高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.6對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)(精講)(原卷版+解析)

2.6對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0(5)當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)【題型精講】【題型一對(duì)數(shù)的運(yùn)算】必備技巧解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg2＋lg5＝1.例1(2023·濟(jì)南市歷城二中·月考）計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).例2(2023·內(nèi)蒙古包頭市·高三月考）已知，則（）A． B． C． D．例3(2023·貴州遵義·高三開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·浙江高三月考）化簡(jiǎn)求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．2．(2023·安徽·安慶市高三期末）已知，，用，表示，則（

）A． B． C． D．【題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象】必備技巧對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題對(duì)于有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．例4(2023·四川高三開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A． B． C． D．例5(2023·浙江高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于c1、c2、c3、c4的a值依次為()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·四川高三三模）函數(shù)及，則及的圖象可能為（）A． B．C． D．2.(2023·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】必備技巧對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．例7(2023·四川自貢高三月考）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．例8（1）(2023·上海高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________．（2）(2023·重慶高三期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。例9（1）(2023·新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高三期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．（2）(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．35?a<34 B． C．35?a<（3）(2023·運(yùn)城市新康國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型精練】1.(2023·河北邯鄲市高三月考）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽，又，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．(2023·陜西·榆林市第十中學(xué)高三期中）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3.(2023·四川成都市·高三月考）函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)__________．4.(2023·合肥市第六中學(xué)高三期中）已知函數(shù)則使得成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型四對(duì)數(shù)比較大小】例10(2023·廣東中山·高三期末）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．例11(2023·遼寧高三模擬）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·安徽高三月考）已知，則（）A． B．C． D．2.(2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．3.(2023·浙江高三模擬）若，，，則（）A． B． C． D．【題型五對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題】必備技巧對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題(1)有關(guān)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域問(wèn)題．(2)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式恒成立及能成立問(wèn)題．(3)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有解問(wèn)題．例12(2023·濰坊高三月考）已知函數(shù)（且）．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2），，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．【題型精練】1．(2023·淄博高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)．（1）試判斷不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給予證明；（2）若“”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2.6對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0(5)當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)【題型精講】【題型一對(duì)數(shù)的運(yùn)算】必備技巧解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg2＋lg5＝1.例1(2023·濟(jì)南市歷城二中·月考）計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).【解析】(1)原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq\f(29,5).例2(2023·內(nèi)蒙古包頭市·高三月考）已知，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，，，.故選：B.例3(2023·貴州遵義·高三開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】.故選：C【題型精練】1．(2023·浙江高三月考）化簡(jiǎn)求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．答案：（1）5（2）3（3）0（4）3（5）【解析】（1）．（2）.（3）.（4（5）．2．(2023·安徽·安慶市高三期末）已知，，用，表示，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意知，故選:D．【題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象】必備技巧對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題對(duì)于有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．例4(2023·四川高三開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A． B． C． D．答案：B【解析】令，，則，即函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)．故選：B．例5(2023·浙江高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于c1、c2、c3、c4的a值依次為()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)答案：A【解析】方法一觀察在(1，＋∞)上的圖象，先排c1、c2底的順序，底都大于1，當(dāng)x＞1時(shí)圖象靠近x軸的底大，c1、c2對(duì)應(yīng)的a分別為eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考慮c3、c4底的順序，底都小于1，當(dāng)x＜1時(shí)圖象靠近x軸的底小，c3、c4對(duì)應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)、eq\f(1,10).綜合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故選A.方法二作直線y＝1與四條曲線交于四點(diǎn)，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于底數(shù))，所以橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以c1、c2、c3、c4對(duì)應(yīng)的a值分別為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故選A.例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．答案：C【解析】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象位于軸下方的圖象關(guān)于軸翻折，位于軸上方圖象不變，可得到函數(shù)的圖象.故合乎條件的圖象為選項(xiàng)C中的圖象.故選：C.【題型精練】1.(2023·四川高三三模）函數(shù)及，則及的圖象可能為（）A． B．C． D．答案：B【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增且定義域?yàn)?，此時(shí)與y軸的截距在上，排除C.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減且定義域?yàn)?，此時(shí)與y軸的截距在上.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故只有B符合要求.故選：B.2.(2023·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C.【題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】必備技巧對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．例7(2023·四川自貢高三月考）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：D例8（1）(2023·上海高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________．（2）(2023·重慶高三期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案：（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，，因此，，故函?shù)的值域?yàn)?故答案為：.（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，.例9（1）(2023·新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高三期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．（2）(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．35?a<34 B． C．35?a<（3）(2023·運(yùn)城市新康國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：（1）D（2）C（3）A【解析】（1）對(duì)于函數(shù)，有，解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)?，?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.（2）函數(shù)是由與復(fù)合而成，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉闇p函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合的圖像可得，解得②當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榇藭r(shí)，結(jié)合的圖像可知此時(shí)符合題意綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.故選：C（3）定義在上的函數(shù)滿足，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由結(jié)合偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得.所以不等式的解集為.故選：A【題型精練】1.(2023·河北邯鄲市高三月考）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽，又，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意得：，，則，，由，可得，故選：B.2．(2023·陜西·榆林市第十中學(xué)高三期中）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?要求函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，只需求的增區(qū)間，只需.所以.所以函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是.故選：C3.(2023·四川成都市·高三月考）函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)__________．答案：【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，，所以的值域?yàn)?故答案為：4.(2023·合肥市第六中學(xué)高三期中）已知函數(shù)則使得成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：A【解析】∵可化為為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，∴由得，即，解得或．故選：A．【題型四對(duì)數(shù)比較大小】例10(2023·廣東中山·高三期末）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，所以，又由，所以，所?故選：D.例11(2023·遼寧高三模擬）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．答案：D【解析】∵對(duì)任意，，均有成立，∴此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，∵是偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，故選：D.【題型精練】1．(2023·安徽高三月考）已知，則（）A． B．C． D．答案：A【解析】，，；，，，，故選：A.2.(2023·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵，∴，∵，∴，∴，又，，∵，∴，∴.故選：C.3.(2023·浙江高三模擬）若，，，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，由于，，∴．故選：B.【題型五對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題】必備技巧對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題(1)有關(guān)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域問(wèn)題．(2)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式恒成立及能成立問(wèn)題．(3)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有解問(wèn)題．例12(2023·濰坊高三月考）已知函數(shù)（且）．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2），，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3