2.3.2-雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.3.2雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(一)

2、對(duì)稱性

一、研究雙曲線的性質(zhì)1、范圍xyo3、頂點(diǎn)4、漸近線5、離心率題型一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其幾何性質(zhì)例1、求雙曲線16x2－9y2＝－144的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．

題型二根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例4:求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：例題講解

1、“共漸近線”的雙曲線λ>0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線。2、“共焦點(diǎn)”的雙曲線（1）與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為（2）與雙曲線有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為1、若雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為

。2、若雙曲線的離心率為2，則兩條漸近線的夾角為

。課堂練習(xí)離心率設(shè)△ABC為等腰三角形，∠ABC=120°,則以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.設(shè)∠ABC=120°,由余弦定理得又因?yàn)殡p曲線以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C，則所以雙曲線的離心率故選B.B[答案]

D

(2009·湖南，12)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________．

解析：如圖，∵c＞b，∴∠B1F1B2＝60°

重點(diǎn)突破：雙曲線的幾何性質(zhì)

已知雙曲線

（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線的離心率最大值為

.

利用雙曲線的定義和基本不等式可求得最值.3因?yàn)樗詣t所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)又因?yàn)閯t6a≥2c，所以1<≤3，即離心率最大值為3，填3.B練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處2.3.2第一課時(shí)本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研D

練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處2.3.2第一課時(shí)本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處2.3.2第一課時(shí)本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處2.3.2第一課時(shí)本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的比較yXF10F2MXY0F1F2

p小結(jié)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱漸近線..yB2A1A2

B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)2.3.2雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(二)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2

B1

xO..F2F1A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱A1（-a，0），A2（a，0）漸進(jìn)線無關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱漸進(jìn)線..yB2A1A2

B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)例1、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

A′A0xC′CB′By131225例題講解

例2、點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（5,0），的距離和它到定直線：的距離的比是常數(shù),求點(diǎn)M的軌跡.

y0dxyOlF引例：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)(c>a>0)，求點(diǎn)M的軌跡.M解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)到l的距離為d，則即化簡(jiǎn)得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)設(shè)c2－a2=b2，(a>0,b>0)故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為2a、2b的雙曲線.b2x2－a2y2=a2b2即就可化為:M點(diǎn)M的軌跡也包括雙曲線的左支.一、第二定義

雙曲線的第二定義平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.對(duì)于雙曲線是相應(yīng)于右焦點(diǎn)F(c,0)的右準(zhǔn)線類似于橢圓是相應(yīng)于左焦點(diǎn)F′(-c,0)的左準(zhǔn)線xyoFlMF′l′點(diǎn)M到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離之比也滿足第二定義.想一想：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？xyoF相應(yīng)于上焦點(diǎn)F(c,0)的是上準(zhǔn)線相應(yīng)于下焦點(diǎn)F′(-c,0)的是下準(zhǔn)線F′例3、已知雙曲線F1、F2是它的左、右焦點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A(9,2),在曲線上求點(diǎn)M，使的值最小,并求這個(gè)最小值.xyoF2MA由已知：解：a=4,b=3,c=5,雙曲線的右準(zhǔn)線為l:作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分別是N,A1,NA1當(dāng)且僅當(dāng)M是

AA1與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),令y=2,解得:歸納總結(jié)1.雙曲線的第二定義平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。2.雙曲線的準(zhǔn)線方程對(duì)于雙曲線準(zhǔn)線為對(duì)于雙曲線準(zhǔn)線為注意:把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類比.橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法?<0?=0?>0（1）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交二、直線與雙曲線的位置關(guān)系1)位置關(guān)系種類XYO種類:相離;相切;相交(0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn))2)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離:0個(gè)交點(diǎn)相交:一個(gè)交點(diǎn)相交:兩個(gè)交點(diǎn)相切:一個(gè)交點(diǎn)3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，L與雙曲線的漸近線平行或重合。重合：無交點(diǎn)；平行：有一個(gè)交點(diǎn)。2.二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),上式為一元二次方程,

Δ>0直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）

Δ=0直線與雙曲線相切

Δ<0直線與雙曲線相離②相切一點(diǎn):△=0③相離:△＜0注:①相交兩點(diǎn):△＞0

同側(cè)：＞0

異側(cè):＜0

一點(diǎn):直線與漸進(jìn)線平行特別注意直線與雙曲線的位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支例.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線(1)沒有公共點(diǎn);(2)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)只有一個(gè)公共點(diǎn);(4)交于異支兩點(diǎn)；(5)與左支交于兩點(diǎn).(3)k=±1，或k=±

；(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；(2)＜k＜；2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研1.過點(diǎn)P(1,1)與雙曲線只有共有_______條.

變題:將點(diǎn)P(1,1)改為1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的?41.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條.交點(diǎn)的一個(gè)直線XYO（1，1）。2.雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),則直線PF的斜率的變化范圍是_________3.過原點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是例4、如圖，過雙曲線的右焦點(diǎn)傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。三、弦長(zhǎng)問題2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練研一研·問題探究、課堂更高效本專題欄目開關(guān)填一填研一研練一練審題指導(dǎo)

本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、向量知識(shí)及方程思想的應(yīng)用．【例5】【題后反思】直線與雙曲線相交的題目，一般先聯(lián)立方程組，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程．要注意根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式的應(yīng)用．若與向量有關(guān)，則將向量用坐標(biāo)表示，并尋找其坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．【變式3】2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)研一研·問題探究、課堂更高效本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研B

2.3.2第二課時(shí)練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研C

2.3.2第二課時(shí)練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研22.3.2第二課時(shí)練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研2.3.2第二課時(shí)練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處本講欄目開關(guān)填一填練一練研一研－－韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例.已知雙曲線方程為3x2-y2=3,求：

(1)以2為斜率的弦的中點(diǎn)