新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性【九大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題2.2函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 2【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 3【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】 4【題型4函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】 4【題型5函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】 5【題型6函數(shù)的周期性及其應(yīng)用】 5【題型7利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】 6【題型8利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】 6【題型9函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 71、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性從近五年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，利用性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較?。粚?duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查難度較大.【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.3.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.4.復(fù)雜函數(shù)求最值：對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】1.函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫(huà)函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對(duì)稱性常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=SKIPIF1<0，則T=2a；(5)若f(x+a)=SKIPIF1<0，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=x2?4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．(?∞,?2) B．(?C．(?2,2) D．(?2,0)和(2,+【變式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中?？计谥校昂瘮?shù)fx在區(qū)間1,2上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【變式1-2】（2022·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=x2?2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+C．12,+【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023上·江西鷹潭·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2ax+4,x?1,1A．?1,?12C．?1,?12【變式2-1】（2023·山西·校考模擬預(yù)測(cè)）已知fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，?x∈R,ffx?xA．114 B．116 C．134 D．136【變式2-2】（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）命題p:fx=x2+ax?8,?1≤x≤1?a+4x?3a,x<?1在x∈(?∞,1]上為增函數(shù)，命題q:g(x)=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-3】（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，存在常數(shù)tt>0，使得對(duì)任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈0,t時(shí)，f(x)=x?t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測(cè)）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【變式3-1】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x?2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±【變式3-2】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【變式3-3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽+，對(duì)于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，當(dāng)x>1時(shí)，都有A．5 B．6 C．8 D．12【題型4函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】【例4】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x?1x?2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．f(x+1)?2 B．f(x+2)?2 C．f(x?2)+2 D．f(x+1)+2【變式4-1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+1是奇函數(shù)，f2x+3A．f0=0 B．f4=0【變式4-2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2?ax+a?1，則滿足A．?∞,?1∪0,1 B．?1,1【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【題型5函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】【例5】（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=xA．fx是偶函數(shù) B．fC．fx的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱 D．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)【變式5-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x有fx+2=fx+1?fx，若y=f2x的圖象關(guān)于直線x=A．2 B．1 C．?1 D．?2【變式5-2】（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)y=fx滿足fa+x+f(a?x)=2b，則說(shuō)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b對(duì)稱，則函數(shù)A．(?1011,2022) B．1011,2022 C．(?1012,2023) D．1012,2023【變式5-3】（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，f3=0，且對(duì)任意的x1,x2∈?A．?∞,1C．?4,?1∪1,2【題型6函數(shù)的周期性及其應(yīng)用】【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知fx+1=1?fxa+fx.若A．2 B．1 C．?1 D．?2【變式6-1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，對(duì)任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0【變式6-2】（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x+1)=?f(x)，且x∈[0,1)時(shí)；f(x)=log2(x+1)，給出下列命題：①f(2013)+f(?2014)=0；②函數(shù)f(x)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y=x與函數(shù)y=f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)的值域?yàn)??1,1)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式6-3】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx,gx的定義域?yàn)镽,gx的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，且g①g(?3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=?4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【題型7利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023上·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【變式7-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)y=fx滿足以下條件：①函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1軸對(duì)稱，②對(duì)任意x1,x2∈(?∞,1]，當(dāng)x1≠A．f32C．f32【變式7-2】（2023上·陜西西安·高一高新一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x1<x2時(shí)，fx2?fx1x2?xA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【變式7-3】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx?1=?1fx+1成立且fx在?2,0上單調(diào)遞增，設(shè)a=f6，b=f22，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a【題型8利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例8】（2023上·廣東廣州·高一?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(?x)=2，且x≥0時(shí)，f(x)=x?1x+1+2，則不等式xf(x)<0A．(?∞,0)C．1?52【變式8-1】（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意0<x1<x2，均有x2A．?∞,?3C．?3,0∪0,3【變式8-2】（2022上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2ax+bx2(1)確定函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈?1,1時(shí),判斷函數(shù)f(3)解不等式f2x+1【變式8-3】（2023上·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，滿足f?2=?4，且當(dāng)m,n∈(1)判斷函數(shù)fx(2)解不等式：f5x?1(3)若fx≤2at3?t+4【題型9函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例9】（2022上·江蘇蘇州·高一?？计谥校┮阎婧瘮?shù)fx和偶函數(shù)gx(1)求fx和g(2)判斷并證明gx在0,+(3)若對(duì)于任意的x1∈1,2，存在x2∈【變式9-1】（2023上·湖南株洲·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)y=φ(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y=φ(a+x)?b是奇函數(shù)，給定函數(shù)f(x)=x?6(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx在區(qū)間(0,+(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g(x)=x2?mx+m.若對(duì)任意x1∈[0,2]，總存在x【變式9-2】（2023上·浙江湖州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=fx為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,b對(duì)稱，證明：(3)已知函數(shù)f(x)=x?e22+lnecxe2?x，其中c>0【變式9-3】（2023上·江蘇無(wú)錫·高一?？计谥校┰O(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ex+a（1）若a=1，求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；（2）若a<0．①判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4?1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若fx=x+aln2x?1A．?1 B．0 C．122．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=xA． B．C． D．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=1?x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．fx?1?1 B．fx?1+14．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122f(k)=（A．?3 B．?2 C．0 D．15．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+2為偶函數(shù)，f2x+1A．f?12=0 B．f6．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f1+x=f?x.若f?A．?53 B．?137．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域是R，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有fx2A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)8．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減，且f(2