《高等代數(shù)》課程教學(xué)大綱

《高等代數(shù)》課程教學(xué)大綱一、大綱說明

課程名稱:

高等代數(shù)

課程名稱（英文）：Advanced

Algebra

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

課程性質(zhì)：學(xué)科教育必修課程

總學(xué)時：

192其中理論課學(xué)時:

192

實踐（實驗）課學(xué)時:0

學(xué)分：12

先修課程：二、本課程的地位、性質(zhì)和任務(wù)

《高等代數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，是數(shù)學(xué)各專業(yè)報考碩士研究生的必考課程之一。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握多項式和線性代數(shù)的系統(tǒng)知識和理論，提高學(xué)生抽象思維、邏輯推理和運算能力，培養(yǎng)學(xué)生運用抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)思想方法分析問題、解決問題的能力，為常微分方程、近世代數(shù)、計算方法、泛函分析等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。三、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求

第一章

基本概念教學(xué)內(nèi)容

本章主要介紹了集合、映射、數(shù)環(huán)、數(shù)域等基本概念，這些概念是學(xué)習(xí)本課程及其它數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)知識。1、集合

子集集合的相等集合的交與并及其運算律笛卡兒積2、映射

映射滿射單射雙射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要條件3、數(shù)學(xué)歸納法

自然數(shù)的最小數(shù)原理

第一數(shù)學(xué)歸納法

第二數(shù)學(xué)歸納法4、整數(shù)的一些整除性質(zhì)5、數(shù)環(huán)和數(shù)域教學(xué)要求

了解：整數(shù)的一些整除性質(zhì)

理解：集合

掌握：映射；數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)環(huán)和數(shù)域重點與難點

映射；

可逆映射；

數(shù)域。第二章多項式

本章主要介紹數(shù)域上一元多項式的概念及其運算、整除性、因式分解和有理系數(shù)多項式有理根的求法，簡單介紹了多元多項式及對稱多項式。多項式理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)知識的加深和擴(kuò)充，是學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)分支的必要基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容1、一元多項式的定義和運算2、多項式的整除性

整除的基本性質(zhì)

帶余除法定理3、多項式的最大公因式

最大公因式概念、性質(zhì)輾轉(zhuǎn)相除法多項式互素概念、性質(zhì)4、多項式的唯一因式分解定理

不可約多項式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多項式的重因式

多項式的重因式概念多項式有重因式的充要條件6、多項式函數(shù)與多項式的根

多項式函數(shù)的概念余式定理綜合除法多項式的根的概念

根與一次因式的關(guān)系多項式根的個數(shù)7、復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解（代數(shù)基本定理不證明）8、有理數(shù)域上多項式的可約性及有理根

本原多項式的定義Gauss引理

整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的可約性問題Eisenstein判別法有理數(shù)域上多頂式的有理根

※9、多元多項式

多元多項式的概念字典排列法多元多項式的和與積的次數(shù)

※10、對稱多項式

對稱多項式的概念初等對稱多項式對稱多項式基本定理教學(xué)要求

了解：多元多項式

對稱多項式

理解:

一元多項式的定義和運算；多項式的整除性；多項式函數(shù)與多項式的根；復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解

掌握:

多項式的重因式；多項式的最大公因式；復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解；有理數(shù)域上多項式的可約性及有理根重點與難點

整除概念、帶余除法及整除的性質(zhì)、最大公因式、互素、輾轉(zhuǎn)相除法、不可約多項式概念、性質(zhì)、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的應(yīng)用、k重因式與k重根的關(guān)系、復(fù)（實）系數(shù)多項式分解定理、本原多項式、Eisenstein判別法。第三章

行列式

行列式是線性方程組理論的一個重要組成部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的提高和推廣，也是一種重要的數(shù)學(xué)工具。教學(xué)內(nèi)容1、二階和三階行列式的結(jié)構(gòu)2、排列

