自動控制理論第十四講

已知某一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略畫出其根軌跡。規(guī)則1、2、3

根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點0、－2、－3，終止于一個開環(huán)有限零點－1和二個無限零點。根軌跡對稱于實軸。規(guī)則4

實軸上0到－1和－2到－3兩個區(qū)域段為根軌跡規(guī)則5

根軌跡有兩條漸近線（n－m＝2),令k=0

規(guī)則6

在實軸上有根軌跡分離點，且在區(qū)段－2到－3之間

繪制根軌跡的基本規(guī)則（續(xù)）七、根軌跡的出射角和入射角出射角

p:從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的一支根軌跡，在該極點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。根軌跡出射角的一般計算式(0～360°)k＝0，1，…

【證明】根軌跡上，靠近起點p1處取一點s1相角條件s1

p1

出射角

p【例題1】出射角的計算入射角

z:進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。根軌跡入射角一般計算式(0～360°)

【例題2】入射角的計算取k＝1z2和z3為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡入射角對稱。八、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交

閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值Kg，由Kg值求出相應(yīng)的ω值【例題3】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，求根軌跡與虛軸的交點。勞斯判據(jù)法確定根軌跡與虛軸的交點閉環(huán)特征方程系統(tǒng)臨界穩(wěn)定根軌跡增益Kg=6陣列中s2行元素構(gòu)成輔助方程根軌跡與虛軸的交點

【解】2）代數(shù)法聯(lián)立求解，

根軌跡與虛軸的交點ω值和相應(yīng)的臨界Kg值。令代入特征方程【例題4】代數(shù)法確定根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，求根軌跡與虛軸的交點。【解】閉環(huán)特征方程令代入特征方程【例題4】繪制根軌跡圖1.根軌跡增益Kg=3K。2.根軌跡的分支數(shù)：4條3.根軌跡的起點和終點：分別起始于開環(huán)極點0，－3，－1±j，終止于零點－2和另外三個無限遠零點。4.實軸上的根軌跡：0～－2和－3～－∞為根軌跡段。5.根軌跡的漸近線：有三條漸近線（n－m＝3），傾角為取k＝0、1

＋60°、－60°、＋180°漸近線與實軸交點坐標(biāo)為

根軌跡與虛軸的交點6、根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)特征方程7、出射角復(fù)數(shù)極點－1±j課堂作業(yè)已知某一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略畫出其根軌跡。4—2(2)規(guī)則1、2、3、4

根軌跡對稱于實軸，有四條根軌跡分支分別起始于極點0，－4和－2±j4，終止于無限遠零點。實軸上0～－4區(qū)段為根軌跡。

課堂作業(yè)答案根據(jù)規(guī)則5

根軌跡有四條漸近線根據(jù)規(guī)則6

求根軌跡的分離點p3、p4的連接線上輻角條件

p