考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷9（共235題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷9（共9套）（共235題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、微分方程y’’－y’－6y＝(x＋1)e－2x的特解形式為()．A、(ax＋b)e－2xB、ax2e－2xC、(ax2＋bx)e－2xD、x2(ax＋b)e－2x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為原方程的特征方程的特征值為λ1＝－2，λ2＝3，而－2為其中一個特征值，所以原方程的特解形式為x(ax＋b)e－2x，選(C)．2、設(shè)x2＋y2≤2ay(a＞0)，則f(x，y)dxdy在極坐標(biāo)下的累次積分為()．A、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrB、∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdrC、dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrD、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，則f(x，y)dxdy＝∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，選(B)．3、設(shè)f(x)＝，其中g(shù)(x)為有界函數(shù)，則f(x)在x＝0處()．A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為f(0＋0)＝＝0，f(0)＝f(0－0)＝x2g(x)＝0，所以f(x)在x＝0處連續(xù)；因為f’＋(0)＝f’－(0)＝0，所以f(x)在x＝0處可導(dǎo)，應(yīng)選(D)．4、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(－δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為f’(0)＝＞0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，＞0，當(dāng)x∈(－δ，0)時，f(x)＜f(0)；當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)＞f(0)，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為sinx＝x－＋ο(x3)，所以(1＋x2)sinx－x～．6、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且f’(－1)＝2，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－8知識點解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，于是f’(1)＝－2，7、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)y＝y(tǒng)(x)由x－∫1x＋ye－t2確定，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1知識點解析：當(dāng)x＝0時，y＝1，x－∫1x＋ye－t2dt＝0兩邊對x求導(dǎo)，得1－e－(x＋y)2(1＋)＝0，將x＝0，y＝1代入得＝e－1．9、微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(x＋C)cosx知識點解析：通解為y＝[∫cosxe∫tanxdxdx＋C]e－∫tanxdx＝(x＋C)cosx．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝arctanx，由微分中值定理得知識點解析：暫無解析13、(1)設(shè)f(x)＝｜x－a｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，討論f’(a)的存在性．(2)討論f(x)＝在x＝0處的可導(dǎo)性．(3)設(shè)f(x)＝討論f(x)在x＝0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝－g(a)得f’－(a)＝－g(a)；由＝g(a)得f’＋(a)＝g(a)，當(dāng)g(a)＝0時，由f’－(a)＝f’＋(a)＝0得f(x)在x＝a處可導(dǎo)且f’(a)＝0，當(dāng)g(a)≠0時，由f’－(a)≠f’＋(a)得f(x)在x＝a處不可導(dǎo)．(2)因為＝f(0)，所以f(x)在x＝0處連續(xù)．則f’(0)＝，即f(x)在x＝0處可導(dǎo)．(3)f(0)＝f(0－0)＝0，f(0＋0)＝＝0，由f(0—0)＝f(0＋0)＝f(0)得f(x)在x＝0處連續(xù)；由得f’－(0)＝0，得f’＋＝0，因為f’－(0)＝f’＋(0)＝0，所以f(x)在x＝0處可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)et2dt＝∫0xcos(x－t)2dt確定y為x的函數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xcos(x－t)2dt∫x0cosu2(－du)＝∫0xcost2dt,等式∫1y－x2et2dt＝∫0xcost2兩邊對x求導(dǎo)，得＝cosx2,于是cosx2．知識點解析：暫無解析15、證明：當(dāng)0＜x＜1時，e－2x＞．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－2x＞等價于－2x＞ln(1－x)－ln(1＋x)，令f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x，則f(0)＝0，f’(x)＝＞0(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故當(dāng)0＜x＜1時，．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且∫01f(t)dt＝0。證明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝∫0ξf(t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝e－x∫0xf(t)dt，因為φ(0)＝φ(1)＝0，所以存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝e－x[f(x)－∫0xf(t)dt]且e－x≠0，故f(ξ)＝∫0ξf(t)dt．知識點解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)＝f(x－π)＋sinx，且當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)＝x，求∫π3πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫π3πf(x)dx＝∫π3π[f(x－π)＋sinx]dx＝∫π3πf(x－π)dx＋∫π3πsinxdx＝∫02πf(x)dx＝∫0πxdx＋∫π2πf(x)dx＝＋∫π2π[f(x－π)＋sinx]dx＝＋∫π2πf(x－π)dx＋∫π2πsinxdx＝＋∫0πxdx－2＝π2－2．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)連續(xù)，證明：∫0x[∫0tf(u)du]dt＝∫0xf(t)(x－t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)＝∫0xf(t)dt，則F’(x)＝f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt＝∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x－t)dt＝x∫0xf(t)dt－∫0xtf(t)dt＝xF(x)－∫0xtdF(t)＝xF(x)－tF(t)｜0x＋∫0xF(t)dt＝∫0xF(t)dt．命題得證．知識點解析：暫無解析20、設(shè)u＝xyz，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：，由u＝eyzlnx得＝eyzlnx．zyz－1lnx＝zyzlnx，＝eyzlnx．yzlnxlny＝uyzlnxlny，故du＝uyz(lnxdy＋lnxlnydz)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)F＝0且F可微，證明：＝z－xy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、計算xy(x＋y)dσ，其中D是由x2－y2＝1及y＝0，y＝1圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)an為發(fā)散的正項級數(shù)，令Sn＝a1＋a2＋…＋an(n＝1,2,…)．證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)有冪級數(shù)．(1)求該冪級數(shù)的收斂域；(2)證明此冪級數(shù)滿足微分方程y’’－y＝－1；(3)求此冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因為＝0，所以收斂半徑為R＝＋∞，故冪級數(shù)的收斂域為(一∞，＋∞)．故該冪級數(shù)滿足微分方程y’’－y＝－1．(3)由f’’(x)－f(x)＝－1得f(x)＝C1e－x＋C2ex＋1，再由f(0)＝2，f’(0)＝0得C1＝，所以f(x)＝chx＋1．知識點解析：暫無解析25、求微分方程y’’＋4y’＋4y＝eax的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋4λ＋4＝0，特征值為λ1＝λ2＝－2，原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y＝(C1＋C2x)e－2x．(1)當(dāng)a≠－2時，因為a不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)＝Aeax，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2x)e－2x＋eax；(2)當(dāng)a＝－2時，因為a＝－2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)＝Ax2e－2x，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2x)e－2x＋x2e－2x．