新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識總結(jié) 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含解析）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)一、指數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根的定義：一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，正數(shù)的SKIPIF1<0次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的SKIPIF1<0次方根是負(fù)數(shù)，表示為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，正數(shù)的SKIPIF1<0次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)可以表示為SKIPIF1<0.負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子SKIPIF1<0叫做根式，SKIPIF1<0叫做根指數(shù)，SKIPIF1<0叫做被開方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)：(1)當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<03.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0要點(diǎn)詮釋：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0知識點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)SKIPIF1<0叫做指數(shù)函數(shù)，其中SKIPIF1<0是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象SKIPIF1<0SKIPIF1<0定義域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在SKIPIF1<0上是增函數(shù)在SKIPIF1<0上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，SKIPIF1<0逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，SKIPIF1<0逐漸減小.知識點(diǎn)三：對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1.對數(shù)的定義(1)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的對數(shù)，記作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做底數(shù)，SKIPIF1<0叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：SKIPIF1<0.2.幾個重要的對數(shù)恒等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3.常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；自然對數(shù)：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0…).4.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果SKIPIF1<0，那么①加法：SKIPIF1<0②減法：SKIPIF1<0③數(shù)乘：SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0⑥換底公式：SKIPIF1<0知識點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)SKIPIF1<0叫做對數(shù)函數(shù)，其中SKIPIF1<0是自變量，函數(shù)的定義域SKIPIF1<0.2.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做對數(shù)函數(shù)圖象SKIPIF1<0SKIPIF1<0001001定義域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在SKIPIF1<0上是增函數(shù)在SKIPIF1<0上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，SKIPIF1<0逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，SKIPIF1<0逐漸減小.知識點(diǎn)五：函數(shù)、方程的有關(guān)問題1．函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)SKIPIF1<0在一個區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值異號，即SKIPIF1<0，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，這個SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的根.要點(diǎn)詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上就是這樣的．故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有SKIPIF1<0．③若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時，先考慮解方程SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0無實(shí)根則函數(shù)無零點(diǎn)，方程SKIPIF1<0有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)就是方程SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)SKIPIF1<0定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度.第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異號，即SKIPIF1<0，零點(diǎn)位于區(qū)間SKIPIF1<0中.第二步：取區(qū)間SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.計算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，并判斷：①如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的零點(diǎn)，計算終止；②如果SKIPIF1<0，則零點(diǎn)位于區(qū)間SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；③如果SKIPIF1<0，則零點(diǎn)位于區(qū)間SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0第三步：取區(qū)間SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.計算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，并判斷：①如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的零點(diǎn)，計算終止；②如果SKIPIF1<0，則零點(diǎn)位于區(qū)間SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；③如果SKIPIF1<0，則零點(diǎn)位于區(qū)間SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間SKIPIF1<0，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)SKIPIF1<0的近似零點(diǎn)，計算終止.這時函數(shù)SKIPIF1<0的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.要點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量小；②SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值比較容易計算且SKIPIF1<0．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價的．對于求方程SKIPIF1<0的根，可以構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)即為方程SKIPIF1<0的根．知識點(diǎn)六：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用求解函數(shù)應(yīng)用題時一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.這時，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求.第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果.第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，使其符合實(shí)際背景.上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問題(文字語言)SKIPIF1<0數(shù)學(xué)問題(數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型)SKIPIF1<0建模(數(shù)學(xué)語言)SKIPIF1<0求模(求解數(shù)學(xué)問題)SKIPIF1<0反饋(還原成實(shí)際問題的解答).類型一：指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算例1.計算(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0【思路點(diǎn)撥】運(yùn)算時盡量把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，而小數(shù)也要化為分?jǐn)?shù)為好.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)1；(3)3；(4)14。【解析】(1)原式=SKIPIF1<0；(2)原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=1-SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1(3)原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2+SKIPIF1<0=3；(4)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩邊取常用對數(shù)得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0=14?！