新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)2-5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-單調(diào)性與極值（8題型 滿(mǎn)分技巧 限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)2-5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，高考中經(jīng)常在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式等模塊的知識(shí)交匯處命題，形成層次豐富的各類(lèi)題型，常涉及的問(wèn)題有利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；與不等式、數(shù)列、方程的根（或函數(shù)的零點(diǎn)），三角函數(shù)等問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，處理綜合性問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力。本題考試難度大，除了方法與技巧的訓(xùn)練，考生在復(fù)習(xí)中要注意強(qiáng)化基礎(chǔ)題型的解題步驟，提高解題熟練度。【題型1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性】滿(mǎn)分技巧1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．2、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論?！纠?】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由得或（因?yàn)?，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．【變式1-1】（2023·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】由題意知，.即，，因?yàn)?，所以，所以在中，，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式1-2】（2023·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】（1）；（2）和【解析】（1），定義域?yàn)?，，，，故切線(xiàn)方程為，即；（2）函數(shù)定義域?yàn)?，，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，恒成立，即在上恒成立，函數(shù)在和上單調(diào)遞增.則函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為和.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】增區(qū)間為和，減區(qū)間為【解析】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，由可得或，故?dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.【變式1-4】（2023·山西大同·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）求曲線(xiàn)的平行于直線(xiàn)的切線(xiàn)方程；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【解析】（1）由已知得，直線(xiàn)的斜率為1，令，得，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，而，所以方程有唯一解，此時(shí)，故曲線(xiàn)的平行于直線(xiàn)的切線(xiàn)只有一條，即在點(diǎn)處的切線(xiàn)；（2），而，因此的正負(fù)與的正負(fù)一致，由知，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，等價(jià)于，由函數(shù)和知，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【題型2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】滿(mǎn)分技巧已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號(hào)零點(diǎn)（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號(hào)零點(diǎn)【例2】（2024·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍是，故選：D.【變式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，所以，故選：D．【變式2-2】（2023·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在遞增，所以在上恒成立，則，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)遞增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范圍是，故選：B【變式2-3】（2023·福建三明·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，只需，即，解得或，所以在上不單調(diào)的充要條件是或，所以在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B【變式2-4】（2023·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】B【解析】所以時(shí)遞減，時(shí)，遞增，是極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選：B.【題型3導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)系】滿(mǎn)分技巧（1）對(duì)于原函數(shù)，要注意圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)內(nèi)單調(diào)遞減；（2）對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則要注意函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，同時(shí)還要注意這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)性的一致。【例3】（2023·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的圖象為C選項(xiàng)中的圖象，故選：C.【變式3-1】（2024上·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的減區(qū)間是，B．函數(shù)的減區(qū)間是，C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】觀察圖象，由，得或，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，由，得或，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，B正確；函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC【變式3-2】（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．在上為減函數(shù)B．在處取極大值C．在上為減函數(shù)D．在處取極小值【答案】BCD【解析】由圖像得：當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值.故選：BCD【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：因?yàn)樵诤蜕?，在和上，所以函?shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，觀察各選項(xiàng)知，只有D符合題意.解法二：由題圖知，在的左側(cè)大于、右側(cè)小于，所以函數(shù)在處取得極大值，觀察各選項(xiàng)知，只有D符合題意.故選：D.【變式3-4】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，故，等號(hào)僅有可能在x＝0處取得，所以時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)只有C符合.故選：C.【題型4求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)】滿(mǎn)分技巧利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的所有實(shí)數(shù)根；（3）觀察在每個(gè)根x0附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化．①如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值．③如果在的根x＝x0的左右側(cè)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)．【例4】（2023·湖南·高三邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的極小值為（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，，故選：D.【變式4-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的極大值、極小值分別為（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由題意，得，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，取得極小值，為；當(dāng)時(shí)，取得極大值，為．故選：D．【變式4-2】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的極大值是．【答案】【解析】由，則，令，解得或，則當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，.【變式4-3】（2023·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的極小值為.【答案】【解析】，設(shè)，因?yàn)?，所?令，所以.令，則或.因?yàn)樵谏?，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，即的極小值為.【變式4-4】（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值【解析】（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.【題型5根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)范圍】滿(mǎn)分技巧（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0和極值這兩個(gè)條件列方程；（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性，做好取舍。【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三次函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，得，關(guān)于x的一元二次方程的兩根為b，2b，又極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，所以，即，由韋達(dá)定理得到，所以，，得到．故選：A．【變式5-1】（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定義域?yàn)?，，要函?shù)在上有極值，則在上有零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上沒(méi)有極值，故.故選:D.【變式5-2】（2024上·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去，當(dāng)時(shí)，令得，，令得，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，則，即，令，，則，令得，令得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，又，故的解集為，此時(shí)當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，滿(mǎn)足有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn).，故選：C【變式5-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，所以，要使在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)，則在有兩個(gè)不等的正根，則需，解得，所以的取值范圍是，故選：A【變式5-4】（2023·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正確，A錯(cuò)誤．故選：A．【題型6利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】滿(mǎn)分技巧函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)最值的步驟為：（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；（3）實(shí)際問(wèn)題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè)，這便是“最值”點(diǎn)?！纠?】（2023·四川南充·高三南部中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．【答案】【解析】，則．令，解得(舍去)，或．所以故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，所以．【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，求的最小值.【答案】0【解析】由已知可得，定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.