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列函數(shù)f(x)中其原函數(shù)及定積分∫-11f(x)dx都存在的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：像這類題需逐一分析．上述四個選項的f(x)均不連續(xù)．對于(A)：顯然x=0是f(x)的第一類間斷點，因此在任意一個不包含點x=0在內(nèi)的區(qū)間上，f(x)一定存在原函數(shù)．因為當(dāng)x≠0時｜x｜’=f(x)，因此當(dāng)x≠0時，f(x)的全體原函數(shù)｜x｜+c在x=0處不可導(dǎo)，從而在任意一個包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上，｜x｜+c不是f(x)的原函數(shù)，所以f(x)在上述區(qū)間上不存在原函數(shù)．但定積分∫-11(x)dx存在，因為f(x)在上述區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點．故(A)不對．對于(B)：顯然x=0是f(x)的振蕩間斷點即第二類間斷點，但是該f(x)存在原函數(shù)F(x)=(容易驗證，當(dāng)一∞＜x＜+∞時F’(x)=f(x))．而定積分∫-11f(x)dx不存在，因為在x=0的鄰域內(nèi)f(x)無界．故(B)不對．對于(C)：顯然x=0是f(x)的無窮間斷點即第二類間斷點，此f(x)在包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上不存在原函數(shù)．定積分∫-11f(x)dx也不存在．故C也不對．對于(D)：顯然z=0是f(z)的第二類間斷點，容易驗證該f(x)在(一∞，+∞)上存在原函數(shù)F(x)=定積分∫-11f(x)dx也存在(因為f(x)在(一∞，+∞)上有界，且只有有限個間斷點)．故(D)正確，應(yīng)選(D)．2、積分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無關(guān)的負(fù)數(shù)．C、是與a無關(guān)的正數(shù)．D、為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosz).cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式=∫02πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=∫-ππl(wèi)n(2+cosx)cosxdx又因為在[0，π]上，2+cosax＞0，sin2x＞0，因此該積分是與a無關(guān)的正數(shù)．故選(C)．3、設(shè)F’(x)=f(x)，則A、當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)一定是偶函數(shù)．B、當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)一定是奇函數(shù)．C、當(dāng)f(x)是以T為周期的函數(shù)時，F(xiàn)(x)一定也是以T為周期的函數(shù)．D、當(dāng)f(x)是以T為周期的函數(shù)時，F(xiàn)(x)一定不是以T為周期的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令則f(x)=x2是偶函數(shù)，但F(x)不是奇函數(shù)，故可排除(B)．令F(x)=sinx+x，則f(x)=cosx+1，f(x)是周期函數(shù)，但F(x)不是周期函數(shù)，故可排除(C)．令F(x)=sinx，則f(x)=cosx，f(x)和F(x)都是周期函數(shù)，故可排除(D)．當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt+C，而故F(x)是偶函數(shù)，應(yīng)選(A)．4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則下列命題正確的是A、若f(x)為偶函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠0．B、若f(x)為奇函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠2∫0af(x)dx．C、若f(x)為非奇非偶函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠0．D、若f(x)為以T為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù)，則F(x)=∫0xf(￡)dt是以T為周期的周期函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于f(x)=0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，且∫aa0dx=0，所以不選(A)，(B)．若f(x)為非奇非偶函數(shù)，也可能有∫-aaf(x)dx=0．例如在(一∞，+∞)上為非奇非偶函數(shù)，但∫-11f(x)dx=一∫-103x2dx+∫01dx=0，因此不選(C)，由排除法應(yīng)選(D).事實上，利用“若f(x)為以T為周期的周期函數(shù)，則∫aa+Tf(x)dxa1的值與a無關(guān)”與奇函數(shù)的積分性質(zhì)可得，有所以F(x)=∫0xf(t)dt是以T為周期的周期函數(shù)．5、設(shè)則A、f(x)=f(x+π)．B、f(x)＞f(x+π)．C、f(x)＜f(x+π)．D、當(dāng)x＞0時，f(x)＞f(x+π)；當(dāng)x＜0時，f(x)＜f(x+π)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：故應(yīng)選A．6、設(shè)常數(shù)則A、I1＞I2．B、I1＜I2．C、I1=I2．D、I1與I2的大小與α的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：7、下列反常積分中發(fā)散的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析8、設(shè)則f(t)在t=0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：故f(x)在t=0處不可導(dǎo)．選C．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xlnlnx+C知識點解析：12、∫ex+excosx(cosx—sinx)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、設(shè)f’’(x)連續(xù)，f’(x)≠0，則=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：14、=_______________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：16、=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)17、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(V)(Ⅵ)由于被積函數(shù)是max{x3，x2，1}，所以首先要對x的不同取值范圍定出被積函數(shù)的表達(dá)式；其次，為使求得的原函數(shù)處處連續(xù)，要對任意常數(shù)進(jìn)行“調(diào)整”．求解如下：知識點解析：暫無解析18、求下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓一萊布尼茲公式得(Ⅳ)(V)(Ⅵ)(Ⅶ)令x=tant，則dx=sec2tdt，故(Ⅷ)用分部積分法，可在(0，+∞)內(nèi)求得不定積分(IX)知識點解析：暫無解析19、已知是f(x)的一個原函數(shù)，求∫x3f’(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分得∫x3f’(x)dx=x3f(x)一3∫x2f(x)dx．知識點解析：暫無解析20、設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，滿足求f(x)(x＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對等式兩邊積分，得知識點解析：暫無解析21、設(shè)且f(0)=0，求函數(shù)f(x)和f(lnx)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t或x=et，則上式積分得由f(x)在t=0處連續(xù)，即d(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C2=一1．故所求的函數(shù)為知識點解析：暫無解析22、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x))dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)曲線y=ax2+bx+c過原點，且當(dāng)0≤x≤1時，y≥0，并與x軸所圍成的圖形的面積為，試確定a、b、c的值，使該圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：首先，已知該曲線過原點，因而c=0．又當(dāng)0≤x≤1時，y≥0，可知a＜0，a+b≥0．于是該曲線在0≤x≤1上與x軸所圍面積為該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積為可知，要使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積最小，a，b的值應(yīng)分別是知識點解析：暫無解析24、求由直線x=1，x=3與曲線y=xlnx及過該曲線上一點處的切線圍成的平面圖形的最小面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(x0，y0)為切點，如圖3．1，則切線方程為y—y0=(1+lnx0)(x一x0)．