1+ax1<fx2+ax2對任意的x1,x【解答過程】由對于任意的x1,x2∈則fx1+a令?x=fx+a即?x在區(qū)間2,+又由fx=e則?′x=xe即xex?ex+2?a≥0在令gx=xe所以函數gx為單調遞增函數，所以g則a?2≤e2，解得a≤e2+2故答案為：?∞【題型8任意存在性問題】【例8】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在x0∈?1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．【解題思路】等價變形給定的不等式，并令aex0=t，構造函數f(t)=e【解答過程】依題意，x0+e2?e令aex0=t，即e2令f(t)=e2?1lnt?2t+2求導得f′(t)=e2?1t?2=e2因此函數ft在e2?1而f(1)=0,fe2=e2則當1≤t≤e2時，f(t)≥0，若存在t∈a只需ae2≤e2且ae?1所以a的取值范圍為1e故選：D.【變式8-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數f(x)=13x3，g(x)=ex?12x2?x，A．(?∞,e?2] B．(?【解題思路】存在性問題轉化為k<ex?x?1x2【解答過程】f(x)=13x由g(x)=ex?令?(x)=ex?x?1當x>0時，?′即?(x)=ex?x?1所以?(x)>?(0)=0，即g′所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增，即g(x)在不妨設1≤x2<x1∴gx1即gx令F(x)=g(x)?kf(x)=e則F′∵?x1,∴F′(x)>0即k<ex?x?1∴k<ex?x?1令G(x)=ex?x?1則G′(x)=(x?2)則m′(x)=(x?1)ex+1故m(x)在[1,2]上單調遞增，所以m(x)≥m(1)=3?e故G′(x)>0，G(x)在∴G(x)∴k<e故選：D.【變式8-2】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數fx=x2ex,x>0.若存在實數a∈A．12,1 B．12,1【解題思路】依題意，令ga=a3?12a2?2a+e?1,a∈0,1，求出gmax【解答過程】令ga=a∴當a∈0,1時，g′a≤0，函數∴gmax若存在實數a∈0,1，使得不等式f2?1又∵f1=e?1，∵fx=x當x∈0,2時，f′x>0，函數當x∈2,+∞時，f′x<0∵m為正實數，∴2?1又∵函數fx在0,2上單調遞增，∴0<2?1∴正實數m的取值范圍為12故選：A.【變式8-3】（2023·貴州·校聯考二模）已知函數fx=xex+2a，gx=elnxx，對任意A．?e2C．?e2【解題思路】將問題轉化為fxmin≥gxmin，利用導數求fx在【解答過程】對任意x1∈1,2，?x2f′(x)=exx+1，x∈1,2，∴fxg′(x)=e1?lnxx2，x∈e,3，g′(x)<0，則g1=0，g3綜上，e+2a≥0?a≥?故選：C.【題型9函數零點嵌套問題】【例9】（2023·四川成都·石室中學校考一模）已知函數fx=lnx2?a2xlnx+aeA．?1e2?e,0【解題思路】令f(x)=0，將原函數的零點轉化為方程lnx2?a2xlnx+aex【解答過程】令f(x)=0，得lnx2?令t=lnxx設g(x)=lnxx令g′(x)=0，解得x=e當x∈0,e時，g′當x∈e,+∞時，g則g(x)在x=e時，有最大值為g(則當t=gx當t=gx當t=gx當t=gx因為原方程為t2由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根t1、t2，設則有t1+t若a=0，則t1若a>0，則t1+t有0<t1<t2，即有0<若a<0則t1<0，t1=設?(t)=t2?a2所以2ln故選：D.【變式9-1】（2023·四川成都·四川?？寄M預測）已知a>1，x1,x2,x3為函數f(x)=A．x3xC．x3x2>2ln【解題思路】x1,x2,x3為函數f(x)=【解答過程】易知x1<0<x2<∴∴x2解之：x3又f(x)=a即y=xlna與y=lnx切線方程為：y?2lnt=此時k=2∴故選：C.【變式9-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數fx=ex?1x+xex?1+x+a，若fx=0A．e,+∞C．?8e,+【解題思路】對函數變形，利用導數研究函數的單調性及圖象，把原函數有3個不同的解轉化為t2【解答過程】fx令t=ex?1x令t′>0得x>1，令t′<0得所以t=ex?1x在?∞,0，0,1如圖：