排列的概念反序數(shù)及排列的奇偶性對換及其對排列奇偶性的影響3、n階行列式的定義和性質(zhì)4、行列式依行依列展開

余子式與代數(shù)余子式的概念行列式依行依列展開Vandermonde行列式5、Cramer規(guī)則教學(xué)要求

了解：排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義；排列的奇偶性與對換的關(guān)系

理解：二階和三階行列式的結(jié)構(gòu)；排列

掌握：n階行列式的定義和性質(zhì)；行列式依行依列展開；Cramer規(guī)則重點與難點n級行列式的定義；行列式的基本性質(zhì)；行列式按一行（列）展開的公式；Cramer法則。第四章

線性方程組教學(xué)內(nèi)容

本章在理論上解決了線性方程組有解的判定，解的個數(shù)及求法，對中學(xué)數(shù)學(xué)有直接的指導(dǎo)意義。此外，它在本課程及數(shù)學(xué)的其它分支、生產(chǎn)實踐及其它學(xué)科都有廣泛應(yīng)用。1、線線方程組的消元法

線性方程組的初等變換方程組的一般解和自由未知量系數(shù)矩陣和增廣矩陣2、矩陣的秩k階子式矩陣秩的定義初等變換不改變矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩3、線性方程組有解的判別法

線性方程組有解判別定理及解的個數(shù)定理4、線性方程組的公式解

線性方程組的公式解齊次線性方程組及其非零解的概念齊次線性方程組有非零解的充要條件教學(xué)要求

了解：線性方程組的公式解

理解：線線方程組的消元法

掌握：矩陣的秩；線性方程組有解的判別法重點與難點

矩陣的秩的概念及求法；線性方程組有解的判別及求解。第五章

矩陣教學(xué)內(nèi)容

矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，它是數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的一個重要工具。本章主要介紹矩陣的運算及其基本性質(zhì)。1、矩陣的運算

矩陣的加法數(shù)乘乘法和轉(zhuǎn)置單位矩陣2、逆矩陣

可逆矩陣及逆矩陣的概念可逆矩陣的性質(zhì)求逆矩陣的公式3、初等矩陣

初等矩陣與初等變換的關(guān)系可逆矩陣的判定用初等變換求逆矩陣4、矩陣乘積的行列式與秩5、矩陣的分塊

矩陣的分塊分塊矩陣的加法、數(shù)乘及乘法對角線分塊矩陣教學(xué)要求

了解：矩陣的分塊

理解：矩陣的運算

掌握：逆矩陣；初等矩陣；矩陣乘積的行列式與秩重點與難點

矩陣的運算；矩陣乘積的行列式定理；矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系；可逆矩陣；；伴隨矩陣；n階方陣可逆的充要條件；用公式法求逆矩陣；分塊矩陣的意義及運算；初等矩陣；用初等變換的方法求逆矩陣；分塊矩陣的逆。第六章

向量空間教學(xué)內(nèi)容

向量空間的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，它在自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹向量空間的概念與性質(zhì)。1、向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì)2、子空間

子空間的定義及充要條件子空間的交與和3、向量組的線性相關(guān)性

線性相關(guān)線性無關(guān)替換定理及其推論等價的向量組及其性質(zhì)極大無關(guān)組及其性質(zhì)4、基和維數(shù)

生成子空間基和維數(shù)的定義基的性質(zhì)維數(shù)公式5、子空間的直和

直和的定義及充要條件。6、坐標(biāo)

坐標(biāo)的定義過渡矩陣基變換公式坐標(biāo)變換公式7、向量空間的同構(gòu)

同構(gòu)映射的定義與性質(zhì)向量空間同構(gòu)的定義與充要條件8、齊次線性方程組的解空間

矩陣的行（列）空間齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系9、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)要求

了解：向量空間的同構(gòu)

理解：向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì)；子空間；

掌握：基和維數(shù)基和維數(shù)；坐標(biāo)；子空間的直和；向量空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個有限維空間同構(gòu)的充要條件：齊次線性方程組的解空間；非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)重點與難點

向量的線性相關(guān)性；基與維數(shù)的求法；過渡矩陣；直和的充要條件；兩個有限維空間同構(gòu)的充要條件；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

