高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.3計(jì)數(shù)原理(精講)(原卷版+解析)

9.3計(jì)數(shù)原理【題型解讀】【知識儲備】1．分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．4.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．【題型精講】【題型一分類加法計(jì)數(shù)原理】必備技巧分類加法計(jì)數(shù)原理(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．例1(2023·濟(jì)南模擬)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．240B．204C．729D．920例2(2023·青島模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．【題型精練】1.(2023·華師大二附中高三期中）從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（）個(gè)A．98 B．56 C．84 D．492．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．103．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理】必備技巧分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．例3(全國Ⅱ高考)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9例4(2023·云南師大附中高三模擬）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)有___________個(gè)例5(2023·全國高三期末）（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種【題型精練】1．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經(jīng)磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個(gè)位置上都被一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為()A． B． C． D．2.(2023·安徽合肥一中高三開學(xué)考試）某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．17163.(2023·湖南高三一模）從人中選出人參加某大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物比賽，每人只能參加其中一項(xiàng)，且每項(xiàng)比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．【題型三數(shù)字問題】必備技巧利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青島二中高三課時(shí)練習(xí)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？例7(2023·煙臺高三模擬）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？2.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數(shù).【題型四涂色問題】必備技巧涂色問題的常用方法（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;（2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（）A． B． C． D．例9(2023·湖北車城高中高三月考）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)區(qū)域，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？【題型五幾何體問題】例10(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測評）(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24【題型精練】1.(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).2．(2023·濟(jì)南中學(xué)高三月考）過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有多少對？9.3計(jì)數(shù)原理【題型解讀】【知識儲備】1．分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．4.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．【題型精講】【題型一分類加法計(jì)數(shù)原理】必備技巧分類加法計(jì)數(shù)原理(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．例1(2023·濟(jì)南模擬)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．240B．204C．729D．920答案：A【解析】所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．例2(2023·青島模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．答案：20【解析】當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2個(gè)．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個(gè)滿足條件的橢圓．【題型精練】1.(2023·華師大二附中高三期中）從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（）個(gè)A．98 B．56 C．84 D．49答案：A【解析】當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個(gè).故選：A2．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10答案：B【解析】選B當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時(shí)有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個(gè)．故選B.3．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案：36【解析】按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，則共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個(gè)兩位數(shù)．【題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理】必備技巧分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．例3(全國Ⅱ高考)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9答案：B【解析】從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條，所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.例4(2023·云南師大附中高三模擬）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)有___________個(gè)答案：120【解析】據(jù)題意，陽數(shù)為：1，3，5，7，9，陰數(shù)為：2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)可以的組合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有個(gè).故答案為：例5(2023·全國高三期末）（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種答案：AC【解析】對于A選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯誤.故選：AC.【題型精練】1．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經(jīng)磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個(gè)位置上都被一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為()A． B． C． D．答案：B【解析】由100個(gè)堿基組成的長鏈共有100個(gè)位置，從A，C，G，U中任選1個(gè)依次填入這100個(gè)位置中，每個(gè)位置都有4種填充方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的RNA分子的種數(shù)為．故選：B2.(2023·安徽合肥一中高三開學(xué)考試）某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．1716答案：D【解析】第一步：10個(gè)節(jié)目空出11個(gè)位置，加入1個(gè)新來的節(jié)目，所以加入一個(gè)新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個(gè)節(jié)目空出的12個(gè)位置中，加入第2個(gè)新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個(gè)節(jié)目空出的13個(gè)位置中，加入第3個(gè)新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，加入3個(gè)新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有（種）.故選：D3.(2023·湖南高三一模）從人中選出人參加某大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物比賽，每人只能參加其中一項(xiàng)，且每項(xiàng)比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．答案：C【解析】第一步，因?yàn)榧住⒁覂扇硕疾荒軈⒓踊瘜W(xué)比賽，所以從剩下的人中選人參加化學(xué)比賽，共有種選法；第二步，在剩下的人中任選人參加數(shù)學(xué)、物理、生物比賽，共有種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的參賽方案的種數(shù)為，故選：C．【題型三數(shù)字問題】必備技巧利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青島二中高三課時(shí)練習(xí)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？答案：（1）125個(gè)；（2）100個(gè)；（3）30個(gè).【解析】（1）三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個(gè))．（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè))．（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．例7(2023·煙臺高三模擬）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)答案：1080【解析】①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個(gè))．【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？答案：（1）（2）【解析】（1）第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字在剩下的5個(gè)數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)不重復(fù)的兩位數(shù)；（2）第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字有6種選擇，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)可以重復(fù)的兩位數(shù)；2.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數(shù).答案：（1）360；（2）120【解析】解：（1）分步解決.第一步：選取第一個(gè)位置上的數(shù)字，有6種選取方法；第二步：選取第二個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取第三個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取第四個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，可組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼共有.（2）按個(gè)位是0，2，4分為三類.第一類：個(gè)位是0的有個(gè)；第二類：個(gè)位是2的有個(gè)；第三類：個(gè)位是4的有個(gè).故由分類加法計(jì)數(shù)原理得比2000大的四位偶數(shù)有個(gè).【題型四涂色問題】必備技巧涂色問題的常用方法（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;（2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（）A． B． C． D．答案：C【解析】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；當(dāng)染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當(dāng)S,A,B染好時(shí)，C,D還有7種染法.故不同的染色方法有種.

故選：C例9(2023·湖北車城高中高三月考）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種答案：D【解析】根據(jù)題意分步完成任務(wù)：第一步：完成3號區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；第二步：完成1號區(qū)域：從除去3號區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號區(qū)域：從除去3、1號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號區(qū)域：從除去3、1、4號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號區(qū)域：從除去1、2號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號區(qū)域：從除去1、2、5號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；所以不同的涂色方法：種.故選：D.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法答案：【解析】先排，有種方法；然后排，最后排：①當(dāng)相同時(shí)，方法有種，故方法數(shù)有種.②當(dāng)不同時(shí)，方法有種，故方法數(shù)有種.綜上所述，不同的著色方法數(shù)有種.故答案為：2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)區(qū)域，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？答案：（1）24；（2）18；（3）6.