則t=e所以fx=0有3個不同的解等價于t+1t+1+a=0整理可得t2+a+1t+a+1根據根的分布得a+1<01+a+1+a+1<0，解得a<?32所以2e故選：A.【變式9-3】（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知正實數a使得函數f(x)=ex?ax(x?alnx)有且只有三個不同零點x1A．x1+C．x1x【解題思路】根據給定條件，利用函數零點的意義用x表示a，再數形結合探求出x1【解答過程】依題意，由f(x)=0得：ex=ax,x=aln令g(x)=exx(x>0),?(x)=x當x∈(0,1)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減，當x∈(1,+∞)時，當x∈(1,e)時，?′(x)<0，函數?(x)單調遞減，當x∈(e函數y=f(x)有三個零點，即直線y=a與函數g(x)=exx在同一坐標平面內作出函數g(x)=exx(x>0)與函數因此直線y=a必過點A，令直線y=a與函數g(x)=exx(x>0)的圖象另一交點為C(x3,y3由ex1x1=x2lnx由ex2x2=x3lnx由ex2x2=對于A，x1對于B，令φ(x)=ex?x?1,x>1，φ′(x)=即有φ(x)>φ(1)=e?2>0，因此ex而a=ex1對于C，因為x1x3=x令u(x)=ex?4x,x>0，u′(x)=當x∈(ln4,+∞)時，因此函數u(x)=ex?4x,x>0的兩個零點，即方程e令t(x)=x?4lnx,x>1，t′(x)=1?4當x∈(4,+∞)時，t′因此函數t(x)=x?4lnx,x>1的兩個零點，即方程xln顯然直線y=4與函數g(x)=exx所以a≠4，即x1故選：D.【題型10雙變量問題】【例10】（2023下·福建福州·高二?？计谥校┮阎瘮礷x=x?2ex，若fx1A．x1>12 B．x【解題思路】利用導數討論函數f(x)的單調性，設x1<x2、f(x0)=?2且x0≠0【解答過程】f(x)=(x?2)ex，則f′當x∈(?∞,1)時f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(1,+∞在x∈(?∞,2)上f(x)<0，且f(2)=0，f(0)=?2，f(x)綜上，f(x)的圖象如下：結合fx1=fx2如上圖，若f(x0)=(x0?2)e又f(32)=(32令g(x)=f(1+x)?f(1?x)=(x?1)e則g′當x≥0時，x+1≥1?x，得ex+1≥e當x<0時，x+1<1?x，得ex+1<e所以函數g(x)在R上單調遞增，且g(0)=0，所以f(1+x)>f(1?x)在R上恒成立，得f(x即f(x2)>f(2?x2由2?x2<1，且函數f(x)在x∈(?∞,1)又0<x1<1<x2<x故選：D.【變式10-1】（2023·廣西河池·校聯考模擬預測）若實數x,y滿足4lnx+2lnA．xy=24C．x+2y=1+2 D．【解題思路】根據題意將原不等式化簡為ln[(12x2)?(4y)]≥12x2+4y?2，令a=12x2,b=4y(a>0,b>0)，可知原不等式等價于(ln【解答過程】∵4ln∴2[ln即ln(∴l(xiāng)n[(設a=12x2,b=4y(a>0,b>0)∴(ln令g(x)=lnx?x+1，則∴當x∈(0,1)時，g′(x)>0，當x∈(1,+∞)時，g′∴g(x)max=g(1)=0要使(lna?a+1)+(ln只有當a=b=1時，即g(a)=g(b)=0時才滿足，∴a=∴x=2,y=1故選：A.【變式10-2】（2023下·河南信陽·高二淮濱高中?？茧A段練習）設函數fx=exx?aexA．0<a<13C．?12【解題思路】據題意，對函數f(x)求導數，得出導數有兩不等變號零點，轉化為兩函數有兩個不同變號交點的問題，結合圖象即可得出a、x2、f0的取值范圍,可知A,B錯誤，C正確；根據x2+1x1+1=ex【解答過程】解：∵函數f(x)=e∴f′(x)=(x+1?2a·e由于函數f(x)的兩個極值點為x1，x即x1，x2是方程f′(x)=0即方程當a=0時，x=?1，不滿足兩個根，故當a≠0時，x+12a設y1=x+1y1=x+1過點?1,0做y2=ex的切線則kl=ex0?0在同一坐標系內畫出這兩個函數的圖象，如圖所示：應滿足12a解得0<a<1所以a的取值范圍是0,12，故結合圖象，易知?1<x1<0<f0=e0由x1，x2是方程f′(x)=0即方程x1+1=2a則f=====∵?1<∴當x2∈0,1時，fx故選：C．【變式10-3】（2023·全國·高三專題練習）已知a>b>0，bln①b<e；②b>e；③?a,b滿足a?b<e2；④則正確結論的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解題思路】由由blna=alnb，則lnaa=lnbb，設fx=ln【解答過程】由blna=alnb，則ln當0<x<e時，f′x>0，當所以fx在0，e上單調遞增，在e,+∞又f1=0，當x>1時，有fx由blna=alnb，即fa設lnaa=兩式相減得lna?ln兩式相加得ln設a?t=?所以?′t在1，所以?t在1，+∞上單調遞增，所以1+tlnt所以a?b>e綜上，正確的命題是①④，故選：C.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線y=exx+1在點1,A．y=e4x B．y=e【解題思路】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.【解答過程】設曲線y=exx+1在點1,因為y=e所以y′所以k=所以y?所以曲線y=exx+1在點1,故選：C.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數fx=aex?lnxA．