高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料01 集合與常用邏輯用語教學(xué)案（學(xué)生版）

【2013考綱解讀】

1.通過實(shí)例了解集合的含義,體會(huì)元素與集合的從屬關(guān)系了解集合中元素的確定性,互

異性,無序性.會(huì)用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象.

2.掌握集合的表示方法一一列舉法和描述法,并能進(jìn)行自然語言與集合語言的相互轉(zhuǎn)換,

了解有限集與無限集的概念.

3.了解集合間包含關(guān)系的意義，理解子集、真子集的概念和意義，會(huì)判斷簡單集合的相

等關(guān)系.

4.理解并集、交集的概念和意義，掌握有關(guān)集合并集、交集的術(shù)語和符號，并會(huì)用它

們正確地表示一些簡單的集合，能用圖示法表示集合之間的關(guān)系.掌握并集、交集的求法.

5.了解全集的意義，理解補(bǔ)集的概念.掌握全集與補(bǔ)集的術(shù)語和符號，并會(huì)用它們正確

地表示一些簡單的集合，能用圖示法表示集合之間的關(guān)系.

6.理解命題的概念；了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)

分析種命題的相互關(guān)系;理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

7.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.

8.理解全稱量詞與存在量詞的意義;能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

T命題及其關(guān)司

含義口

I一|充要條件|

|集合間的關(guān)系|集合］一|常用邏輯用語〔一

邏輯聯(lián)結(jié)詞］

|基本運(yùn)算

—gW］

【重點(diǎn)知識整合】

1.集合

(1)元素的特征：確定性、互異性、無序性，元素與集合之間的關(guān)系是屬于和不屬于；

(2)集合與集合之間的關(guān)系：集合與集合之間是包含關(guān)系和非包含關(guān)系，其中關(guān)于包含

有包含和真包含，用符號=,表示.其中一個(gè)集合本身是其子集的子集，空集是任何非空

集合的真子集；

(3)集合的運(yùn)算：

AC\B—{x\x^A,且/U8={x|xe4或luA—{x\U,且超/}.

2.四種命題及其關(guān)系

(1)四種命題；

(2)四種命題之間的關(guān)系：四種命題是指對“若p,則q”形式的命題而言的，把這個(gè)命

題作為原命題，則其逆命題是“若q,則P"，否命題是“若非P，則非q"，逆否命題是“若

非q,則非p"，其中原命題和逆否命題、逆命題和否命題是等價(jià)的，而且命題之間的關(guān)系

是相互的。

3.充要條件

(1)充要條件：若gq,則。是g的充分條件，0是P的必要條件；若P=<7，則p,1?

互為充要條件；

(2)充要條件與集合：設(shè)命題。對應(yīng)集合4命題g對應(yīng)集合8,則uo等價(jià)于力=氏

內(nèi)等價(jià)于A—B.

4.邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；

(2)帶有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假：命題pVg,只要0,g有一為真，即為真命題，換言

之，只有0,g均為假命題時(shí)才為假；命題。八°,只有"g均為真命題時(shí)才為真，換言之，

只要。，。有一為假，即為假命題；非。和。為一真一假兩個(gè)互為對立的命題；

(3)“或”命題和“且”命題的否定：命題的否定是非。人非S命題"八g的否定

是非。V非Q.

【高頻考點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一集合的關(guān)系和運(yùn)算

1.元素與集合的關(guān)系：元素x與集合4之間，要么xG4要么居4二者必居其一，

這就是集合元素的確定性，集合的元素還具有互異性和無序性.解題時(shí)要特別注意集合元素

互異性的應(yīng)用.

2.運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論

WAUA=A,AU0=A,AL)B=BUA.

(2)/C/=4/C0=0,ADB=Br\A.

(3)AA(1/)=0,Au((/)=〃

(4)/C6=4Q/UB,/U6=n=醫(yī)A.

例1、已知集合戶={x|/Wl},若PUM=P,則a的取值范圍是()

A.(一8,—1]B.[1,+00)

C.[-1,1]D.(-8,-1]u[1,+°o)

【變式】已知集合1?={0,1,2,3,4,},N={1,3,5,}“P=MCN,則P的子集共有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【解題方法】解答集合間的包含與運(yùn)算關(guān)系問題的一般思路

(1)正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性，代表的意義.

(2)根據(jù)集合中元素的性質(zhì)化簡集合.

(3)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集

合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)注意端點(diǎn)值的取

舍.

考點(diǎn)二命題真假的判斷

1.四種命題有兩組等價(jià)關(guān)系，即原命題與其逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià).

2.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷：命題pVq，只要p，q至少有一為真，即為真

命題，換言之，見真則真；命題p八q，只要p，q至少有一為假，即為假命題，換言之，見

假則假；非p和p為一真一假兩個(gè)互為對立的命題.