由此可知所圍圖形面積為知識點解析：暫無解析25、過原點作曲線y=lnx的切線，設(shè)切點為x0，且由曲線y=lnx，直線y=0，x=x0所圍平面圖形的面積與由曲線y=x3，直線y=0，x=a所圍平面圖形的面積相等，求a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=lnx上一點(x0，lnx0)的切線方程為由于切線過原點，故有l(wèi)nx0=1→x0=e．由y=lnx，x0=e，y=0所圍圖形面積知識點解析：暫無解析26、設(shè)P(a，b)是曲線上的點，且a＜5．(I)求P點處的切線方程；(Ⅱ)由(I)中的切線與曲線及x軸，y軸所圍成圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)，把所得旋轉(zhuǎn)體的體積表示成a的函數(shù)，并求其最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)如圖3．2，P處切線方程的斜率為因而P處切線方程可表示為(Ⅱ)該切線交x軸于(10一a，0)，所求旋轉(zhuǎn)體體積V，可用錐體體積減去曲線部分的旋轉(zhuǎn)體體積，即知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯誤的是A、若f(x，y)在D連續(xù)，對D的任何子區(qū)域D0均有(x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可積，f(x，y)≥0，但不恒等于0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：直接指出其中某命題不正確．因為改變有限個點的函數(shù)值不改變函數(shù)的可積性及相應(yīng)的積分值，因此命題(B)不正確．設(shè)(x0，y0)是D中某點，令f(x，y)=則在在區(qū)域D上f(x，y)≥0且不恒等于零，但f(x，y)dσ=0．因此選(B)．或直接證明其中三個是正確的．命題(A)是正確的．用反證法、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及二重積分的不等式性質(zhì)可得證．若f(x，y)在D不恒為零→(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨設(shè)f(x0，y0)＞0，由連續(xù)性→D，且當(dāng)(x，y)∈D0時f(x，y)＞0，由此可得f(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命題(D)是正確的．利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)達(dá)到最小值及重積分的不等式性質(zhì)可得證．這是因為f(x，y)≥minf(x，y)=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某點，于是由二重積分的不等式性質(zhì)得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面積．命題(C)是正確的．若f(x，y)≠0→在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于零．由假設(shè)f2(x，y)在D連續(xù)→f2(x，y)dσ＞0．與已知條件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此選(B)．比較積分值的大?。?、設(shè)I1=，其中D={(x，y)｜(x—1)2+(y一1)2≤2}，則下述結(jié)論正確的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：利用求極值的方法可以得到0≤≤1，(x，y)∈D(上述不等式也可由圖4．18看出)，因此(A)正確．3、設(shè)Ii=dσ，i=1，2，3，其中，D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}，則下述結(jié)論正確的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：容易看出：D1D2，因此(C)正確．4、設(shè)I=cos(x2+y2)dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則A、I3＞I2＞I1．B、I1＞I2＞I3．C、I2＞I1＞I3．D、I3＞I1＞I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：在積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上有(x2+y2)2≤x2+y2≤，且等號僅在區(qū)域D的邊界{(x，y)｜x2+y2=1}上與點(0，0)處成立．從而在積分區(qū)域D上有cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos，且等號也僅僅在區(qū)域D的邊界{(x，y)｜x2+y2=1}上與點(0，0)處成立．此外，三個被積函數(shù)又都在區(qū)域D上連續(xù)，按二重積分的性質(zhì)即得I3＞I2＞I1，故應(yīng)選(A)．5、設(shè)D是由曲線y=x3與直線x=一1與y=1圍成的區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則(xy+cosxsiny)dxdy=____．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：用曲線段={(x，y)｜y=一x3，一1≤x≤0}與x軸，y軸將區(qū)域D分成D1，D2，D3，D4四個部分(見圖4．19)，于是D1與D2關(guān)于y軸對稱，D3與D4關(guān)于x軸對稱．由于xy對x或?qū)均為奇函數(shù)，因此xydxdy=0．又由于cosxsiny對x是偶函數(shù)，而對y是奇函數(shù)，所以cosxsinydxdy=0．綜上所述，應(yīng)選(A)．6、設(shè)區(qū)域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D1為D在第一象限部分，f(x，y)在D上連續(xù)且f(x，y)≠0，則f(x，y)dσ成立的一個充分條件是A、f(一x，一y)=f(x，y)．B、f(一x，一y)=一f(x，y)．C、f(一x，y)=f(x，一y)=一f(x，y)．D、f(一x，y)=f(x，一y)=f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(D)表明f(x，y)關(guān)于x是偶函數(shù)，關(guān)于y也是偶函數(shù)，故當(dāng)條件(D)成立時，結(jié)論成立．(A)不充分．如f(x，y)=xy，有f(一x，一y)=xy=f(x，y)，但xydσ＞0．同樣，令f(x，y)=xy，可知滿足(C)的條件，但xydσ＞0，故條件(C)不充分．對條件(B)，令f(x，y)=xy2，有f(一x，一y)=一f(x，y)，但xy2dσ＞0．二、解答題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)7、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階全微分形式不變性，分別對兩個方程求全微分，由第一個方程可得du=f’1d(x—ut)+f’2d(y—ut)+f’3d(z—ut)=f’1dx+f’2dy+f’3dz—t(f’1+f’2+f’3)du—u(f’1+f’2+f’3)dt，于是可解得du=．由第二個方程可得g’1dx+g’2dy+g’3dz=0→dz=一(g’1dx+g’2dy)．把所得的dz代入du表達(dá)式的右端．經(jīng)整理有知識點解析：在題設(shè)的兩個方程中共有五個變量x，y，z，t和u．按題意x，y是自變量，u是因變量，從而由第二個方程知z應(yīng)是因變量，即第二個方程確定z是x，y的隱函數(shù)．這樣一來在五個變量中x，y和t是自變量，u與z是因變量．8、設(shè)f(u)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且z=f(exsiny)滿足方程=e2xz，求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=exsiny，則有由已知條件，得f"(u)e2x=e2xf(u)，即f"(u)一f(u)=0．此二階常系數(shù)方程的特征方程是λ2一1=0，特征根λ=±1，故f(u)=C1eu+C2e—u，其中C1和C2是兩個任意常數(shù)．知識點解析：z=f(exsiny)是z=f(u)與u=exsiny的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可導(dǎo)出與f’(u)，f"(u)的關(guān)系式，從而由=e2xz導(dǎo)出f(u)滿足的微分方程式，然后解出f(u)．9、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f"uu(u，v)=f"vv(u，v)，若已知f(x，4x)=x，f’u(x，4x)=4x2，求f"uu(x，4x)，f"uv(x，4x)與f"vv(x，4x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：按復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則將恒等式f(x，4x)=x兩端對x求導(dǎo)數(shù)得f’u(x，4x)+4f’v(x，4x)=1，把f’u(x，4x)=4x2代入上式可得f’v(x，4x)=一x2．(*)再分別將恒等式f’u(x，4x)=4x2與(*)式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，并利用f"uu(x，y)=f"vv(x，y)就有知識點解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)z=(1+ey)cosx—yey，證明：函數(shù)z有無窮多個極大值點，而無極小值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，一2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判斷所有駐點是否是極值點，是極大值點還是極小值點．在(2nπ，0)處，由于=一2＜0，則(2nπ，0)是極大值點．在((2n+1)π，—2)處，由于＜0，則((2n+1)π，一2)不是極值點．因此函數(shù)z有無窮多極大值點(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而無極小值點．知識點解析：暫無解析11、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為P1和P2；銷售量分別為Q1和Q2；需求函數(shù)分別為Q1=24—0．2P1，Q2=10—0．