泰勒公式與極值問題市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

§4泰勒公式與極值問題就本節(jié)本身而言，引入高階偏導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)出泰勞公式需要；而泰勞公式除了用于近似計(jì)算外,又為建立極值判別準(zhǔn)則作好了準(zhǔn)備.三、極值問題

一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、中值定理和泰勒公式第1頁(yè)一、高階偏導(dǎo)數(shù)假如它們關(guān)于x與y偏導(dǎo)數(shù)也導(dǎo)數(shù)有以下四種形式:存在,說明含有二階偏導(dǎo)數(shù)．二元函數(shù)二階偏第2頁(yè)類似地能夠定義更高階偏導(dǎo)數(shù),比如三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形:第3頁(yè)解因?yàn)槔?

第4頁(yè)所以有第5頁(yè)數(shù)為例2

第6頁(yè)注意在上面兩個(gè)例子中都有第7頁(yè)數(shù)為混合偏導(dǎo)數(shù)).不過這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都成立，比如函數(shù)它一階偏導(dǎo)數(shù)為數(shù)相等(稱這種現(xiàn)有關(guān)于x,又有關(guān)于y高階偏導(dǎo)第8頁(yè)混合偏導(dǎo)數(shù):第9頁(yè)由此看到,這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序相關(guān).那么在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)呢?為此式.因?yàn)榈?0頁(yè)所以有第11頁(yè)類似地有這兩個(gè)累次極限相等.下述定理給出了使(1)與(2)相等一個(gè)充分條件．連續(xù)，則第12頁(yè)證令于是有(4)(3)第13頁(yè)由(4)則有(5)假如令第14頁(yè)則有用前面相同方法,又可得到(6)第15頁(yè)在且相等，這就得到所要證實(shí)(3)式．合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)次序無關(guān)．注2

這個(gè)定理對(duì)n元函數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.例

由定理假設(shè)都在點(diǎn)連續(xù),故當(dāng)時(shí),(7)式兩邊極限都存如三元函數(shù)以下六個(gè)三階混合偏導(dǎo)數(shù)第16頁(yè)若在某一點(diǎn)都連續(xù)，則它們?cè)谶@一點(diǎn)都相等．今后在牽涉求導(dǎo)次序問題時(shí),除尤其指出外,普通都假設(shè)對(duì)應(yīng)階數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)數(shù)一樣存在二階連續(xù)第17頁(yè)偏導(dǎo)數(shù).詳細(xì)計(jì)算以下:第18頁(yè)第19頁(yè)同理可得第20頁(yè)例3

改寫成以下形式:第21頁(yè)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有自變量復(fù)合函數(shù)．所以第22頁(yè)第23頁(yè)二、中值定理和泰勒公式二元函數(shù)中值公式和泰勒公式,與一元函數(shù)拉

也有相同公式，只是形式上更復(fù)雜一些．先介紹凸區(qū)域若區(qū)域D上任意兩點(diǎn)連線都含于

D,則稱D為凸區(qū)域(圖17-6).這就是說,若D為一切恒有第24頁(yè)上連續(xù),在D全部?jī)?nèi)點(diǎn)都可微,則對(duì)D內(nèi)任意兩定理17.8

(

中值定理)

設(shè)在凸區(qū)域圖17-6凸

非凸

第25頁(yè)一元連續(xù)函數(shù),且在(0,1)內(nèi)可微.依據(jù)一元函數(shù)其中中值定理，，使得(10)第26頁(yè)(9),(10)兩式即得所要證實(shí)(8)式．注若

D為嚴(yán)格凸區(qū)域，即，都有第27頁(yè)式成立(為何?)．公式(8)也稱為二元函數(shù)(在凸域上)中值公式.它與定理17.3中值公式(12)相比較,差異在于這請(qǐng)讀者作為練習(xí)自行證實(shí)此推論．第28頁(yè)分析將上式改寫成例4對(duì)應(yīng)用微分中值定理，證實(shí)存在某個(gè)第29頁(yè)之間應(yīng)用微分中值定理．計(jì)算偏導(dǎo)數(shù):證首先,當(dāng),有再第30頁(yè)定理17.9(泰勒定理)若在點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)第31頁(yè)其中第32頁(yè)證類似于定理17.8證實(shí)，先引入輔助函數(shù)(11)式稱為

n階泰勒公式,并稱其中而首項(xiàng)也可看作情形.第33頁(yè)件，于是有由假設(shè)，上滿足一元函數(shù)泰勒公式條應(yīng)用復(fù)合求導(dǎo)法則,可求得各階導(dǎo)數(shù)以下:

(12)第34頁(yè)公式(11)．將(13),(14)兩式代入(12)式,就得到所求之泰勒時(shí)特殊情形.第35頁(yè)此時(shí)n階泰勒公式可寫作則僅需內(nèi)存在n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)即可,第36頁(yè)將它們代入泰勒公式(15)，即有第37頁(yè)與§1例7結(jié)果(1.32)相比較，這是更靠近于真微分近似相當(dāng)于現(xiàn)在一階泰勒公式．第38頁(yè)三、極值問題多元函數(shù)極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)主要應(yīng)用,這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論.有定義.若極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)．極大

(或極小)

值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱極值;極第39頁(yè)注意這里討論極值點(diǎn)只限于定義域內(nèi)點(diǎn)．點(diǎn),是g極大值點(diǎn),但不是h極值點(diǎn)．這是因第40頁(yè)同極值;

也取相同極值.于是

得到二元函數(shù)取極值必要條件以下:定理17.10(極值必要條件)

若函數(shù)在點(diǎn)

值(注由定義可見,若在點(diǎn)取極值,則當(dāng)固存在偏導(dǎo)數(shù),且在取得極值,則必有第41頁(yè)穩(wěn)定點(diǎn).上述定理指出:偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí),極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn).

