【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題01】集合與簡易邏輯（教師版）

第1頁【專題01】集合與簡易邏輯1、集合元素具有確定性、無序性和互異性．在求有關(guān)集合問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性．例1、設(shè)、為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，，則中元素的有________個(gè)．【答案】8例2、設(shè)，，，那么點(diǎn)的充要條件是________．【答案】，例3、非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有________個(gè)．【答案】72、遇到時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．例4、集合，，且，則實(shí)數(shù)________．【答案】0、1、3、對于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為、、、．例5、滿足集合有________個(gè)．【答案】74、集合的運(yùn)算性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．例6、設(shè)全集，若，，，則________，________．【答案】，5、研究集合問題，一定要理解集合的意義，抓住集合的代表元素：如表示函數(shù)的定義域；表示函數(shù)的值域；表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)集．例7、設(shè)集合，集合，則________．【答案】例8、設(shè)集合，，則________．【答案】6、數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，“補(bǔ)集思想”常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題．例9、已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】7、復(fù)合命題真假的判斷：“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”．例10、在下列說法中：（1）“且”為真是“或”為真的充分不必要條件；（2）“且”為假是“或”為真的充分不必要條件；（3）“或”為真是“非”為假的必要不充分條件；（4）“非”為真是“且”為假的必要不充分條件．其中正確的是________．【答案】（1）（3）8、四種命題及其相互關(guān)系：若原命題是“若則”，則逆命題為“若則”；否命題為“若﹁則﹁”；逆否命題為“若﹁則﹁”．特別提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假．但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；（2）在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；（4）對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)；（5）哪些命題宜用反證法？例11、“在中，若，則、都是銳角”的否命題為________．【答案】在中，若，則、不都是銳角例12、已知函數(shù)，，證明方程沒有負(fù)數(shù)根．9、充要條件：關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件．從集合角度解釋，若，則是的充分條件；若，則是的必要條件；若，則是的充要條件．例13、給出下列命題：①實(shí)數(shù)是直線與平行的充要條件；②若、，是成立的充要條件；③已知、，“若，則或”的逆否命題是“若或，則”；④“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是假命題．其中正確命題的序號是________．【答案】①④例14、設(shè)命題；命題．若┐是┐的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】10、一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為的形式，若，則；若，則；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例15、已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為________．【答案】11、一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象，數(shù)形結(jié)合）：尤其當(dāng)和時(shí)的解集你會正確表示嗎？設(shè)，、是方程的兩實(shí)根，且，則其解集如下表：例16、解關(guān)于的不等式：．【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．12、對于方程有實(shí)數(shù)解的問題：首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0，其次若，則一定有．對于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？例17、對一切恒成立，則的取值范圍是________．【答案】例18、關(guān)于的方程有解的條件是什么？特別地，若在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式，則實(shí)數(shù)的范圍是________．【答案】，其中為的值域；13、一元二次方程根的分布理論：方程（）在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？；；根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點(diǎn)的情況．例19、實(shí)系數(shù)方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是________．【答案】14、二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程的兩個(gè)根即為二次不等式（）的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的