【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題05】平面向量（教師版）

第1頁(yè)【專題05】平面向量1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別．向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）．（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的．（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行．特別提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性！（因?yàn)橛校?；④三點(diǎn)、、共線、共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量是．例1、已知，，則把向量按向量平移后得到的向量是________．【答案】例2、下列命題：①若，則；②兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；③若，則是平行四邊形；④若是平行四邊形，則；⑤若，，則；⑥若，，則．其中正確的是________．【答案】④⑤2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后．（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如、、等．（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示．如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同．3、平面向量的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得成立．例3、若，，，試用、表示，則________．【答案】例4、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B例5、已知、分別是的邊、上的中線，且，，則可用向量、表示為_(kāi)_______．【答案】例6、已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是________．【答案】04、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1），（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)時(shí)，，注意：．5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量、，作，，（）稱為向量、的夾角．當(dāng)時(shí)，、同向；當(dāng)時(shí)，、反向；當(dāng)時(shí)，、垂直．（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量、，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量．（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0．（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積．（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量、，其夾角為，則：①；②當(dāng)、同向時(shí)，，特別地，，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，，且、不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，，且、不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量、夾角的計(jì)算公式：；④．例7、中，，，，則________．【答案】例8、已知，，，，與的夾角為，則等于________．【答案】1例9、已知，，，則等于________．【答案】例10、已知、是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為_(kāi)_______．【答案】例11、已知，，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______．【答案】例12、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是________．【答案】或且例13、已知的面積為，且，若，則、夾角的取值范圍是________．【答案】例14、已知，，與之間有關(guān)系式，其中，①用表示；②求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大?。敬鸢浮竣伲ǎ虎谧钚≈禐?，6、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，，那么，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同．（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則：①向量的加減法運(yùn)算：；②實(shí)數(shù)與向量的積：；③若，，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)；④平面向量數(shù)量積：；⑤向量的模：，；⑥兩點(diǎn)間的距離：若，，則．例15、化簡(jiǎn)：①________；②________；③________．【答案】①；②；③例16、若正方形的邊長(zhǎng)為1，，，，則________．【答案】例17、若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)_______．【答案】直角三角形例18、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_(kāi)_______．【答案】2例19、若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)_______．【答案】例20、已知點(diǎn)，，，若（），則當(dāng)________時(shí)，點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．【答案】例21、已知，，且，、，則________．【答案】或例22、已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，，，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】例23、設(shè)，，且，，則、的坐標(biāo)分別是________．【答案】，例24、已知向量，，．（1）若，求向量、的夾角；（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值．【答案】（1）；（2）或例25、已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么________．【答案】例26、如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中、分別為與軸、軸同方向的單位向量，則點(diǎn)斜坐標(biāo)為．（1）若點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，求到的距離；（2）求以為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程．【答案】（1）2；（2）7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；（2）結(jié)合律：，，；（3）分配律：，，．特別提醒：①向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除（相約）；②向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？例27、下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若，則；⑥；⑦；⑧；⑨．其中正確的是________．【答案】①⑥⑨8、向量平行（共線）的充要條件：．例28、若向量，，當(dāng)_____時(shí)，與共線且方向相同．【答案】2例29、已知，，，，且，則________．【答案】4例30、設(shè)，，，則_____時(shí)，、、共線．【答案】或119、向量垂直的充要條件：．特別地：．例31、已知，，若，則________．【答案】例32、以原點(diǎn)和為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】或例33、已知，向量，且，則的坐標(biāo)是________．【答案】或10、線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)是直線上異于、的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則叫做點(diǎn)分有向線段所成的比，點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；（2）的符號(hào)與分點(diǎn)的位置之間的關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)分有向線段所成的比為，則點(diǎn)分有向線段所成的比為．（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則．特別地，當(dāng)時(shí)，就得到線段的中點(diǎn)公式．在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確、、的意義，即分別為分點(diǎn)、起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)．在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比．例34、若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)_______．【答案】例35、若，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】例36、已知，，直線與線段交于，且，則等于________．【答案】2或11、平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線．特別提醒：①函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？②向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了?。±?7、按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)________．【答案】例38、函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則________．【答案】12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用．（2），特別地：當(dāng)、同向或有；當(dāng)、反向或有；當(dāng)、不共線；這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似．（3）①在中，若，，，則其重心的坐標(biāo)為；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量