e2 B．e C．e?1【解題思路】根據f′x=a【解答過程】依題可知，f′x=aex?1設gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1故選：C．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數fx=x3+ax+2A．?∞,?2 B．?∞,?3【解題思路】寫出f′【解答過程】f(x)=x3+ax+2若fx要存在3個零點，則fx要存在極大值和極小值，則令f′(x)=3x2+a=0且當x∈?∞,?當x∈??a3故fx的極大值為f??a若fx要存在3個零點，則f??a3>0故選：B.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當x=1時，函數f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則A．?1 B．?12 C．【解題思路】根據題意可知f1=?2，f′1=0【解答過程】因為函數fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=?2，f′1=0，而f′x=ax?bx2，所以故選：B.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知a=3132,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b【解題思路】由cb=4tan14結合三角函數的性質可得c>b【解答過程】[方法一]：構造函數因為當x∈故cb=4tan14設f(x)=cosf′(x)=?sinx+x>0，所以故f14>f(0)所以b>a，所以c>b>a，故選A[方法二]：不等式放縮因為當x∈0,取x=18得：cos4sin14+當4sin14+此時sin14故cos14=1所以b>a，所以c>b>a，故選A[方法三]：泰勒展開設x=0.25，則a=3132=1?c=4sin14[方法四]：構造函數因為cb=4tan14，因為當x∈0,π2,sinx<x<tanx，所以tan14>14,即cb故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為cb=4tan14，因為當x∈0,π2,sinx<x<tanx，所以tan14故選：A．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

A．18,814 B．274,【解題思路】設正四棱錐的高為?，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【解答過程】∵球的體積為36π，所以球的半徑R=3,[方法一]：導數法設正四棱錐的底面邊長為2a，高為?，則l2=2a所以6?=l2所以正四棱錐的體積V=1所以V′當3≤l≤26時，V′>0，當2所以當l=26時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為64又l=3時，V=274，l=33所以正四棱錐的體積V的最小值為274所以該正四棱錐體積的取值范圍是274故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以V=43a2?=當?=32時，得a=當l=33時，球心在正四棱錐高線上，此時?=22a=33故選：C.7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（A．eb<aC．0<a<eb【解題思路】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；解法二：畫出曲線y=ex的圖象，根據直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和【解答過程】在曲線y=ex上任取一點Pt,et所以，曲線y=ex在點P處的切線方程為y?e由題意可知，點a,b在直線y=etx+令ft=a+1?t當t<a時，f′t>0當t>a時，f′t<0所以，ft由題意可知，直線y=b與曲線y=ft的圖象有兩個交點，則b<f當t<a+1時，ft>0，當t>a+1時，ft

由圖可知，當0<b<ea時，直線y=b與曲線故選：D.解法二：畫出函數曲線y=ex的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知

故選：D.8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數fx的定義域為R，fxy=A．f0=0C．fx是偶函數 D．x=0為f【解題思路】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例f(x)=0即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數f(x)=x【解答過程】方法一：因為f(xy)=y對于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=?1，f(1)=f(?1)+f(?1)=2f(?1)，則