3."或"命題和"且”命題的否定：命題pVq的否定是非p/\非q；命題pAq的否定

是非pV非q.

例2.原命題：若a=l,則函數(shù)f(x)=￡+af+ax+l沒有極值，以及它的逆命題、否命題、

逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.4

【變式】已知a,b,。都是實(shí)數(shù)，則命題“若a>b,則a?b/”與它的逆命題、否命題、

逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()

A..4B.2C.1D.0

【解題方法】命題真假的判定方法

(1)一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)交匯知識辨別真假.

(2)四種命題的真假的判斷根據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)

命題的真假無必然聯(lián)系.

(3)形如。或八。且久非。命題的真假根據(jù)真值表判定.

考點(diǎn)三充要條件的判斷

對于0和q兩個(gè)命題，若歸q，則0是<7的充分條件，<7是0的必要條件；若p0q,

則。和0互為充要條件.推出符號“今”具有傳遞性，等價(jià)符號具有雙向傳遞性.

例3、設(shè)集合”={1,2},N={a2},則“a=l"是“股"’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【變式】設(shè)x,斤R,則“B2且卉2”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題方法】對充分、必要條件的判斷或探求要注意以下幾點(diǎn)

（1）要弄清先后順序：“4的充分不必要條件是B”是指8能推出4且4不能推出B-,

而“4是8的充分不必要條件”則是指/能推出8,且夕不能推出/；

（2）要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí)，可以

通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明；

（3）要注意轉(zhuǎn)化：如果〃是g的充分不必要條件，那么非。是非g的必要不充分條件，

同理，如果o是g的必要不充分條件，那么非o是非。的充分不必要條件，如果o是。

的充要條件，那么非。是非q的充要條件.

【難點(diǎn)探究】

難點(diǎn)一集合的關(guān)系及其運(yùn)算

例1、設(shè)集合講=31戶Icos\x-sin"x|?xER},戶x\x—|；<^2>i為虛數(shù)單

位，xGR,則而H為（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

【拓展】本題需要注意兩個(gè)問題，一是兩個(gè)集合的含義，二是要注意集合“中的不等式

是一個(gè)復(fù)數(shù)模的實(shí)數(shù)不等式，不要根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對值求解.高考考查集合一般是以集合的形

式與表示等式的解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等，在解題時(shí)要特別，注意集合的含義.

【變式1】若集合〃={0,1,2},N=dx,y）|x—/+y^4,x,yG法，則"中元

素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.6C.4D.2

難點(diǎn)二四種命題和充要條件的判斷

例2、(1)已知a,b,cGR,命題“若a+6+c=3,貝！］a2+6"+c223”的否命題是()

A.若a+Z)+cW3,則(a,"H-1)c2^3

B.若a+6+c=3,則才+9+孑代

C.若a+Z>+cW3,則a'+N+d》？

D.若a2+62+則a+6+c=3

(2)對于函數(shù)y=f(x),xE.R,uy=|f(x)|的圖冢關(guān)于jp"軸對稱"是"產(chǎn)f(x)是奇函

數(shù)”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【拓展】一個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得

到的形式上的命題，解這類,試題時(shí)要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是

不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于；進(jìn)行充要條件判斷實(shí)際上就是判斷兩個(gè)

命題的真假，這里要注意斷定一個(gè)命題為真需要進(jìn)行證明，斷定一個(gè)命題為假只要舉一個(gè)反

例即可.

難點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞和命題的否定

例3.(1)若。是真命題，g是假命題，貝ij()

A.是真命題B.joVg是假命題

C.非。是真命題D.非g是真命題

⑵命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的再走是()

A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)

B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)

D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)

【拓展】(1)“或”“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，這兩個(gè)命題的真假確定了“或”命題和“且”

命題的真假，其中“或”命題是一真即真，“且”命題是一假即假，“非”是對一個(gè)命題的

否定，命題與其“非”命題一真一假；(2)否定一個(gè)命題就是否定這個(gè)命題的結(jié)論，即推翻

這個(gè)命題，這與寫出一個(gè)命題的否命題是不同的.一個(gè)命題的否命題，是否定條件和結(jié)論后

的形式上的命題，如本題中我們把命題改寫為“已知〃為任意整數(shù)，若〃能被2整除，則〃

是偶數(shù)”，其否命題是“已知〃為任意整數(shù)，若〃不能被2整除，則〃不是偶數(shù)”，顯然這

個(gè)命題是真命題，但這個(gè)命題的否定是假命題.

【變式】有四個(gè)關(guān)于不等式的命題：

Pi：3/)￡R,Ao+^b+l>O；

P2：3XQ,M)￡R,岔+%—4選一2%+6<0；

2xyx+y

加Yx,昨R+,用不丁

PA：Vx,yGR,xy^xy-\-xy.

