2024-2025學(xué)年定西市重點中學(xué)5月高三月考數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2024-2025學(xué)年定西市重點中學(xué)5月高三月考數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年定西市重點中學(xué)5月高三月考數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則2.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了一個容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,則的值為()A.100 B.1000 C.90 D.903.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.4.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知,則()A.2 B. C. D.36.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.7.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.8.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.9.以下三個命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.511.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,己知半圓的直徑,點是弦(包含端點,)上的動點,點在弧上.若是等邊三角形,且滿足,則的最小值為___________.14.已知,則_____。15.如圖,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A、B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則的最小值為.16.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為數(shù)列的前項和,若,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設(shè),,求證:為定值.18.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點的直線與相交于、兩點,與相交于、兩點,且與同向,設(shè)在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點,、為長軸的兩個端點,過點作的平行線交橢圓于點,過點作的平行線交橢圓于點,請問的面積是否為定值,并說明理由.19.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.20.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.21.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線,的交點分別為、(、異于原點),當(dāng)斜率時,求的最小值.22.(10分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】A.若,則或,故A錯誤;B.若,則或故B錯誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.2.A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率,再結(jié)合支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,即得解【詳解】由題意,支出在(單位:元)的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知,支出在的同學(xué)的頻率為.故選:A本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱且,在上即可.【詳解】A:因為定義域為,所以不可能時奇函數(shù),錯誤;B:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因為,所以在上不是增函數(shù),錯誤;D:定義域關(guān)于原點對稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號零點,所以在上不是增函數(shù),錯誤;故選:B此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點對稱,屬于簡單題目.4.B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對應(yīng)的點在第二象限,得,則.故選:B.本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.本題考查了函數(shù)值的求法,考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.6.D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復(fù)數(shù)的運算;2、復(fù)數(shù)的模.7.D【解析】

根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.本題考查集合的混合運算,屬基礎(chǔ)題.8.B【解析】

根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于??碱}型.9.C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0;故②為真命題;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

,,得解.【詳解】,,,所以,故選D比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.12.C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點.【詳解】由,所以,對應(yīng)點.故選:C此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

建系,設(shè),表示出點坐標(biāo),則,根據(jù)的范圍得出答案.【詳解】解:以為原點建立平面坐標(biāo)系如圖所示:則,,,,設(shè),則,,,,,,,顯然當(dāng)取得最大值4時,取得最小值1.故答案為:1.本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,坐標(biāo)運算,屬于中檔題.14.【解析】

由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因為所以cos因此.本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15..【解析】.16.63【解析】

對進(jìn)行化簡,可得,再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可【詳解】由數(shù)列為首項為,公比的等比數(shù)列,所以63本題考查等比數(shù)列基本量的求法,當(dāng)處理復(fù)雜因式時,常用基本方法為:因式分解,約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差和等比的基本性質(zhì)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】

(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動圓圓心,由拋物線定義知:點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.18.(1);(2)證明見解析;(3)是,理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)兩個曲線的焦點相同,得到,再根據(jù)與的公共弦長為得出,可求出和的值,進(jìn)而可得出曲線的方程;(2)設(shè)點,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程,求出點的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出,則問題得以證明;(3)設(shè)直線,直線,、、,推導(dǎo)出以及,求出和,通過化簡計算可得出為定值,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由知其焦點的坐標(biāo)為,也是橢圓的一個焦點,,①又與的公共弦的長為,與都關(guān)于軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點的坐標(biāo)為,,②聯(lián)立①②,得,,故的方程為;(2)如圖,,由得,在點處的切線方程為,即,令,得,即,,而,于是,因此是銳角,從而是鈍角.故直線繞點旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)設(shè)直線,直線,、、,則,設(shè)向量和的夾角為,則的面積為,由,可得,同理可得,故有.又,故,則,因此,的面積為定值.本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系,考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解,關(guān)鍵是聯(lián)立方程,構(gòu)造方程,利用韋達(dá)定理,以及向量的關(guān)系,得到關(guān)于斜率的方程,計算量大,屬于難題.19.(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.20.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點;(2)由題意可將轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設(shè),則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時,,,這時,又函數(shù)是奇函數(shù),所以當(dāng)時,.綜上,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點.(2),由,所以恒成立,若,則,設(shè),.故當(dāng)時,,又,所以當(dāng)時,,滿足題意;當(dāng)時,有,與條件矛盾,舍去;當(dāng)時,令,則,又,故在區(qū)間上有無窮多個零點,設(shè)最小的零點為,則當(dāng)時,,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當(dāng)時,,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用,難度較大,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.21.(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】

(1)消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,求得,再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,分別代入曲線,的極坐標(biāo)方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即,又因為曲線的極坐標(biāo)方程為,即,根據(jù),代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,,,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,故的最小值為.解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為),代入曲線的極坐標(biāo)方程,得,

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