05P2；總成本函數(shù)C=35+40(Q1+Q2)．試問：廠家如何確定兩個市場的售價，才能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：總收益函數(shù)是R=P1Q1+P2Q2=24P1+10P2—0．2P12一0．05P22，總成本函數(shù)是C=35+40(Q1+Q2)=1395—8P1一2P2，于是，該廠的總利潤函數(shù)是L(P1，P2)=R—C=一0．2P12一0．05P22+32P1+12P2—1395=一0．2(P1—80)2一0．05(P2—120)2+605．由上式知，廠家應(yīng)分別按P1=80，P2=120的價格在兩個市場上銷售該產(chǎn)品，才能獲最大利潤，最大總利潤是605．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x，y)=x2+8y2一4x2y2在區(qū)域D={(x，y)｜x2+4y2≤4，y≥0}上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求f(x，y)在D內(nèi)其駐點處的函數(shù)值．令因在D內(nèi)y＞0，從而可解出f(x，y)在D內(nèi)有且只有兩個駐點。計算可得其次求f(x，y)在D的邊界={(x，y)｜｜x｜≤2，y=0}上的最大值與最小值．把y=0代入f(x，y)的表達(dá)式可得f(x，0)=x2，不難得出在上f(x，y)的最小值為f(0，0)=0，最大值為f(一2，0)=f(2，0)=4．最后求f(x，y)在D的邊界={(x，y)｜x2+4y2=4，y≥0}上的最大值與最小值．把y=代入f(x，y)的表達(dá)式可得一元函數(shù)=x2+(2一x2)(4一x2)=x4—5x2+8．令h’(x)=4x3一10x=4x(x2一內(nèi)共有三個駐點(0，1)，，函數(shù)f(x，y)在這三個駐點處的函數(shù)值分別是又因f(x，y)在的端點(一2，0)與(2，0)處的函數(shù)值為f(一2，0)=f(2，0)=4．比較即知f(x，y)在．比較以上各值可知f(x，y)在D上的最大值為f(0，1)=8，最小值為f(0，0)=0．知識點解析：暫無解析13、設(shè)閉區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤y，x≥0}，又f(x，y)為D上的連續(xù)函數(shù)，且求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(u，v)dudv=A，在已知等式兩邊計算區(qū)域D上的二重積分(圖4．17)，有知識點解析：在函數(shù)f(x，y)的表達(dá)式中含有函數(shù)f(x，y)本身的二重積分，我們曾經(jīng)遇到過有關(guān)定積分的同類問題，可用同樣方法求解．因二重積分也是一個常數(shù)，只要令f(u，v)dudv=A即可．14、設(shè)f(x)是[0，1]上單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù)，證明∫01xf2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01f3(x)dx．∫01f2(x)dx，即要證I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx一∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx≥0．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I=∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx—∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx，則由定積分與積分變量所I=∫01xf2(x)dx．∫01f3(y)dy—∫01yf3(y)dy．∫01f2(x)dx=∫01∫01xf2(x)f3(y)dxdy—∫01∫01yf3(y)f2(x)dxdy=f2(x)f3(y)(x一y)dxdy，①其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．由于積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，又有I=f2(y)f3(x)(y一x)dxdy．②由①式與②式相加，得I=f2(x)f2(y)(y一x)[f(x)一f(y)]dxdy．由于f(x)單調(diào)減少，所以I≥0，即∫01f2(x)dx．∫01f3(x)dx≥∫01xf3(x)dx．∫01f2(x)dx．(*)又f(x)取正值，故∫01xf3(x)dx＞0，∫01f3(x)dx＞0．用∫01xf3(x)dx與∫01f3(x)dx除(*)式，不等式得證。知識點解析：暫無解析15、求x(x+2y)dσ，其中D是由曲線x2+4y2=2x+8y一1圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x2+4y2=2x+8y—1+(y一1)2=1，故積分區(qū)域D是xy平面上以(1，1)為中心，長短半軸分別為2與1的橢圓域．引入坐標(biāo)系的平移u=x—1，v=y一1，則D在uv平面上對應(yīng)區(qū)域D’={(u，v)｜+v2≤1}，且在此利用了u(v+2)是關(guān)于u的奇函數(shù)，v是奇函數(shù)以及u2分別關(guān)于u與v是偶函數(shù)，而D’分別關(guān)于u軸與v軸對稱，還利用了區(qū)域D’的面積是2π，其中D’1是D’在uv平面上第一象限的部分區(qū)域(如圖4．20)．因為知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分f(x，y)dy等于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)二次積分D又可表示為D={(x，y)｜0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π}，故交換積分次序即得dx∫sinx1f(x，y)dy=∫01dy∫π—arcsinyπf(x，y)dx，所以選(B)．17、交換下列積分的積分順序：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先對x積分，就是從區(qū)域D的左側(cè)邊界x=y2到右側(cè)邊界x=y+2．兩邊界線的交點為(1，一1)與(4，2)，所以區(qū)域D又可表示為(如圖4．22)．D={(x，y)｜一1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，(Ⅱ)由題中的累次積分的積分限知，積分區(qū)域D的圖形如圖4．23，它的上側(cè)邊界由拋物線y=x2與圓x2+y2=2構(gòu)成，二者的分界點為(1，1)，而D的下側(cè)邊界是x軸，D中最左點的橫坐標(biāo)是x=0，最右點的橫坐標(biāo)是．從而D的另一形式的不等式組表示是D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2}∪{(x，y)｜1≤x≤一x2}，所以改變積分順序時需分塊進(jìn)行積分，即知識點解析：在第(Ⅰ)小題中，累次積分的表示式表明：積分區(qū)域D由兩部分構(gòu)成，當(dāng)0≤x≤1時，區(qū)域D的下側(cè)邊界為y=一；當(dāng)1≤x≤4時，D的下側(cè)邊界為y=x一2，上側(cè)邊界為y=，即D={(x，y)｜0≤x≤1，一}．其圖形為圖4．22所示，改變積分順序，先對x求積分，就要把區(qū)域D的邊界表示成y的函數(shù)，即D的左側(cè)邊界為x=y2，右側(cè)邊界為x=y+2，最后再求出x=y2與x=y+2的兩個交點的縱坐標(biāo)y=一1和y=2，即可將區(qū)域D表示為D={(x，y)｜—1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不難寫出新的累次積分．第(Ⅱ)小題可作類似分析．重要的是畫出區(qū)域的圖形，正確表示積分區(qū)域的邊界，正確表示積分的上、下限．18、設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐標(biāo)系中的累次積分改寫成極坐標(biāo)系(r，θ)中的累次積分：(Ⅰ)f(x，y)dy；(Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x，y)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分區(qū)域D如圖4．24所示，可見區(qū)域D位于的扇形中，且極點在D的邊界上，D的邊界方程為r=cosθ，于是D可表示為D={(r，θ)｜，0≤r≤cosθ}，故(Ⅱ)積分區(qū)域D如圖4．25所示，可見區(qū)域D位于0≤θ≤的扇形中，且極點在D的邊界上，D的上邊界方程的直角坐標(biāo)方程是x+y=1，從而它的極坐標(biāo)方程是r=，于是?？杀硎緸镈={(r，θ)｜0≤θ≤}，故∫01dy∫01—yf(x，y)dx=f(rcosθ，rsinθ)rdr。知識點解析：求解與本例同類問題的步驟是：第一步，畫出題設(shè)累次積分對應(yīng)的積分區(qū)域D的圖形；第二步，用極坐標(biāo)系(r，θ)中的不等式組表示D；第三步，按照第二步中結(jié)果寫出極坐標(biāo)系中的累次積分．19、設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，把極坐標(biāo)系中的累次積分dp∫02sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr改寫成直角坐標(biāo)系中兩種積分次序的累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．26所示，可見D由直線x+y=0與圓x2+y2=2y圍成，且D位于直線x+y=0的右上側(cè)．容易得出直線x+y=0與圓x2+y2=22，的交點為(0，0)及(一1，1)，從而區(qū)域D可表示為知識點解析：求解與本例同一類型問題的步驟是：第一步，畫出對應(yīng)的積分區(qū)域D的圖形；第二步，用直角坐標(biāo)系中兩種不同形式的不等式組表示區(qū)域D；第三步，按照第二步中結(jié)果寫出相應(yīng)的兩種積分次序的累次積分．20、設(shè)f(x)=dy，求∫01xf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、計算下列二重積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)交換積分順序．由于0≤x≤1時，區(qū)域D的下側(cè)邊界為y=x，上側(cè)邊界為y=，其圖形為圖4．28．