但要注意:穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)．在例6

中之所以只討論原點(diǎn),就是因?yàn)樵c(diǎn)是那三個(gè)函數(shù)惟一穩(wěn)定點(diǎn)；而對(duì)于函數(shù)h,原點(diǎn)雖為其穩(wěn)定點(diǎn),但卻不是它極值點(diǎn).與一元函數(shù)情形相同,多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù),但第42頁(yè)(17)定點(diǎn),則有以下結(jié)論:第43頁(yè)于是有證由在二階泰勒公式，并注意到條件第44頁(yè)二次型連續(xù)函數(shù)(仍為一正定二次型)首先證實(shí):當(dāng)正定時(shí)，在點(diǎn)取得極小值．這是因?yàn)?，此時(shí)對(duì)任何恒使第45頁(yè)極大值．因?yàn)樗栽诖擞薪玳]域上存在最小值，于是有即在點(diǎn)取得極小值．第46頁(yè)亦取

則沿著過任何直線最終證實(shí):當(dāng)為不定矩陣時(shí),在點(diǎn)不第47頁(yè)極小值,則將造成必須是正半定.也就是

或負(fù)半定，這與假設(shè)相矛盾．這表明必須是負(fù)半定.同理,倘若取系，定理17.11又可寫成以下比較實(shí)用形式——依據(jù)對(duì)稱矩陣定號(hào)性與其主子行列式之間關(guān)若如定理17.11所設(shè)，則有以下結(jié)論:第48頁(yè)是否取得極值．解由方程組例7取得極小值;取得極大值;第49頁(yè)例8

討論是否存在極值．第50頁(yè)得極值?因，故原點(diǎn)不是

極值點(diǎn).又因處處可微，所以沒有極值點(diǎn).

解輕易驗(yàn)證原點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn),且故由定理17.11無法判斷在原點(diǎn)是否取得極值．但因?yàn)樵谠c(diǎn)任意小鄰域內(nèi),當(dāng)時(shí)

第51頁(yè)由極值定義知道,極值只是函數(shù)一個(gè)局部性概念.想求出函數(shù)在有界閉域上最大值和最小值,方法與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上全部穩(wěn)定點(diǎn)、無偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處函數(shù)值,還有在區(qū)域邊界上這類特殊值；然后比較這些值,其中最大(小)者即為問題所求最大(小)值．以f(0,0)=0

不是極值(參見圖17-7)．第52頁(yè)例10

證實(shí):圓全部外切三角形中,以正三角形

面積為最?。C如圖17-8所表示,設(shè)圓半徑為a,任一外切三角圖

17-8

圖17-7

第53頁(yè)式為其中.為求得穩(wěn)定點(diǎn),令形為ABC,三切點(diǎn)處半徑相夾中心角分別為第54頁(yè)在定義域內(nèi),上述方程組僅有惟一解:二階偏導(dǎo)數(shù):第55頁(yè)此穩(wěn)定點(diǎn)處取得極小值．因?yàn)?面積函數(shù)S在定義域中處處存在偏正三角形面積為最小．解(i)

求穩(wěn)定點(diǎn)：解方程組導(dǎo)數(shù)，而詳細(xì)問題存在最小值，故外切三角形中以第56頁(yè)所以得穩(wěn)定點(diǎn)(ii)

求極值：因?yàn)楹谫惥仃嚍?iii)

求在上特殊值:當(dāng)?shù)?7頁(yè)當(dāng)，當(dāng)，第58頁(yè)算出單調(diào)增,算出兩端值第59頁(yè)圖形,上面討論都能在圖中清楚地反應(yīng)出來．一點(diǎn)與一元函數(shù)是不相同，務(wù)請(qǐng)讀者注意！注本例中上即使只有惟一極值,且為極小值，但它并不所以成為上最小值．這第60頁(yè)圖17-9第61頁(yè)例12(最小二乘法問題)設(shè)經(jīng)過觀察或試驗(yàn)得到一

上，即大致上可用直線方程來反應(yīng)變量x與y之間對(duì)應(yīng)關(guān)系(參見圖17-10).現(xiàn)要確定一直線,使得與這n個(gè)點(diǎn)偏差平方之和為最小(最小二乘方)．圖17-10第62頁(yè)解設(shè)所求直線方程為為此令第63頁(yè)把這組關(guān)于a,b線性方程加以整理并求解，得第64頁(yè)第