第七章線性變換教學(xué)內(nèi)容

線性變換是向量空間中最簡單而又最基本的變換。它是線性代數(shù)的主要研究對象之一，對于研討向量空間中向量之間的內(nèi)在聯(lián)系及向量空間的結(jié)構(gòu)起著重要的作用。本章主要介紹線性變換的運算、性質(zhì)、線性變換與矩陣的關(guān)系及矩陣的相似與化簡。1、線性變換的定義及其簡單性質(zhì)2、線性變換的象與核

線性變換的象與核的定義及其基與維數(shù)的求法3、線性變換的運算

線性變換的加法、數(shù)乘與乘法，可逆線性變換及其逆變換4、線性變換和矩陣

線性變換的矩陣向量的象的坐標(biāo)公式線性變換與矩陣的同構(gòu)對應(yīng)5、矩陣的相似

矩陣相似的定義同一線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系6、不變子空間7、特征根、特征向量、特征多項式

特征根、特征向量及特征子空間的定義、求法矩陣的跡和行列式同特征根的關(guān)系相似矩陣的特征多項式8、可對角化的矩陣

屬于不同特征根的特征向量的線性無關(guān)性特征子空間的維數(shù)與所屬特征根的重數(shù)關(guān)系線性變換和矩陣可對角化的條件教學(xué)要求

了解：線性變換的象與核

理解：線性變換的運算；線性變換的定義及其簡單性質(zhì)；不變子空間

掌握：矩陣的相似；特征根、特征向量、特征多項式；矩陣可對角化的條件、對角化的方法重點與難點

線性變換與矩陣的同構(gòu)對應(yīng)；不變子空間；特征根；特征向量；矩陣的相似；線性變換的象與核；線性變換可對角化的充要條件。第八章

歐氏空間教學(xué)內(nèi)容

歐氏空間是實數(shù)域上帶有一個內(nèi)積的向量空間，是通常幾何空間的推廣。本章主要介紹歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換和對稱變換。1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)2、Cauchy—Schwarz不等式、向量的長度、兩個向量的夾角3、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法4、向量與子空間的正交、正交補、向量到子空間的距離5、同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件6、正交變換與正交矩陣

正交變換與正交矩陣的關(guān)系一個線性變換是正交變換的充要條件7、對稱變換與實對稱矩陣

對稱變換的定義對稱變換與實對稱矩陣的關(guān)系對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)要求

了解：同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件

理解：歐氏空間的定義及基本性質(zhì)；向量與子空間的正交正交補向量到子空間的距離

掌握：正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法；正交變換與正交矩陣；對稱變換與實對稱矩陣重點與難點Cauahy-Schwarz不等式；正交基與正交化方法；正交補；正交變換；對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。第九章

二次型教學(xué)內(nèi)容

二次型的理論起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的分類，是中學(xué)有關(guān)內(nèi)容的深入和提高，也是線性代數(shù)的一個主要研究對象。本章主要介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和正定二次型的判別。1、二次型的矩陣表示

二次型的定義變量的非退化線性變換二次型的秩二次型的等價與對稱矩陣的合同2、標(biāo)準(zhǔn)形3、復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形慣性定律4、正定二次型的定義及充要條件

正定二次型的定義正定矩陣二次型正定的充要條件教學(xué)要求

了解：二次型的矩陣表示

理解：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和典范形

掌握：復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；慣性定律；正定二次型的定義及充要條件重點與難點

矩陣的合同；求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和典范形；正定二次型的判別。四、課程特色

本課程是教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，實現(xiàn)教學(xué)相長。采用課堂講授與課堂討論相結(jié)合、課堂精講與返講相結(jié)合、習(xí)題課與單元自測相結(jié)合的教學(xué)方法。五、學(xué)時分配課堂教學(xué)學(xué)時分配表序號教學(xué)內(nèi)容學(xué)時分配1基本概念62多項式363行列式184線性方程組165矩陣206向量空間307線性變換