這樣，就有=∫01(1一y)sinydy=∫01(y—1)d(cosy)=(y一1)cosy｜01一∫01cosyd(y—1)=1一∫01cosydy=1一sin1．(Ⅱ)由現(xiàn)有積分限畫出積分區(qū)域的圖形為圖4．29，這樣就有(Ⅳ)積分區(qū)域D是三角形，如圖4．31所示，交換x，y的積分次序，得所以原式=π∫0af’(y)dy=πf(y)｜0a=π[f(a)一f(a)]．知識點解析：本題雖然是二重積分的計算，而且已經(jīng)化成了累次積分，但是都不是初等函數(shù)，所以不能先對y積分，必須交換積分順序．22、計算累次積分I=∫01dx∫1x+1ydy+∫12dx∫xx+1ydy+∫23dx∫x3ydy．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分限知：0≤x≤1時1≤y≤x+1；1≤x≤2時x≤y≤x+1：2≤x≤3時x≤y≤3，于是積分區(qū)域D如圖4．32所示，因此D可表示為D={(x，y)｜1≤y≤3，y一1≤x≤y}，從而知識點解析：本題實質(zhì)上是二重積分的計算，而且已經(jīng)化成了累次積分，但由于這里項數(shù)較多，計算起來較復(fù)雜，所以不宜先對y積分，必須先確定積分區(qū)域D，然后再交換積分順序．23、計算二重積分I=dxdy，其中D是由y=1，y=x2及x=0所圍區(qū)域(如圖4．33)．標(biāo)準(zhǔn)答案：被積函數(shù)中含有，若先對y積分，其原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，因此先對x積分．知識點解析：暫無解析24、計算二重積分I=dxdy，其中D是由y=x，y=0，x=1所圍成的區(qū)域(如圖4．34)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因被積函數(shù)中含cos2，而D={(xy)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，于是知識點解析：被積函數(shù)xcos2，若先對x積分，則原函數(shù)不易求出．故只能采用先對y進(jìn)行積分，后對x積分的積分次序．25、計算(a＞0)，其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標(biāo)軸相切的圓周的較短一段弧和坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．35，區(qū)域D的上邊界是方程為(x一a)2+(y一a)2=a2的下半圓上的一段弧，它的方程為y=a一，下邊界方程為y=0，故區(qū)域D可表示為知識點解析：暫無解析26、計算二重積分(x+y)dσ，其中積分區(qū)域D是由直線x=0，x=2，y=2與曲線y=所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．36所示，D的不等式表示是D={(x，y)｜0≤x≤2，≤y≤2}，從而知識點解析：暫無解析27、計算二重積分{｜x+y｜一2｜dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，一2≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：因如圖4．37所示，用直線y=一x+2，y=一x將D分成D1，D2與D3，于是可得知識點解析：暫無解析28、計算下列二重積分：(Ⅰ)圍成的區(qū)域；(Ⅱ)(x+y)dσ，其中D是由直線y=x，圓x2+y2=2x以及x軸圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分域D見圖4．38．D的極坐標(biāo)表示是：0≤0≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)在極坐標(biāo)系x=rcosθ，y=rsinθ中積分區(qū)域D={(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤2cosθ}，如圖4．39，故知識點解析：第(Ⅱ)小題的積分域涉及圓，自然應(yīng)該用極坐標(biāo)系．第(Ⅰ)小題盡管與圓無關(guān)，但是若書直角坐標(biāo)系，邊界曲線的表達(dá)式很復(fù)雜，所以也應(yīng)該用極坐標(biāo)系．29、計算下列二重積分：(Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；(Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將積分區(qū)域分塊，如圖4．40．設(shè)D1={(x，y)｜x2+y2≤1}∩D，D2={(x，y)｜x2+y2≥1}∩D，則D=D1+D2，且可分塊計算二重積分用極坐標(biāo)x=cosθ，y=rsinθ計算第一個二重積分．由于計算第二個二重積分．由于D2=D—D1，故(Ⅱ)依圖4．41所示將區(qū)域D分割，則sin(y—x)dxdy=∫0πdx∫x+π1πsin(x一y)dy+∫0πdx∫xx+πsin(y—x)dy+∫π2πdxsin(y一x)dy=∫0πcos(x—y)｜x+π2πdx一∫π2πcos(y一x)｜xx+πdx—∫π2πcos(y—x)｜x2πdx知識點解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)計算二重積分(x，y)dσ，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．42所示．不難發(fā)現(xiàn)，區(qū)域D分別關(guān)于x軸和y軸對稱，而被積函數(shù)關(guān)于x和y都是偶函數(shù)，從而原積分可化為在第一象限積分的4倍，即為計算D2上積分的方便，引入極坐標(biāo)：x=rcosθ，y=rsinθ，則x+y=1的方程為r=，從而知識點解析：暫無解析31、求下列二重積分：(Ⅰ)I=，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}；(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：考察積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點，選擇適當(dāng)方法求解．(Ⅰ)盡管D的邊界不是圓弧，但由被積函數(shù)的特點知選用極坐標(biāo)比較方便．D的邊界線x=1及y=1的極坐標(biāo)方程分別為(Ⅱ)在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示，若用分塊積分法較復(fù)雜．因D是圓域，可用極坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化為考慮定積分的被積函數(shù)是分段表示的情形．這時可利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)．作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，則D={(r，θ)｜0≤θ≤2π，0≤r≤1}．從而其中sinθ0=．由周期函數(shù)的積分性質(zhì)，令t=θ+θ0就有知識點解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，且滿足其中Dt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤t一x}(0＜t≤1)．求f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Dt如圖4．43所示，計算可得解微分方程(**)又可得f(t)=．代入f(0)=1可確定常數(shù)C=16，故f(x)=(0≤x≤1)．知識點解析：暫無解析33、計算二重積分ye—(x+y)dσ，其中D是由直線y=x與y軸在第一象限圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：無界區(qū)域D的左邊界是y軸，右邊界是y=x，而y的取值范圍是0≤y＜+∞(如圖4．44)．D的不等式表示：D={(x，y)｜0≤y＜+∞，0≤x≤y}知識點解析：暫無解析34、設(shè)D={x，y)｜0≤x＜+∞，0≤y＜+∞}，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：用極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，D的極坐標(biāo)表示：知識點解析：暫無解析35、設(shè)D={(x，y)｜—∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞}，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I=，D是全平面．引入極坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，D的極坐標(biāo)表示：0≤0≤2π，0≤r＜+∞知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)z=x2+y2一2ln｜x｜一2ln｜y｜(x≠0，y≠0)，則下列結(jié)論正確的是A、函數(shù)z有四個駐點，且均為極小值點．B、函數(shù)z有四個駐點，且均為極大值點．C、函數(shù)z有四個駐點，其中兩個為極大值點，兩個為極小值點．D、函數(shù)z有二個駐點，其中一個為極大值點，一個為極小值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：所以有四個駐點(一1，1)，(一1，一1)，(1，一1)，(1，1)．又故有AC—B2＞0，且A＞0．從而以上四個駐點均為極小值點．選(A)．2、設(shè)平面區(qū)域D1={(x，y)｜x2+y2≤R2｜，D2={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0}，D3={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，Y≥0}，則必有A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由積分區(qū)域和被積函數(shù)的奇偶性判斷可知(B)正確．在(A)中．所以(A)錯誤．在(C)中所以(C)錯誤．在(D)中所以(D)錯誤．3、設(shè)平面區(qū)域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜x2+y2≤1}，D3=則A、I1＜I2＜I3．B、I1＜I3＜I2．C、I3＜I1＜I2．D、I3＜I2＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：易見三個積分區(qū)域D1，D2，D3各自分別關(guān)于x軸對稱，又各自分別關(guān)于y軸對稱，記它們各自在第一象限的部分區(qū)域為D11,D21，D31．