【變式6-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；【答案】答案見(jiàn)解析【解析】由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，可得，在上單調(diào)遞增，無(wú)最值；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以在上單調(diào)遞減；令，可得，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，無(wú)最大值．綜上可得：當(dāng)時(shí)，無(wú)最值；當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值．【變式6-3】（2024上·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)的最小正周期為，顯然，令，解得.（2）由已知得，，當(dāng)時(shí)，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則最大值是.【變式6-4】（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求在處的切線(xiàn)方程．（2）若，求在區(qū)間上最大值．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1），又是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即∴，∴，在處的切線(xiàn)方程為，即，所以在處的切線(xiàn)方程是（2），令，得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增而，①當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【題型7根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍】【例7】（2022·廣西桂林·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】由題意得，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值也是最大值，故，故選：C．【變式7-1】（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿(mǎn)足要求，當(dāng)或時(shí)，，令得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，故表格如下：0+0極小值極大值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，故的解集為，時(shí)，令可得，當(dāng)時(shí)，，令得，故在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿(mǎn)足要求，當(dāng)時(shí)，恒成立，故表格如下：+00+極大值極小值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，時(shí)，，單調(diào)遞增，又，故上，無(wú)解，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C【變式7-2】（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，令，得，令，是，或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，故.令，得，解得，，所以，所以要使在上存在最大值，則有,解得.故選：B.【變式7-3】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在內(nèi)存在最小值，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，令，解得或，所以在，?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以極小值為．令，則，所以，由題意得，所以a的取值范圍為.故選:C．【變式7-4】（2023·上?！じ呷虾Ｖ袑W(xué)校考期中）已知，函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，若斜率為0的直線(xiàn)l是的一條切線(xiàn)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由題意，，由得，此時(shí)，所以切點(diǎn)為；（2），時(shí)，，在上是增函數(shù)，無(wú)最小值，所以，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時(shí)，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，所以由得．【題型8函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值綜合】【例8】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，于是，有，當(dāng)時(shí)，則，因此，所以.【變式8-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，，故即在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，最大值為．（2）由可得．①當(dāng)時(shí)，，又，，恰有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值，又，當(dāng)時(shí)，，故有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值，極大值，又當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值，極小值，又當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，有1個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．【變式8-2】（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）若時(shí)，恒有，求a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由若時(shí)，恒有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則令，則，顯然在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立，則在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍為（2）要證當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，令，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，原式得證【變式8-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．（1）求的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．設(shè)，，則.①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí).因?yàn)?，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)?，由，則.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以．所以，且，則，又，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．由兩個(gè)極值點(diǎn)，滿(mǎn)足，則.故當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).綜上所述，a的取值范圍為；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，所以，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.由，得，所以．所以．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，其中，①當(dāng)時(shí)，，即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故不等式無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，符合題意；③當(dāng)時(shí)，，即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故此時(shí)不等式也無(wú)解．綜上所述，不等式的解集為．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，不合要求，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令得，，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D2．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增B．在上存在最大值C．在定義域內(nèi)存在最值D．在上存在最小值【答案】D【解析】，則，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以存在使得，則時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，在上不存在最大值，故B錯(cuò)誤；，所以的周期為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，有最小值，無(wú)最大值；由奇偶性得時(shí)，，故在定義域內(nèi)不存在最值，故C錯(cuò)誤對(duì)D：結(jié)果前面分析知存在使得，且所以，所以，故D正確.故選：D3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，，則（）A．的極大值為，無(wú)極小值B．的極小值為，無(wú)極大值C．的極大值為，無(wú)極小值D．的極小值為，無(wú)極大值【答案】C【解析】的定義域?yàn)?，，所以，求?dǎo)得，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值．故選：C．4．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A．B．C．3D．【答案】A【解析】由求導(dǎo)得：，有，即有兩個(gè)不等實(shí)根，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，依題意，，在等差數(shù)列中，，所以，故選：A5．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)有最小值B．函數(shù)有最大值C．函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】A【解析】由函數(shù)圖象可知、的變化情況如下表所示：由上表可知在和上分別單調(diào)遞減，在和上分別單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值分別為、，其極大值為.對(duì)于A選項(xiàng)：由以上分析可知，即函數(shù)有最小值，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由圖可知當(dāng)，有，即增加得越來(lái)越快，因此當(dāng)，有，所以函數(shù)沒(méi)有最大值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：若有，則由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：由上表及以上分析可知函數(shù)共有3個(gè)極值點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.8．（2023·天津西青·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)榈膱D像經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，即，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在與處的切線(xiàn)的斜率為，故AD錯(cuò)誤；由的圖象知，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又在上越來(lái)越大，在上越來(lái)越小，所以在上增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，在上增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故C錯(cuò)誤，B正確.故選：B.9．（2024·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考期末）（多選）已知函數(shù)，則（）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D．過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)【答案】AC【解析】由題意，在中，．令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，A正確．由的單調(diào)性且極大值，極小值，又，，所以函數(shù)在定義域上有3個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤．令，因?yàn)?，則是奇函數(shù)，所以是圖象的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，C正確．設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的方程為，代入，可得，解得．所以過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有1條，D錯(cuò)誤．故選：AC．10．（2023·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的一個(gè)周期B．在上有3個(gè)零點(diǎn)C．的最大值為D．在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，即，即或，解得或或，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由A可知，只需考慮求在上的最大值即可.，則，令，求得或，所以當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，但不恒為0，則在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大