新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專(zhuān)題03 平面與平面所成角（二面角）（含探索性問(wèn)題）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)解析版

專(zhuān)題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問(wèn)題）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求二面角 2題型二：已知二面角求參數(shù) 10題型三：求二面角最值（范圍） 18三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 24一、必備秘籍1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0稱(chēng)為二面角的平面角.2、二面角的范圍：SKIPIF1<03、向量法求二面角平面角（1）如圖①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)面內(nèi)與棱SKIPIF1<0垂直的直線，則二面角的大小SKIPIF1<0．（2）如圖②③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)半平面SKIPIF1<0的法向量，則二面角的大小SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（特別說(shuō)明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒(méi)有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）二、典型題型題型一：求二面角1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，SKIPIF1<0為z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大?。敬鸢浮?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意知：SKIPIF1<0；設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0為直三棱柱，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0則以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0正方向?yàn)镾KIPIF1<0軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，滿(mǎn)足平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的兩條相交直線，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）

如圖，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1），SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0垂直平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和SKIPIF1<0個(gè)圓柱拼接而成.SKIPIF1<0在同一平面內(nèi)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖，連接SKIPIF1<0，因?yàn)樵搸缀误w是由等高的半個(gè)圓柱和SKIPIF1<0個(gè)圓柱拼接而成，

SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），即SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因此平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）如圖所示，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0兩兩垂直，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．

題型二：已知二面角求參數(shù)1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：BDSKIPIF1<0CC1；(2)棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0若存在，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，SKIPIF1<0【詳解】（1）證明:如圖所示，連接SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0為棱臺(tái)，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0假設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0存在，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0

設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由于二面角SKIPIF1<0為銳角，則點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.

2．（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)SKIPIF1<0處，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（如圖2）．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0時(shí)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：在長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）

如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0兩兩互相垂直，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又四邊形SKIPIF1<0的面積為3，SKIPIF1<0四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<03．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到圖②所示幾何體．(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0；(2)在線段SKIPIF1<0上，是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0的值，如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0【詳解】（1）由圖①知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由圖②知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者兩兩垂直，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以此時(shí)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由直角梯形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故以SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，易知SKIPIF1<0，故線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0.5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0.(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，而底面SKIPIF1<0是矩形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0;同理側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，而底面SKIPIF1<0是矩形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0；而SKIPIF1<0,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由原圖可知二面角SKIPIF1<0為銳角，故二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.題型三：求二面角最值（范圍）1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又易知，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍為SKIPIF1<0.

2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0四點(diǎn)共面(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括端點(diǎn)），求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角余弦值的的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析．(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，即SKIPIF1<0四點(diǎn)共面；

（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角余弦值的的取值范圍是SKIPIF1<0．3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿直線AE折起，使得SKIPIF1<0，如圖（2）.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)已知點(diǎn)H在線段AB上移動(dòng)，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意證明如下，取線段AE的中點(diǎn)O，連接DO，OC，如圖.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCE，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCE.（2）由題意及（1）得，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.易知平面ADE的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面DHC的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF