陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中2022-2023學(xué)年八下期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題．（共10小題，每小題3分，計(jì)30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.下列代數(shù)式中，是分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式定義，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.該代數(shù)式是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；B.該代數(shù)式是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；C.該代數(shù)式是分式，故此選項(xiàng)符合題意；D.該代數(shù)式是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義：一般地，如果表示兩個(gè)式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解題的關(guān)鍵．2.下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．3.關(guān)于x的一元一次不等式組的解集如圖所示，則它的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)心圓表示有等號(hào)，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，確定．【詳解】根據(jù)實(shí)心圓表示有等號(hào)，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，故表示的解集是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示不等式解集，熟練掌握解集確定的法則是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點(diǎn)C，A，在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得為旋轉(zhuǎn)角、，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可得．【詳解】解：在中，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：為旋轉(zhuǎn)角，，點(diǎn)C、A、在同一條直線上，，即旋轉(zhuǎn)角等于，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.下列變形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解的定義即把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)單項(xiàng)式的積解答即可．【詳解】A、，不是多項(xiàng)式，本選項(xiàng)不符合題意；B、，右邊不是整式積的形式，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)符合題意；D、，右邊不是整式積的形式，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖，射線平分，點(diǎn)D、Q分別在射線、上，若，的面積為10，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P，則的長為（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，利用角的平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式即可解答．【詳解】過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，∵射線平分，，∴；∵，的面積為10，∴；∴；解得，故

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握角的平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.在平面直角坐標(biāo)系中，將線段平移后得到線段，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計(jì)算即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：線段平移后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段向右平移4個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到線段，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減，先確定出平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8.如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和諧分式的定義去判斷即可．【詳解】A.，不符合要求；B.，無法因式分解，不符合要求；C.，符合題意；D.，不符合要求；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的新定義問題，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．9.已知a、b、c是的三邊長，且滿足，那么據(jù)此判斷的形狀是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，等邊三角形的判定計(jì)算選擇即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故是等邊三角形，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，等邊三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在中，，，點(diǎn)P是底邊上的高上一點(diǎn)，若的最小值為，那么為（）A B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】作關(guān)于直線的對(duì)稱線段，根據(jù)垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱線段，∵，，點(diǎn)P是底邊上的高上一點(diǎn)，∴，∴，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則，∴,過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∵，∴當(dāng)P與點(diǎn)F重合，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，取得最小值，且最小值為，故，∵∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱思想，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，直角三角形的特征，熟練掌握垂線段最短，軸對(duì)稱思想，直角三角形的特征和勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題．（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）11.若分式的值為0，則x的值為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)分式的值為0時(shí)分母≠0，且分子＝0兩個(gè)條件求出x的值即可．【詳解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為0時(shí)求字母的值．分式值為0時(shí)分子=0，分母≠0，兩個(gè)條件缺一不可，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=_______°．【答案】87．【解析】【詳解】試題分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案為87．考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)．13.計(jì)算：______．【答案】【解析】【詳解】解：===，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．14.直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象，找直線在上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∴，即直線在直線的上方，∵當(dāng)時(shí)，直線在直線的上方，∴解集為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，根據(jù)不等式的問題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值大小的問題是解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，在長方形中，，，E，F(xiàn)分別為，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，那么的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)Ｃ作，，二線交于點(diǎn)Ｇ，根據(jù)三角形不等式確定最小值，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合特殊角的特征，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】過點(diǎn)Ｃ作，，二線交于點(diǎn)Ｇ，則四邊形是平行四邊形，∴，連接，∵，故當(dāng)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，連接，交于點(diǎn)M，則的最小值為，當(dāng)F與M重合，E與H重合時(shí)，最小，過點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，∵，，∴,∴解得∵四邊形是平行四邊形，∴,∴,,∴,過點(diǎn)G作，交的延長線于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∴,∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形不等式，特殊角的特征，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題．（共8小題，計(jì)55分．解答要寫出過程）16.因式分解：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)運(yùn)用提取公因式法分解即可．(2)運(yùn)用平方差公式和完全平方公式分解即可．【小問1詳解】．【小問2詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．17.解不等式（組）；（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)解不等式的基本步驟求解即可．(2)根據(jù)解不等式組的基本步驟求解即可．【小問1詳解】，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得．【小問2詳解】解不等式得解集為；解不等式得解集為；故不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式和不等式組的解法，熟練掌握求解的基本步驟是解題的關(guān)鍵．18.先化簡：，再從的范圍內(nèi)選擇一個(gè)合適的整數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，2【解析】【分析】先化簡，后選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算．【詳解】，∵，，且a為整數(shù)，∴，故原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握化簡的步驟，分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．19.如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A的距離最短．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短，只須過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【詳解】如圖，根據(jù)垂線段最短，只須過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，垂線的尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1）將平移，使點(diǎn)B平移到，畫出平移后的，此時(shí)線段的長度為；（2）畫出繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的，那么在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)C走過的路徑長為．【答案】（1）見解析,（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)平移坐標(biāo)為，得到向左平移1個(gè)單位長度，向上平移6個(gè)單位長度，確定A，C平移后坐標(biāo)，畫圖形即可，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算半徑，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到圓心角，利用弧長公式計(jì)算即可．【小問1詳解】∵平移坐標(biāo)為，∴向左平移1個(gè)單位長度，向上平移6個(gè)單位長度，∵，，∴，，畫圖如下，則即為所求；∵，，∴，故答案為：．【小問2詳解】根據(jù)勾股定理計(jì)算半徑，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到圓心角，故運(yùn)動(dòng)路徑長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移規(guī)律，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在四邊形中，平分，，交的延長線于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角的平分線性質(zhì)，運(yùn)用直角三角形全等的判定定理證明即可．（2）根據(jù)角的平分線性質(zhì)，證明，得到，結(jié)合得到計(jì)算即可．【小問1詳解】∵平分，，，∴，∵，∴．【小問2詳解】∵，∴；∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵平分，，，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判斷和性質(zhì)，直角三角形的特征，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．22.為響應(yīng)國家“電商助農(nóng)”的號(hào)召，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備將本地農(nóng)戶合作社手工制作的具有本地文化特色的襯衣和T恤進(jìn)行線上銷售，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表．已知購進(jìn)一件襯衣比一件T恤的進(jìn)價(jià)貴元，用元恰好可購進(jìn)襯衣件和T恤5件．種類襯衣T恤進(jìn)價(jià)（元/件）ab售價(jià)（元/件）（1）分別求出表中a、b的值；（2）若該電商計(jì)劃購進(jìn)襯衣和T恤兩種服飾共件，據(jù)市場銷售分析，T恤進(jìn)貨件數(shù)不少于襯衣件數(shù)的2倍，如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）a、b的值分別為，（2）購進(jìn)襯衣件，T恤件時(shí)，利潤最大，為元【解析】【分析】（1）由題意得，，計(jì)算求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)襯衣件，T恤件，利潤為元，則由題意得，，解得，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解作答即可．【小問1詳解】解：由題意得，，解得，∴a、b的值分別為260，80；【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)襯衣件，T恤件，利潤為元，則由題意得，，解得，，∵，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，利潤最大，最大利潤（元），∴（件），∴購進(jìn)襯衣件，T恤件時(shí)，利潤最大，為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．23.閱讀下面的材料：小華遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，，點(diǎn)D，E在邊上，．若，求的長．小華發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接（如圖②），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及，可證，得．（1）請(qǐng)回答