再利用被積函數(shù)f(x，y)=｜xy｜分別關(guān)于變量x與變量y都是偶函數(shù)，從而有因為三個積分區(qū)域D11,D21，D31的左邊界都是y軸上的直線段{(x，y)｜x=0，0≤y≤1}，下邊界都是x軸上的直線段{(x，y)10≤x≤1，y=0}，而D11的上邊界是直線段{(x，y)｜0≤x≤1，y=1一x}，D21的上邊界是圓弧，D31的上邊界是曲線弧{(x，y)｜0≤x≤1，．不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)0＜x＜1時即三個積分區(qū)域D11,D21與D31的包含關(guān)系是，如圖4．1．從而利用被積函數(shù)｜xy｜非負(fù)且不恒等于零即知三個二重積分的大小關(guān)系應(yīng)是I3＜I1＜I2，即應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)4、設(shè)D={(x，y)｜2x≤x2+y2，0≤y≤x≤2}，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：采用極坐標(biāo)計算．首先畫出D的圖形(如圖4．3),x2+y2=2x的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ；x=2的極坐標(biāo)方程為ρ=2secθ；y=x的極坐標(biāo)方程為，故5、交換積分次序：∫01∫x23-xf(x，y)=dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題設(shè)知，積分區(qū)域由x=0，x=1，y=x2，y=3一x所圍成，即積分區(qū)域D=D1+D2+D3(如圖4．4)，且D1={(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，0≤x≤1}，D3={(x，y)｜2≤y≤3，0≤x≤3一y}，于是交換積分次序得6、累次積分=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：如圖4．5，在(θ，P)平面上交換積分次序，有三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)7、將下列累次積分交換積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)首先畫出積分域如圖4．7所示．交換積分次序后原積分可以寫成(Ⅱ)畫出積分域，如圖4．8所示．由圖可知，交換積分次序后原積分成為∫-10dx∫-x2-x2(x，y)dy+∫01dx∫x2-x2一f(x，y)dy．知識點解析：暫無解析8、計算累次積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域圖形如圖4．9，由被積函數(shù)的形式，可以看出應(yīng)先對x積分，故交換積分次序，得知識點解析：暫無解析9、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分知積分區(qū)域D如圖4．10，由被積函數(shù)和區(qū)域D看出，本題在極坐標(biāo)系x=rcosθ，y=rsinθ中計算較方便．在極坐標(biāo)下的方程為在極坐標(biāo)下的方程為r=2cosθ，且D=D1+D2，其中知識點解析：暫無解析10、設(shè)區(qū)域D是由直線y=x與曲線標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．11，在極坐標(biāo)系x=rcosθ，y=rsinθ中它可表示為知識點解析：暫無解析11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：作出區(qū)域D的平面圖形，如圖4．12．將D分割成D1與D2，則D=D1+D2，其中此時，如果欲想分別積分的原函數(shù)沒有初等函數(shù)的表達(dá)式(即不可積類型)，無法繼續(xù)計算下去．由此看來，在計算二重積分選擇積分次序時，不但要考慮積分區(qū)域的特點，同時還要考慮被積函數(shù)的特點．當(dāng)按某種積分次序遇到困難無法進(jìn)行下去時，馬上應(yīng)考慮換另一種積分次序進(jìn)行．知識點解析：暫無解析12、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D為扇形(見圖4．13)：知識點解析：暫無解析13、計算其中D由y=ex，y=2和x=0圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖4．14．由被積函數(shù)形式可以看出，此積分只能先對x積分，故知識點解析：暫無解析14、設(shè)其中D={(x，y)；x2+y2≥2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x，y)的定義域和D確定的積分區(qū)域如圖4．15中的D1，即知識點解析：暫無解析15、設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，將如下直角坐標(biāo)系中的累次積分化為極坐標(biāo)系中的累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題中積分區(qū)域如圖4．16中陰影部分所示．將其化為極坐標(biāo)，可知由于γ=1一x可表示為rsinθ=1一rcosθ，即而γ2=2x一x2可表示為r=2cosθ，故．從而原積分可化為知識點解析：暫無解析16、計算二重積分其中積分區(qū)域D由直線y=一x，y=x，x=一1以及x=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D分別關(guān)于x軸與y軸對稱，如圖4．17．由于被積函數(shù)分別是x與y的偶函數(shù)，從而其中D1是D在第一象限的部分．因被積函數(shù)的表達(dá)式中包含，采用極坐標(biāo)系x=rcosθ，y=rsinθ來計算較簡，這時知識點解析：暫無解析17、交換下列累次積分的積分順序：190標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由題意知，積分區(qū)域D=D1∪D2，其中D1={(x，t)｜0≤x≤1，1一x2≤y≤1}，D2={(x，y){1≤x≤e，lnx≤y≤1}，見圖4．18，交換積分順序得(Ⅱ)由I2可知，D=D1∪D2，其中見圖4.19，交換積分順序得，I2=∫01dx∫x32-xf(x,y)dy.知識點解析：暫無解析18、計算二重積分其中D是兩個圓：x2+y2≤1與(x一2)2+y2≤4的公共部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．20所示．由于被積函數(shù)f(x，y)=y關(guān)于x軸對稱，積分區(qū)域D也關(guān)于X軸對稱，所以積分值為0．知識點解析：暫無解析19、計算二重積分其中D是曲線y=lnx與y=2lnx以及直線x=e所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、求其中D是由曲線xy=2，直線y=x一1及y=x+1所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：作出D的平面圖形如圖4．21．因積分區(qū)域關(guān)于原點O對稱，被積函數(shù)又是x與y的偶函數(shù)，故知識點解析：暫無解析21、計算二重積分其中D是由曲線y=ex與直線y=x+1在第一象限圍成的無界區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知D={(x，y)｜0≤x＜+∞，x+1≤y≤ex}，(如圖4．22)．設(shè)常數(shù)b＞0，且知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)積分區(qū)域D={(x，y)｜a≤x≤b，b≤y≤b}，由∫abf(c)dx=∫abf(y)dy可知二重積分知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一1，則x=0A、是f(x)的駐點，且為極大值點．B、是f(x)的駐點，且為極小值點．C、是f(x)的駐點，但不是極值點．D、不是f(x)的駐點．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題應(yīng)先從x=0是否為駐點人手，即求f’(0)是否為0；若是，再判斷是否為極值點．由f(x)=0，從而f(0)=0，f’(0)==(1一cosx)]=一1×0=0可知x=0是f(x)的駐點．再由極限的局部保號性還知，在x=0的某去心鄰域內(nèi)＜0；由于1—cosx＞0，故在此鄰域內(nèi)，當(dāng)x＜0時f(x)＞0=f(0)，而當(dāng)x＞0時f(x)＜0=f(0)，可見x=0不是極值點，故選(C)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)2、(Ⅰ)用等價、同階、低階、高階回答：設(shè)f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，則當(dāng)△x→0時f(x)在x=x0處的微分與△x比較是()無窮小，△y=f(x0+△x)一f(x0)與△x比較是()無窮小，△y—df(x)與△x比較是()無窮?。?Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x)可微，且曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與直線y=2一x垂直，則=()標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)同階；同階；高階(Ⅱ)0知識點解析：(Ⅰ)與△x是同階無窮小量；按定義=f’(x)≠0，故△y與△x也是同階無窮小量；按微分定義可知當(dāng)△x→0時差△y一df(x)=o(△x)，即它是比△x高階的無窮?。?Ⅱ)由題設(shè)可知f’(0)=1，又△y一dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是3、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Acosb知識點解析：補(bǔ)充定義f(a)=b，則有4、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，則dy=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)dx知識點解析：利用一階微分形式不變性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．