其中真命題是(.)

A.pi,ptB.pi,piC.pi,D.pi,pi

【解題技巧】

1.解答集合有關(guān)問題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡集合是關(guān)鍵.其次關(guān)注

元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，關(guān)于不等式的解集、抽冢集合問題，要借助

數(shù)軸和韋恩圖加以解決.

2.一個(gè)命題的真假與它的否命題的真假?zèng)]有必然的聯(lián)系，但一個(gè)命題與這個(gè)命題的否

定是互相對立、一真一假的.

3.判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的

對應(yīng)關(guān)系，把命題對應(yīng)的元素用集合表示出來，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，在以否

定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法.

4.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類試題首先把其中的

基本命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進(jìn)行判斷.

5.特稱命題的否定是全稱命題、全稱命題的否定是特稱命題.

【歷屆高考真題】

【2012年高考試題】

1.12012高考真題浙江理1】設(shè)集合A={x[l<x<4},集合B={x|/_2X-3W0},則AC

(CRB)=

A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)U(3,4)

2.[2012高考真題新課標(biāo)理1】已知集合

則3中所含元素的個(gè)數(shù)為()

⑷3(5)6(C)8(￡>)10

3.12012高考真題陜西理1】集合M={x|lgx>0},N={x|x2<4},則MN=

()

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

4.[2012高考真題山東理2】已知全集U={02234},集合H={L2,3}狀={2,4},

則G/LLB為

(A){1,2,4}(B){23,4}(C)[0,2,4}(D)[0,2,3,4}

5.12012高考真題遼寧理1婦知全集U=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),集合A=[0,133,5,8),

集合B={2,4,5,6,8},則(C「4)fl(Ct-5)為

(A){5,8}(B){7}9}⑹{0,1,3}⑻⑵4,6}

6.12012高考真題江西理1]若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{zIz=x+y,xeA,yeB}

中的元素的個(gè)數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

7.12012高考真題湖南理1】設(shè)集合M=[-1,0,1},N={XRWX},則MCN=

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

812012高考真題廣東理2】設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4b則CuM=

A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}

9.12012高考真題北京理1】已知集合A={xGR|3x+2>0}B={xGR|(x+1)(x-3)>0}

貝ljAAB=

22

A(_oo,-1)B(-1,一一)C(一一,3)D(3,+oo)

33

10.12012高考真題全國卷理2】已知集合八={1.3.4m},B={1,m},AB=A,則

m=

A0或石B0或3C1或6D1或3

11.12012高考真題四川理13】設(shè)全集。={a,伍c,d},集合4={a,b},B={b,c,d},

則QAUC*o

12.12012高考真題上海理2]若集合H={x|2x+l>0},5={x||x-l|<2},則

13.[2012高考真題天津理111已知集合ATxW義上+2|<3},集合

B={xWR(x-mXx-2)<0}：且乂。3=(-L可項(xiàng)Jm=,n=.

14.[2012高考江蘇1】(5分)已知集合人={1,2,4},B=[2,4,6},則AB=▲.

15.【2012高考江蘇26](10分)設(shè)集合1={1,2,…，〃},neN*.記/(〃)為同時(shí)

滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：

①Aq匕；②若尤wA,則2xeA；③若XECA,則2x任C4。

〃rn〃n

⑴求f(4)；

(2)求/(〃)的解析式(用〃表示).

【2011年高考試題】

1.(2011年高考北京卷理科1)已知集合P={x|xWl},M={a}.若PUM=P，則a的

取值范圍是

A.(-8,-1]B.[1,+8)

C.[-1,1]D.(-8,-1]u[1,+8)

2.(2011年高考福建卷理科l)i是虛數(shù)單位，若集合S={—1.0.1},則

2

A.iGSB.i2eSC.i3eSD.—GS

z

3.(2011年高考遼寧卷理科2)已知M,N為集合I的非空真子集，且此N不相等，若

Nc(GM)=0,則()

(A)M(B)N(C)I(D)0

4.(2011年高考廣東卷理科2)已知集合A={(x,y)|x,y為實(shí)數(shù)，且,B={(x,

y)辰，y為實(shí)數(shù)，且丫=*},則AnB的元素個(gè)數(shù)為()

A..0B.,1C.2D.3

二、填空題：

1.(2011年高考天津卷理科13)已知集合

.4=(xeJ?|x+3|+|x-4|<9):B=^xeRx=4r+；-6/wQ+oc)；>，則集合

,4cB=________

2.(2011年高考江蘇卷i)已知集合N={-L124}*={T(U},則

AcB=,

3.(2011年高考江蘇卷14)設(shè)集合A={(x,y)|￡W(x—2尸+/〈機(jī)2,%^R},

B={(x,y)\2m<x