究偨Y(jié)升華】這是一組很基本的對數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.類型二：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2.已知函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）．A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】依題意SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選A。例3.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是()．A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0。②若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由①②可知SKIPIF1<0解法二：特殊值驗(yàn)證令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，故排除A、D。令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足SKIPIF1<0，故排除B?！究偨Y(jié)升華】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、分類思想的應(yīng)用.例4．函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（3，+∞）B．（－∞，3）C．（4，+∞）D．（－∞，2）【思路點(diǎn)撥】這是一個內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”。【答案】D【解析】函數(shù)SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0復(fù)合而成的，SKIPIF1<0是減函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，故選D。例5．已知函數(shù)y=(SKIPIF1<0)|x+1|。作出圖象；由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；由圖象指出當(dāng)x取什么值時函數(shù)有最值。【思路點(diǎn)撥】思路一：化去絕對值符號SKIPIF1<0將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式SKIPIF1<0作圖象SKIPIF1<0寫出單調(diào)區(qū)間SKIPIF1<0寫出x的取值；思路二：利用函數(shù)圖象的變換作函數(shù)圖象SKIPIF1<0寫出單調(diào)區(qū)間SKIPIF1<0寫出x的取值。【解析】（1）圖象作法一：由已知可得SKIPIF1<0其圖象由兩部分組成：一部分是：SKIPIF1<0另一部分是：SKIPIF1<0圖象如圖：圖象作法二：先作函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，再作函數(shù)SKIPIF1<0圖象。作法：將函數(shù)SKIPIF1<0圖象在y軸左側(cè)去掉，保留右側(cè)，再把右側(cè)沿y軸翻折到左側(cè)得到函數(shù)SKIPIF1<0圖象（上圖中虛線），再將函數(shù)SKIPIF1<0圖象向左平移1個單位得到函數(shù)SKIPIF1<0圖象。（2）由圖象知函數(shù)在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，在SKIPIF1<0上是減函數(shù)。（3）由圖象知當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)有最大值1，無最小值。例6.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【思路點(diǎn)撥】(1)本題求f(x)的定義域，但由于在條件中已知函數(shù)的解析式，所以，在求解方法上，可以考慮函數(shù)的真數(shù)大于零，解不等式.(2)本題求f(x)的單調(diào)性，但由于在條件中已知函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，所以在解題方法上，可用復(fù)合函數(shù)求其單調(diào)性.【解析】(1)使f(x)=loga(ax-1)有意義，則ax-1>0，即ax>1，當(dāng)a>1時，x>0；當(dāng)0<a<1時，x<0；∴當(dāng)a>1時，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0}.(2)當(dāng)a>1時，設(shè)0<x1<x2，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，設(shè)x1<x2<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴f(x1)<f(x2)，∴當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù)；綜上可知：函數(shù)f(x)=loga(ax-1)在其定義域上為增函數(shù).方法提示：利用復(fù)合函數(shù)（只限由兩個函數(shù)復(fù)合而成的）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法找出已知函數(shù)是由哪兩個函數(shù)復(fù)合而成的；當(dāng)外函數(shù)為對數(shù)函數(shù)時，找出內(nèi)函數(shù)的定義域；分別求出兩函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；按照“同增異減”確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在函數(shù)的定義域上進(jìn)行。類型三：關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系問題例7．若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A．若SKIPIF1<0，不存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；B．若SKIPIF1<0，存在且只存在一個實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0，有可能存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；D．若SKIPIF1<0，有可能不存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．【答案】C【解析】對于A選項：可能存在；對于B選項：必存在但不一定唯一例8．求函數(shù)SKIPIF1<0零點(diǎn)的個數(shù)．【思路點(diǎn)撥】此題考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，方法一：數(shù)形結(jié)合法，注意到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像不易作，舍之；方法二：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的解的個數(shù)問題．而方程SKIPIF1<0不易解，舍之．若將方程SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0．構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的根即為方程組SKIPIF1<0的解，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像的交點(diǎn)的個數(shù)．【答案】0【解析】函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像如圖所示：由此易知，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像交點(diǎn)個數(shù)為0，即得：函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個數(shù)為0．【總結(jié)升華】函數(shù)SKIPIF1<0零點(diǎn)個數(shù)的求法之一是：數(shù)形結(jié)合法，將方程SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，這兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)的個數(shù)．這種方法數(shù)形結(jié)合，直觀性強(qiáng)．例9．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別是實(shí)系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的一個根，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：方程SKIPIF1<0有且僅有一根介于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間．證明：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別是實(shí)系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的一個根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有且僅有一根介于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間【總結(jié)升華】這是最基本的題型，所用的方法也是基本方法：只要判斷區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)值的乘積是否滿足SKIPIF1<0，還要看函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在[a，b]上是否是連續(xù)曲線即可．解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案．例10．借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程SKIPIF1<0的一個近似解．（精確到0.01）【思路點(diǎn)撥】利用二分法求方程近似解的實(shí)質(zhì)為求相應(yīng)函數(shù)的近似零點(diǎn)，本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)SKIPIF1<0的近似零點(diǎn)．注意到SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0在[-l，0]內(nèi)有實(shí)根，再用二分法求近似解．【解析】考查函數(shù)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0在[-l，9]內(nèi)有實(shí)數(shù)解．如此，得到方程SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)解所在區(qū)間的表：1左端點(diǎn)右端點(diǎn)第1次-10第2次-10.5第3次-0.75-0.5第4次-0.75-0.625第5次-0.6875-0.625第6次-0.6875-0.65625第7次-0.6875-0.671875第8次-0.6875-0.6796875第9次-0.6875-0.68359735第10次-0.6875-0.685546875至此，可以看出，區(qū)間[-0.6875，-0.685