5、若y=f(x)存在反函數(shù)，且y’≠0，y"存在，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)6、判斷下列結(jié)論是否正確?為什么?(Ⅰ)若函數(shù)f(x)，g(x)均在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，則f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0時f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x=x0處有相同的可導(dǎo)性；(Ⅲ)若存在x0的一個鄰域(x0—δ，x0+δ)，使得x∈(x0一δ，x0+δ)時f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x0處有相同的可導(dǎo)性．若可導(dǎo)，則f’(x0)=g’(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)不正確．函數(shù)在某點的可導(dǎo)性不僅與該點的函數(shù)值有關(guān)，還與該點附近的函數(shù)值有關(guān)．僅有f(x0)=g(x0)不能保證f’(x0)=g’(x0)．正如曲線y=f(x)與y=g(x)可在某處相交但并不相切．(Ⅱ)不正確．例如f(x)=x2，g(x)=顯然，當(dāng)x≠0時f(x)=g(x)，但f(x)在點x=0處可導(dǎo)，因為g(x)在點x=0不連續(xù)，從而g(x)在點x=0處不可導(dǎo)．(Ⅲ)正確．由假設(shè)可得當(dāng)x∈(x0—δ，x0+δ)時因此，當(dāng)x→x0時等式左右端的極限或同時存在或同時不存在，而且若存在則相等．再由導(dǎo)數(shù)定義即可得出結(jié)論．知識點解析：暫無解析7、說明下列事實的幾何意義：(Ⅰ)函數(shù)f(x)，g(x)在點x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)在點x=x0處連續(xù)，且有=∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切．(Ⅱ)點x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點．曲線y=f(x)在點M0(x0，f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0(見圖2．1)．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f’(x)存在，求極限，其中a，b為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知識點解析：暫無解析9、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處存在f’+(x0)與f’—(x0)，但f’+(x0)≠f’—(x0)，說明這一事實的幾何意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點．曲線在點M0(x0，f(x0))處存在左、右切線，且左、右切線有一個夾角(M0是曲線y=f(x)的尖點)，見圖2．2．知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f(a)=1，f’(a)=3，求數(shù)列極限w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是指數(shù)型數(shù)列極限，先轉(zhuǎn)化成其指數(shù)是型數(shù)列極限，用等價無窮小因子替換，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)定義知因此w=e6．知識點解析：暫無解析11、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y’：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)y’=．(Ⅱ)當(dāng)x≠0時，由求導(dǎo)法則得f’(x)=；當(dāng)x=0時，由導(dǎo)數(shù)定義即得知識點解析：暫無解析12、設(shè)y=(1+x2)sinx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、已知f’(x)=kex，常數(shù)k≠0，求f(x)的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y=f(x)，則．知識點解析：暫無解析14、(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所確定，求；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所確定，求dy｜x=0=0；(Ⅲ)設(shè)函數(shù)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’≠1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將原方程兩邊直接對x求導(dǎo)數(shù)，并注意y是x的函數(shù)，然后解出y’即可．由(2x+2y．y’)cos(x2+y2)+ex一y2—2xy．y’=0，得(Ⅱ)先用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y’，再求微分dy=y’dx．在方程的兩邊對x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得3x2+3y2y’一3cos3x+6y’=0．又y｜x=0=0，上式中令x=0，y=0解得y｜x=0=．(Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0確定，f為抽象函數(shù)，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，則變成復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)問題．注意，f(x+y)及其導(dǎo)函數(shù)f’(x+y)均是x的復(fù)合函數(shù)．將Yy=f(x+y)兩邊對x求導(dǎo)，并注意y是x的函數(shù)，f是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y’=f’．(1+y’)，即y’=．又由y’=(1+y’)f’再對x求導(dǎo)，并注意y’是x的函數(shù)，f’仍然是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有y"=(1+y’)’y’+(1+y’)(f’)’=y"f’+(1+y’)f"．(1+y’)=y"f’+(1+y’)2f"，知識點解析：暫無解析15、設(shè)ex+y=y確定y=y(x)，求y’，y"．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意y是x的函數(shù)，將方程兩端對x求導(dǎo)得ex+y(1+y’)=y’，即y’=．(這里用方程ex+y=y化簡)再對x求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=，求f(x)在點x=0處的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=，求f(1)與f’(一1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知f(1+0)==f(一1)，故f(x)又可以寫成知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，由求導(dǎo)法則得f’(x)=3x2sin；當(dāng)x=0時，可用以下兩種方法求得f’(0)．方法1°按定義求：f’(0)==0．方法2°顯然f(x)=0=f(0)，f(x)在點x=0處連續(xù)，又知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)=f2(x)，則當(dāng)n＞2時，f(n)(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n!fn+1(x)(n≥1)知識點解析：將f’(x)=f2(x)兩邊求導(dǎo)得f"(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求導(dǎo)得f(n)(z)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可猜想f(n)(x)=n!fn+1(x)(n≥1)．20、求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)y=sin3x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：用三角函數(shù)積化和差公式，可將sin3x化成形如sinax與cosbx的函數(shù)之和差，并用(sinax)(n)及(cosbx)(n)的公式．22、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)處處可導(dǎo)，且滿足f’(x)≠0．證明對任何x0∈(a，b)一定存在x1，x2∈(a，b)使得f(x1)＞f(x0)＞f(x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)結(jié)論不正確，則存在x0∈(a，b)使得對任何x∈(a，b)，要么f(x)≥f(x0)(這時f(x0)為極小值)；要么f(x)≤f(x0)(這時f(x0)為極大值)．因此若結(jié)論不正確，則f(x)必在(a，b)內(nèi)某點x0處取得極值．由于f(x)在(a，b)內(nèi)處處可導(dǎo)，由費馬定理可知f’(x0)=0，但是對一切x∈(a，b)有f’(x)≠0，這就產(chǎn)生了矛盾．因此結(jié)論正確．知識點解析：f(x1)＞f(x0)＞f(x2)的含義是既有函數(shù)值小于f(x0)的點又有函數(shù)值大于f(x0)的點．若這個結(jié)論不正確，則在(a，b)內(nèi)的函數(shù)值要么處處不小于f(x0)，要么處處不大于f(x0)，這時f(x0)就是極值．由費馬定理得出f’(x0)=0，此與條件矛盾．23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上連續(xù)，求證：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)∫g(x)dx是g(x)的某個原函數(shù)，并令R(x)=e—∫g(x)dx，作輔助函數(shù)F(x)=R(x)f(x)，對F(x)在[a，b]上用羅爾定理，即知本題結(jié)論成立．知識點解析：注意存在ξ∈(a，b)，f’(ξ)=g(ξ)，(ξ)←→令f’(ξ)一g(ξ)f(ξ)=0←→[f’(x)一g(x)f(x)]｜x=ξ=0←→[R(x)f’(x)一R(x)g(x)f(x)]｜x=ξ=0←→[R(x)f(x)]’｜x=ξ=0，其中R(x)是在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，而且當(dāng)x∈(a，b)時滿足如下條件的任一函數(shù)：R’(x)=一R(x)g(x)，又R(x)≠0．可取R(x)=e∫g(x)dx，若對R(x)f(x)在[a，b]上可用羅爾定理即得證．24、(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＞0；(Ⅱ)設(shè)h＞0，f(x)在[a一h，a+h]上連續(xù)，在(a一h，a+h)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在0＜θ＜1使得=f’(a+θh)一f’(a一θh)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于a＜c＜b，由已知條件可知f(x)在[a，c]與[c，b]上都滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在點ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使f(c)一f(a)=f’(ξ1)(c一a)，ξ1∈(a，c)；f(b)一f(c)=f’(ξ2)(b一c)，ξ2∈(c，b)．由于f(a)=f(b)=0，于是有f(c)=f’(ξ1)(c一a)，①一f(c)=f’(ξ2)(b一c)．②由于c一a＞0，b一c＞0，f(c)＜0，因此由式①、②可知f’(ξ1)＜0，f’(ξ2)＞0．由已知條件知f’(x)在[ξ1，ξ2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使f"(ξ)=＞0．(Ⅱ)令F(x)=f(a+x)+f(a一x)，則F(x)在[0，h]上連續(xù)，在(0，h)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得存在θ∈(0，1)使得=F’(θh)．由于F(h)一F(0)=f(a+h)+f(a一h)一2f(a)，F(xiàn)’(x)=f’(a+x)一f’(a一x)，F(xiàn)’(θh)=f’(a+θh)一f’(a一θh)，因此存在滿足0＜θ＜1的θ使得=f’(a+θh)一f’(a一θh)．知識點解析：(Ⅰ)明在某區(qū)間內(nèi)存在一點ξ使得f’(ξ)=0?？煽紤]利用羅爾定理，而證明在某區(qū)間內(nèi)存在一點ξ使得f’(ξ)＞0?？煽紤]利用拉格朗日中值定理．(Ⅱ)在[a，a+h]和[a一h，a]上分別對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理可得到存在θ1，θ2∈(0，1)使得f(a+h)一f(a)=f’(a+θ1h)h，f(a一h)一f(a)=一f’(a一θ2h)h，這時有=f’(a+θ1h)一f’(a一θ2h)，然而θ1與θ2未必相等．若將f(a+h)一2f(a)+f(a一h)重新組合成f(a+h)一2f(a)+f(a一h)=[f(a+h)+f(a一h)]一[f(a+0)+f(a—0)]，我們發(fā)現(xiàn)它是F(x)=f(a+x)+f(a一x)在點x=h的值減去在點x=0的值，并且f’(a+θh)一f’(a一θh)=F’(θh)，要證的等式就是對F(x)在[0，h]上應(yīng)用拉格朗日中值定理的結(jié)果．25、設(shè)a＞0，且函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：至少存在一點ξ∈b)使得f(ξ)一ξf’(ξ)=．標(biāo)準(zhǔn)答案：將等式右端改寫成令F(x)=，則F(x)，G(x)在[a，b]上滿足柯西中值定理條件，于是，至少存在一點ξ∈(a，b)使得知識點解析：暫無解析26、證明當(dāng)x∈(一1，1)時成立函數(shù)恒等式arctanx=．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx，g(x)=，要證f(x)=g(x)當(dāng)x∈(一1，1)時成立，只需證明：1°f(x)，g(x)在(一1，1)可導(dǎo)且當(dāng)x∈(一1，1)時f’(x)=g’(x)；2°存在x0∈(一1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函數(shù)的性質(zhì)知f(x)與g(x)都在(一1，1)內(nèi)可導(dǎo)，計算可得即當(dāng)x∈(一1，1)時f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此當(dāng)x∈(一1，1)時f(x)=g(x)，即恒等式成立．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x＝a處可導(dǎo)，且f(a)≠0，則｜f(x)｜在x＝a處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：不妨設(shè)f(a)＞0，因為f(x)在x＝a處可導(dǎo)，所以f(x)在x＝a處連續(xù)，于是存在δ＞0，當(dāng)｜x－a｜＜δ時，有f(x)＞0，于是＝f’(a)，即｜f(x)｜在x＝a處可導(dǎo)，同理當(dāng)f(a)＜0時，｜f(x)｜在x＝a處也可導(dǎo)，選(A)．2、下列說法正確的是()．A、f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若B、f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若C、f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，若D、f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，若標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)f(x)＝f(x)＝∞，f’(x)＝時，f’(x)＝0，其中k∈Z，則f’(x)≠∞，(A)不對。設(shè)f(x)＝f(x)＝0≠∞，(B)不對；設(shè)f(x)＝x，f(x)＝∞，但f’(x)＝1，f’(x)＝1≠∞，(C)不對，選(D)．3、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫axf(t)dtB、∫a－xf(t)dtC、∫－xof(t)dt－∫x0f(t)dtD、∫－xxtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)φ(x)＝∫－xxtf(t)dt＝2∫0xtf(t)dt，φ(x＋T)＝2∫0x＋T(t)dt＝2∫0xtf(t)＋2∫xx＋Ttf(t)dt≠φ(x)，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點解析：＝e3a，由e3a＝8，得a＝ln2．5、設(shè)f(x)＝x2，則f’(x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x(1＋4x)e8x知識點解析：得f’(x)＝2xe8x＋8x2e8x＝2x(1＋4x)e8x．6、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)＝2，f’x(1，2)＝3，f’y(1，2)＝4，φ(x)＝f[x,f(x，2x)]，則φ’(1)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識點解析：因為φ’(x)＝f’x[x，f(x，2x)]＋f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)＋2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)＝f’x[1，f(1，2)]＋f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)＋2f’y(1，2)]＝3＋4×(3＋8)＝47．7、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且f’x(1，2)＝1，f’y(1，2)＝4，則f(1，2)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點解析：f(tx，ty)＝t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xf’x(tx，ty)＋yf’(tx，ty)＝3t2f(x，y)，取t＝1，x＝1，y＝2得f’x(1，2)＋2f’y(1，2)＝3f(1，2)，故f(1，2)＝3．9、微分方程y’－xey＋＝0的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：所以原方程的通解為ey＝．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、確定常數(shù)a，b，c，使得＝c．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、設(shè)an＝A，證明：數(shù)列{an)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0＝1，因為an＝A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，有｜an－A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜＋1．取M＝max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜＋1)，則對一切的n，有｜an｜≤M．知識點解析：暫無解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．證明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)＝η；(2)對任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)＝f(x)－x，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，＞0，φ(1)＝－1＜0，由零點定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)設(shè)F(x)＝e－k